關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì) 聚焦數(shù)學(xué)思想

張祖潤

[摘 要]數(shù)學(xué)教學(xué)需要在兒童心中留下怎樣的烙?。勘疚脑噲D從數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)意義出發(fā)，從知識的發(fā)生發(fā)展過程出發(fā)，從兒童世界的立場出發(fā)，深入淺出地闡述數(shù)學(xué)知識的思想價值，并結(jié)合具體的數(shù)學(xué)教學(xué)過程進行實踐，使得課堂教學(xué)更加體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，折射出理性的力量。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)本質(zhì) 根源 思想 兒童 理性

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）02-011

“數(shù)學(xué)是什么，數(shù)學(xué)可以留下些什么，數(shù)學(xué)可以形成怎樣的影響力？答案并不唯一。但我以為，數(shù)學(xué)可以在人的內(nèi)心深處培植理性的種子，她可以讓兒童擁有一顆數(shù)學(xué)的大腦，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，學(xué)會理性、審慎地看待問題、關(guān)注周遭、理解世界?！边@句話道出了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不就是讓兒童經(jīng)歷一種有意義、有價值的探索活動，從而形成合理的數(shù)學(xué)思維方式嗎？正如鄭毓信教授所說的那樣，我們應(yīng)該通過數(shù)學(xué)課堂培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生最終達到會用數(shù)學(xué)進行數(shù)學(xué)思維。

當(dāng)然，課程改革推進過程中，也曾出現(xiàn)過許多美麗的景象，過于追求教學(xué)的情境和人文化，絢麗的多媒體動畫展示，漫無邊際的生活現(xiàn)象，萬紫千紅的數(shù)學(xué)文化，這些現(xiàn)象在一定程度上表現(xiàn)出對課程基本理念內(nèi)涵的誤解，這一種錯覺其實是一種課堂教學(xué)的失真和學(xué)習(xí)的失效。為什么會出現(xiàn)這些現(xiàn)象呢？在我們精心創(chuàng)設(shè)的情境背后，知識和能力的根源在哪里？在煞費苦心的知識授予背后，文化與精神的支點在哪里？在環(huán)環(huán)緊扣的邏輯背后，直覺與猜想的孕育在哪里？在層次多樣的應(yīng)用背后，原理與模型的建構(gòu)在哪里？在方法提煉的技巧背后，思想與方法的引領(lǐng)又在哪里？一些專家指出，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂生活氣息濃了，數(shù)學(xué)文化有了，數(shù)學(xué)味卻丟失了，讓數(shù)學(xué)思想和精神失去了可能生長的土壤。

因此，數(shù)學(xué)課堂除了有知識的豐厚、技能的純熟外，更應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，聚焦數(shù)學(xué)思想的啟迪，漸而上升為理性精神的引領(lǐng)，留給學(xué)生多元而立體的影響，應(yīng)該留給學(xué)生深刻而難忘的痕跡，這才是數(shù)學(xué)課堂的本質(zhì)。下面以我執(zhí)教的一節(jié)“用數(shù)對確定位置”為例，談?wù)勅绾巫龅疥P(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，聚焦數(shù)學(xué)思想。（本課獲2013年江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評比一等獎，有刪節(jié)）

【案例點擊】

1.用自己的方法確定位置

師：同學(xué)們，確定位置在我們身邊隨處可見。仔細觀察這一張座位圖（出示教材情境圖），小紅的位置在哪？你能用自己的方法說一說嗎？

生1：小紅在第2排第4個。

生2：從左往右數(shù)的第4列，從上往下數(shù)第2個。

生3：小紅在從左往右數(shù)第4排，從后往前數(shù)第4個。

師：那同學(xué)們想一想，為什么同一個位置說法卻不一樣？

生1：因為我們每個人看的方法不一樣。

生2：因為我們每個人看的角度不同。

師：是啊，角度不同，說法自然也不同。不過，你的說法你明白，他的說法他理解。這樣交流起來，就會——

生1：交流起來有些麻煩。

生2：說起來不夠統(tǒng)一，不容易理解。

師：是啊，怎樣才能統(tǒng)一、正確、簡明地描述小紅的位置呢？今天這節(jié)課我們繼續(xù)來研究“確定位置”。

2.用列與行的方法確定位置（略）

3.用數(shù)對的方法確定位置

師：數(shù)學(xué)是一種國際語言，追求簡潔明了，這些文字寫起來多麻煩啊，能不能把這些方法寫得再簡單些呢？想一想，再把表示第4列第2行的簡明寫法寫在小紙片上。（生自主探究簡明寫法）

師：一起來看同學(xué)們的寫法。（依次呈現(xiàn)學(xué)生的不同寫法）

師：比較一下，在這些不同的方法中有哪些相同的地方？

……

師：同學(xué)們，你們真是一群善于觀察、樂于思考的孩子。你們的想法跟數(shù)學(xué)上的規(guī)定非常接近，數(shù)學(xué)上是這樣寫的（板書寫法）。在數(shù)學(xué)上我們把它稱為數(shù)對，今天研究的就是用數(shù)對來確定位置。

……

師：學(xué)會了用數(shù)對表示點的位置，那根據(jù)數(shù)對，你能找到對應(yīng)的點嗎？這有兩個數(shù)對（4，1），（6，3），請你找到對應(yīng)的點，描點并標(biāo)上數(shù)對。

師：誰來介紹一下你是怎樣找到這兩個點的？（生介紹找到兩個點的過程）

師：老師剛才發(fā)現(xiàn)有位同學(xué)把（4，1）的點描在這里，難道（4，1）這個數(shù)對有兩個對應(yīng)的點嗎？（出示錯誤的學(xué)生資源）

生4：不對不對，他畫錯了。

生5：他把第4列第1行看成了第4行第1列了。

生6：他把列與行看反了。

師：也就是說，這個點對應(yīng)的數(shù)對是多少？

生7：（1，4）。

師：看來，一個數(shù)對只能對應(yīng)著一個——（一個點）

師：一個點也只能對應(yīng)著一個——（一個數(shù)對）

師：原來這點和數(shù)對是一一對應(yīng)的。（板書：“一一對應(yīng)”）一不小心，咱們從錯誤中還發(fā)現(xiàn)了數(shù)對的特點，真會學(xué)習(xí)。

4.用數(shù)對的方法在方格圖上確定位置

師：這是什么？（方格紙）方格紙上也有一些交叉點，一起來看，能用數(shù)對表示這張方格紙上這一個點的位置嗎？先想一想，再把思考過程寫下來。

師（展示）：一起來看。有同學(xué)寫的數(shù)對是（4，5），也有同學(xué)寫的數(shù)對是（3，4）。

師：不對啊，明明點和數(shù)對一個對著一個，為什么同一個點會寫出兩個不同的數(shù)對呢？

生8：我認為左邊那張是從1開始數(shù)起的，右邊那張是從0開始數(shù)起的。

生9：我認為它們的起點的數(shù)不同，造成寫的數(shù)對不同。一個是以1為起點，一個是以0為起點。

師：其實這兩種寫法都是合理的，只不過他們的起點不同，一個是以1為起點，一個是以0為起點。我們知道，數(shù)學(xué)上一般用以誰為起點？

生10：以0為起點。

師：那這張方格圖，想象一下，它的“0起點”會在哪呢？一起來看。（電腦演示“0起點”）

師：對比一下，方格圖上0起點的位置不同，同一個點寫出的數(shù)對自然也不同。一般情況下，方格圖都會從0起點開始。

師：如果把咱們學(xué)校的體育園地作為方格圖的0起點，咱們校園里的其他景點，你會用數(shù)對表示嗎？

……

5.用數(shù)對的思想確定位置

師：同學(xué)們，回顧一下學(xué)習(xí)過程，今天我們研究了用數(shù)對確定位置，其實類似這樣的現(xiàn)象生活中也有許多。像我們下棋時確定棋子的位置，用的就是類似數(shù)對的方法。（出示情境圖）在國際象棋中，這個黑馬的位置該怎樣表示呢？

師：同學(xué)們，就連地理學(xué)家確定地球上的位置時，用的還是類似數(shù)對的思想。他們就給地球蒙上一層網(wǎng)格線，用經(jīng)度和緯度來確定每一個地方的位置，像北京大約在什么位置？（北緯40°，東經(jīng)116°）

師：咱們城市大約在什么位置？

生：北緯33°，東經(jīng)120°。

師：同學(xué)們，這數(shù)對真是簡單而又神奇。相信此刻，你心中一定會有一個疑問，這數(shù)對究竟是誰發(fā)明的呢？想知道嗎？一起來看。（播放視頻）

師：笛卡兒非常厲害，從蜘蛛網(wǎng)中受到啟發(fā)發(fā)明了數(shù)對和直角坐標(biāo)系，難怪他說“我思考，所以我存在”。愿每位同學(xué)都能做一個愛思考、有想法的人。

【深度思考】

本課的教學(xué)設(shè)計初看也很平常，教學(xué)過程的整體設(shè)計與教材安排完全同步，并無多少出新之處。但細細品味，平實的背后卻有許多思考的空間，讓聽課者留下許多值得回味的東西。整節(jié)課并沒有設(shè)計絢麗多彩的情境活動，也沒有安排太多的合作探究活動，但學(xué)生的思維力度在不斷積蓄，思考力量在版塊遞進中循環(huán)上升，從而散發(fā)出讓人回味的力量，引發(fā)許多人的共鳴。緣何如此，數(shù)學(xué)思想的深度感悟是根本所在。

一、從知識的根源去理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)

一節(jié)數(shù)學(xué)課首先應(yīng)該搞清楚教什么。有了對知識的整體構(gòu)建才會產(chǎn)生一種大數(shù)學(xué)的思考，學(xué)生才能真正理解教材的本質(zhì)內(nèi)容。教師應(yīng)該主動學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)體系，主動學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)發(fā)展史，了解知識發(fā)展的來龍去脈，才能在教學(xué)中主動地從知識的起源出發(fā)去理解數(shù)學(xué)的本來面目，進而有意識地將知識的發(fā)生、發(fā)展過程經(jīng)過精妙的加工，巧妙地呈現(xiàn)在學(xué)生數(shù)學(xué)探索的世界里。

本課的教學(xué)，若從數(shù)學(xué)史的角度看，笛卡兒發(fā)現(xiàn)解析幾何是數(shù)學(xué)上一個巨大的進步，也是人類歷史上一個重大的進步，笛卡兒的重要貢獻，就是一個幾何的對象，他可以用數(shù)來描寫，而數(shù)所滿足的關(guān)系就是方程。因此，“我們小學(xué)里面先學(xué)第一步，就是把坐標(biāo)建立起來，并用數(shù)對（x，y）來表示點。把坐標(biāo)幾何放到小學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，體現(xiàn)了隨著時代的進步，我們小學(xué)數(shù)學(xué)也在發(fā)展?！保◤埖熘娼淌谡Z）因此在反復(fù)研讀教材的過程中，我充分認識到用數(shù)對確定位置并不是單純生活意義上的確定位置，而是認識坐標(biāo)的雛形，引導(dǎo)學(xué)生用坐標(biāo)的方法描述位置。正是基于這樣的思考，我把本節(jié)課的重點放在用數(shù)對確定點的位置和用數(shù)對的方法在方格圖上確定位置，更加貼近教材內(nèi)容的本質(zhì)。安排讓學(xué)生寫出自己的“簡明寫法”，讓學(xué)生在比較中認識數(shù)對的概念，或許這個方法并不是首創(chuàng)，但學(xué)生在探究的過程中并不只是單純“創(chuàng)造”數(shù)對，而是用自己的方法去表達自己的思考過程，在思考的過程中認識數(shù)對，顯得“厚實”，讓學(xué)生親身經(jīng)歷了數(shù)對寫法的再創(chuàng)造過程，初步理解數(shù)對所蘊含的意義。同樣在教學(xué)方格圖上用數(shù)對確定點的位置時，利用方格紙巧妙過渡，讓學(xué)生在自主表示的過程中感受到方格圖上“0起點”的重要性，顯得精巧而又自然。最后再通過數(shù)學(xué)史料的巧妙介入——笛卡兒發(fā)現(xiàn)數(shù)對的故事，引導(dǎo)學(xué)生初步感知知識的形成和發(fā)展的過程，盡管展現(xiàn)的過程略顯感性、單薄，但其散發(fā)出的數(shù)學(xué)味卻足以打動每一個學(xué)生。

二、從思想的價值去挖掘數(shù)學(xué)的本質(zhì)

一節(jié)數(shù)學(xué)課還應(yīng)該搞清楚為什么教，教材安排這一內(nèi)容有什么目的，它在學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的梯度上應(yīng)該承載著什么作用。具體的數(shù)學(xué)知識只是提供了必要的基礎(chǔ)，僅是“生活建筑物”中的“腳手架”，只有認識到隱藏在具體數(shù)學(xué)知識背后的數(shù)學(xué)思想，才能深刻地理解和牢固地掌握具體的數(shù)學(xué)知識，真正能對有效的思維模式進行自覺地運用和創(chuàng)造。數(shù)學(xué)思想是被人們反復(fù)運用和確認的，它具有普遍意義和相對穩(wěn)定的特征，它直接支配著數(shù)學(xué)的實踐活動，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認識，它決定了數(shù)學(xué)的經(jīng)驗基礎(chǔ)、思考核心、發(fā)展目標(biāo)。數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該重視學(xué)生思維素質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，而重視數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)就是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、形成良好思維素質(zhì)的關(guān)鍵。

本課所蘊含的數(shù)學(xué)思想是什么呢？從張奠宙教授關(guān)于對“數(shù)學(xué)本質(zhì)”一文的描述中，我們找到了答案，“在新課標(biāo)以前，小學(xué)數(shù)學(xué)主要包括直觀幾何和度量幾何。后來發(fā)現(xiàn)，大學(xué)數(shù)學(xué)的許多問題，它的原始思想是非常簡單、非常樸實的，和小學(xué)生的生活也是密切相關(guān)的，后來增加了三個方面的內(nèi)容‘演繹幾何、運動幾何、坐標(biāo)幾何，教學(xué)內(nèi)容從過去的兩塊擴大到五塊，擴大了幾何學(xué)的視野和感受，是十分有意義的改革?！睆倪@段話中，我們清楚地意識到“用數(shù)對確定位置”正是基于對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的思考與補充，讓小學(xué)生初步感知坐標(biāo)幾何的思想與價值，是教材中安排這一內(nèi)容的意圖所在。在教學(xué)過程中，有兩大主線貫穿始終，一是圖例的抽象和演變，二是確定位置的方法。兩大主線的層層遞進與發(fā)展，充分展現(xiàn)了數(shù)對的數(shù)學(xué)知識和思想的產(chǎn)生與發(fā)展過程。在引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)點的位置說出數(shù)對、根據(jù)給出的數(shù)對確定點的位置的過程中，讓學(xué)生感受到點和數(shù)對的“一一對應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想，顯得“精妙”；在方格圖上用數(shù)對確定位置，不僅關(guān)注了數(shù)對方法的運用，還關(guān)注了在方格圖上用數(shù)對確定位置的背景，通過學(xué)生的不同資源的呈現(xiàn)對比，引導(dǎo)學(xué)生思考方格圖上用數(shù)對確定位置的核心所在——原點，從而引導(dǎo)學(xué)生逼近坐標(biāo)的最核心知識，真正在學(xué)生心中建立起坐標(biāo)的雛形，讓學(xué)生初步感受到坐標(biāo)思想的存在。通過在方格圖上描點、圍三角形、圍不同的平行四邊形等過程，讓學(xué)生真正體會了數(shù)對與圖形之間對應(yīng)的關(guān)系，特定數(shù)學(xué)情境下可以用數(shù)對來表示圖形，也可以根據(jù)圖形來推理出點的位置，這就達成了數(shù)對最核心的價值就是可以“用數(shù)來表示形”，最重要的是學(xué)生親身經(jīng)歷了體悟數(shù)學(xué)思想價值的過程，巧妙而又不著痕跡，簡潔而又不失味道。

三、從兒童的視角去體悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)

一節(jié)數(shù)學(xué)課還應(yīng)該搞清楚為誰而教。顯然，兒童是數(shù)學(xué)教學(xué)的主體，是教師教學(xué)設(shè)計的出發(fā)點和歸宿。無論數(shù)學(xué)的本質(zhì)淺顯還是深奧，都必須基于兒童的經(jīng)驗基礎(chǔ)和認知規(guī)律，探究活動都必須符合兒童的身心發(fā)展特點，讓兒童在數(shù)學(xué)研究活動中愿傾聽、敢質(zhì)疑、樂表達，從而觸摸到數(shù)學(xué)的本質(zhì)所在。有人把數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量理解為學(xué)生思維活動的質(zhì)和量，也就是學(xué)生知識結(jié)構(gòu)、思維方法形成的清晰程度和參與思維活動的深度和廣度。對學(xué)生的思維活動我們應(yīng)該追求“新”、“高”、“深”，即學(xué)生的思維活動要有新意，能形成一定高度的數(shù)學(xué)思想，參與教學(xué)活動的程度達到一定的深度。因此數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該基于兒童的視角，設(shè)計符合兒童需求的數(shù)學(xué)活動，給兒童留下深刻的知識理解和長久的思想激動，獲得一種思想的熏陶，形成一種“數(shù)學(xué)頭腦”，使他們在每一個問題解決的過程中，都能帶有鮮明的“數(shù)學(xué)色彩”，這樣的數(shù)學(xué)才能實現(xiàn)真正的實效和長效，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

本課中，數(shù)對這一知識本身屬于已經(jīng)確定的規(guī)則性的內(nèi)容，是學(xué)生可以直接接受的，并沒有太多的價值進行探索研究，如果一味地把探究活動放在數(shù)對的外在形式的獲取上，就削弱了兒童探索新事物的能力了。因此在教學(xué)中，先讓學(xué)生用自己的方法確定小紅的位置，在較短的時間內(nèi)形成對已有認知的“不滿足”，激發(fā)新的需要；然后直接將“列與行”的概念告知學(xué)生，讓學(xué)生在認知結(jié)構(gòu)中建立用“第幾列第幾行”的方法確定位置的規(guī)則，并觀察從座位圖到點子圖的變化過程，感受到用“列與行的方法”確定位置的統(tǒng)一性和準(zhǔn)確性，便于學(xué)生對數(shù)對的理解由表象的感知過渡到內(nèi)在的把握。同樣，直接引導(dǎo)學(xué)生對已有方法進行思考比較，用較短時間進行簡明寫法的探索，然后再比較不同方法中的相同之處，這個過程水到渠成地抽象出數(shù)對的結(jié)構(gòu)特點，“人為規(guī)定”的數(shù)對含義在學(xué)生的主動參與中獲得了更為鮮活的意義。學(xué)生在找點的過程中，產(chǎn)生了有意義的錯誤資源，或許是對數(shù)對結(jié)構(gòu)的混淆，或許是對數(shù)對特征的難辨，但在比較的過程中，卻看到了更加有意義的東西，那就是——思想。方格紙的巧妙引入，也是源自學(xué)生對數(shù)對方格圖的認知，多數(shù)學(xué)生認為方格圖與使用過的方格紙十分相似，既然學(xué)生對此并不陌生，何不順?biāo)浦勰?？正是起于兒童，基于兒童，終于兒童，才讓我們的數(shù)學(xué)在富有童趣的探究活動中走向本質(zhì)、走向理性。

數(shù)學(xué)不僅是一種知識，更是一個發(fā)現(xiàn)的過程，對于小學(xué)生來說，數(shù)學(xué)還應(yīng)該是一種再創(chuàng)造活動，而不只是印在書上和銘記在腦子里的知識，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該通過數(shù)學(xué)活動讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)抽象、嚴(yán)密和簡潔的本質(zhì)，感受數(shù)學(xué)知識的生長性，感受數(shù)學(xué)思想的魅力，感受數(shù)學(xué)文化與精神的力量！

（責(zé)編 金 鈴）