基于故障樹理論的共因失效系統(tǒng)重要度分析

王 寧，李淑敏，蔡志強(qiáng)，胡大偉

（1.長安大學(xué) 汽車學(xué)院，陜西 西安 710064；2.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院 現(xiàn)代設(shè)計與集成制造教育部重點(diǎn)實驗室，陜西 西安 710072）

隨著科技的進(jìn)步，社會的高度發(fā)展使得系統(tǒng)變得越來越復(fù)雜，系統(tǒng)的質(zhì)量與可靠性分析已經(jīng)成為系統(tǒng)設(shè)計、運(yùn)行及維護(hù)階段必須考慮的一項重要工作。重要度分析作為系統(tǒng)可靠性分析的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一，用于定量分析組件對系統(tǒng)影響的重要程度。其融合了靈敏度、風(fēng)險性、危害度和重要度等多類知識的前沿和熱點(diǎn)研究領(lǐng)域，也是用以確定系統(tǒng)薄弱環(huán)節(jié)的重要工具，對提高系統(tǒng)設(shè)計可靠性、安全性和進(jìn)行故障診斷具有積極意義[1]。

重要度是指系統(tǒng)中單個或多個組（部）件失效或狀態(tài)改變時，其對系統(tǒng)可靠性的影響程度，它是組（部）件可靠性參數(shù)和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的函數(shù)[2]。帶有相依性、共因失效等特征的復(fù)雜系統(tǒng)重要度計算是可靠性研究領(lǐng)域的難點(diǎn)和未來的研究方向[3]。謝里陽[4]等建立了故障樹共因失效模型，提出了兩種共因失效建模方法：顯式分析方法和隱式替代方法，兩種方法都能夠解決考慮共因失效時系統(tǒng)的可靠性分析問題，但由于顯式分析方法需要對最小割集進(jìn)行計算，計算量要大于隱式替代方法；而隱式替代方法與顯式分析方法需要共因集部件具有相同的失效概率，不適用于復(fù)雜的大型系統(tǒng)。王正等[5]人在系統(tǒng)層運(yùn)用應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型建立了共因失效系統(tǒng)可靠性模型，并建立了系統(tǒng)強(qiáng)度的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，研究了串聯(lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)以及（k/n）系統(tǒng)的可靠度和失效率隨時間的變化規(guī)律。張國軍[6]提出了一種基于二元決策圖的考慮共因失效的故障樹可靠性分析方法，將忽略共因失效情況的故障樹轉(zhuǎn)化為二元決策圖，求出系統(tǒng)的不可靠性表達(dá)式，通過隱式方法將該表達(dá)式轉(zhuǎn)化成包含共因信息的可靠性表達(dá)式。Xing等[7]人針對帶有共因失效的分級計算機(jī)系統(tǒng)，根據(jù)全概率公式，將初始可靠性問題分解為若干簡化的子問題，提出了有效的分解-耦合可靠性分析方法。

以上研究集中于共因失效系統(tǒng)建模方法和可靠性分析研究，主要用于計算共因失效系統(tǒng)的系統(tǒng)可靠性，缺少對共因失效系統(tǒng)部件重要度計算的研究。本文給出了基于FTA的共因失效系統(tǒng)Birnbaum重要度隱式替代計算方法，為重要度在共因失效系統(tǒng)中的應(yīng)用提供了有效的系統(tǒng)模型和算法工具，并通過決策圖建模簡化了系統(tǒng)最小割集的計算過程，最后通過串聯(lián)和并聯(lián)案例驗證了基于決策圖解決共因失效系統(tǒng)重要度計算問題的可行性。

1 共因失效系統(tǒng)概述與假設(shè)條件

1.1 共因失效系統(tǒng)中的狀態(tài)表述

1.1.1 組部件失效或正常狀態(tài)描述方法

為了分析由n個組部件組成的共因失效系統(tǒng)可靠性，引入以下符號[8]：

上述事件中，1≤i≤n；li=1，2，3，…，n；mi=1，2，…，n；…，并且下標(biāo) liminipiqi…表示正整數(shù)的組合。例如，，和均表示同一事件，即組部件1，2和3同時失效不發(fā)生事件。

對上式兩邊取逆可得單元i失效事件為:

由此可知：1）當(dāng)失效事件（或正常事件）的下標(biāo)組合相同，表示同一失效事件（或正常事件）；2）當(dāng)失效事件（或正常事件）的下標(biāo)組合不同，表示不同失效事件（或正常事件）；3）組部件i正常，表示關(guān)于組部件i所有的失效事件都不發(fā)生（邏輯積）；4）組部件i失效，表示關(guān)于組部件i的任意一個失效事件發(fā)生（邏輯和）；5）失效事件（或正常事件）滿足邏輯事件（或）集合的運(yùn)算法則。

1.1.2 系統(tǒng)失效或正常狀態(tài)描述方法

系統(tǒng)正?；蚴录杀硎緸槊總€組部件正常或失效事件的邏輯積之和形式，因此采用一般系統(tǒng)可靠性分析的最小路集和最小割集方法來表示系統(tǒng)正常或失效狀態(tài)。

1）串聯(lián)系統(tǒng)（以兩部件系統(tǒng)為例）：

系統(tǒng)正常，狀態(tài)表達(dá)式為：

系統(tǒng)失效，狀態(tài)表達(dá)式為：

2）并聯(lián)系統(tǒng)（以兩部件系統(tǒng)為例）：

系統(tǒng)正常，狀態(tài)表達(dá)式為：

系統(tǒng)失效，狀態(tài)表達(dá)式為：

由此可知：

1）已知系統(tǒng)的最小路集時，每個最小路集是組部件正常事件的乘積，系統(tǒng)正常事件S表示為最小路集的邏輯和，然后代入式（1），可得到系統(tǒng)正常事件的最初表達(dá)式，去除不符合系統(tǒng)事實的正常狀態(tài)，尋找到符合系統(tǒng)事實的正常狀態(tài)的表達(dá)式。

2）已知系統(tǒng)的最小割集時，每個最小割集就是組部件失效事件的乘積，系統(tǒng)失效事件表示為最小割集的邏輯和，然后代入式（2）可得到系統(tǒng)失效狀態(tài)的最初表達(dá)式，去除不符合系統(tǒng)事實的失效狀態(tài)，尋找到符合系統(tǒng)事實的失效狀態(tài)表達(dá)式。

1.2 系統(tǒng)假設(shè)

1）造成系統(tǒng)失效的原因來自系統(tǒng)外部，即造成若干個單元同時失效的各種沖擊來自系統(tǒng)外部，可認(rèn)為失效沖擊作用彼此相互獨(dú)立；

2）各種外部失效沖擊作用彼此相互獨(dú)立，造成若干單元同時共因失效；

3）相同分布單元，承受相似共因失效沖擊；

4）任意一個單元失效，可能是單元自身獨(dú)立原因造成，也可能是包含該單元的m（m≥2）個單元同時共因失效造成的失效。

系統(tǒng)承受某種共同原因引起的沖擊時發(fā)生共因失效，導(dǎo)致系統(tǒng)n（n≥2）個單元同時失效。

本文中使用兩兩獨(dú)立的泊松過程來描述沖擊 （或失效）次數(shù)，設(shè)組部件單獨(dú)失效次數(shù)的數(shù)目增減為（t），包括單元i的若干個組部件同時失效次數(shù)的數(shù)目增減為其中 l=1，2，3，…，n；m=1，2，3，…，n；p=1，2，3，…，n；…。

因此，對系統(tǒng)進(jìn)行共因失效分析時，基本假設(shè)為[8]：導(dǎo)致組部件失效的各種沖擊是彼此相互獨(dú)立，即事件之間相互獨(dú)立；事件之間彼此相互獨(dú)立。

2 基于故障樹的共因失效系統(tǒng)重要度計算與分析

2.1 故障樹的二元決策圖表示

二元決策圖（Binary Decision Diagram，BDD）是布爾函數(shù)的一種圖的表現(xiàn)形式，該圖中的變量取值為0和1，該方法表示布爾函數(shù)所用存儲空間較少，可以極大的提高模型檢驗的系統(tǒng)規(guī)模。在表示BDD時，通常規(guī)定所有的非終節(jié)點(diǎn)都由一個含有變量的圓圈表示，而所有的終節(jié)點(diǎn)都由含有一個0或1的方框來表示，所有的‘0’邊都用虛直線來表示，所有的‘1’邊都由實線表示。

每個布爾變量都可以用if-then-else格式表示，記作ite（Xi，1，0）；由香農(nóng)定理，應(yīng)用（ite）格式得出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)表達(dá)式F：

2.2 基于故障樹的重要度計算隱式方法

設(shè)n為故障樹的底事件數(shù)目，不考慮共因失效時，每個底事件發(fā)生概率（不可靠度）為 Fi（t）（1≤i≤n），根據(jù)最小割集概念，系統(tǒng)不可靠度 Fs（t）可表示為底事件可靠度 Fi（t）的函數(shù)：

其函數(shù)關(guān)系是由故障樹的結(jié)構(gòu)決定的。

基于故障樹的隱式替代方法的基本思路如下：

1）應(yīng)用BDD計算系統(tǒng)最小割集，進(jìn)行不交化得到系統(tǒng)不可靠度表達(dá)式為：

2）令承受共因失效沖擊的每個單元不可靠度均為F（t），其余單元均為不承受共因失效沖擊的單元，不可靠度可以使用帶下標(biāo)的形式表示為Fi（t），則系統(tǒng)的不可靠度表示為：

上式中，不承受共因失效的底事件數(shù)目n2=n-n1。

如果所有底事件均承受共因失效沖擊，即n1=n，此時，不承受共因失效沖擊的底事件數(shù)目n2=0。

3）系統(tǒng)不可靠度 Fm（t）表示為（t），即令 Fm（t）=（t），經(jīng)過化簡，得出受共因失效影響時系統(tǒng)的不可靠度表達(dá)式：

上式中，λi為指定的i個底事件同時共因失效的失效率；共因失效的失效率數(shù)目為n1個。

5）計算Fi（t）代入考慮共因失效時系統(tǒng)不可靠度表達(dá)式，獨(dú)立失效單元的不可靠度Fi（t）的計算表達(dá)式為：

對于二態(tài)系統(tǒng)，即每個組部件只有正常和不正常兩種狀態(tài)的系統(tǒng)，重要度計算公式[7]如式（6）所示，其物理意義是指部件 Ci從工作狀態(tài)（Ci=0）變?yōu)槭顟B(tài)（Ci=1）時，系統(tǒng)可靠性的變化值。其中R（·）表示系統(tǒng)或部件的可靠性函數(shù)，S代表系統(tǒng)狀態(tài)（邏輯值為‘1’表示系統(tǒng)正常運(yùn)行，邏輯值為‘0’表示系統(tǒng)失效），Ci代表部件標(biāo)號。應(yīng)用公式 （6）對各部件的Birnbaum重要度進(jìn)行計算。

3 案例分析

3.1 串聯(lián)系統(tǒng)重要度分析

系統(tǒng)由3個元件串聯(lián)構(gòu)成，分別為元件1，元件2，元件3，其中元件1和元件2服從相同分布，并且承受共因失效沖擊，3個元件同時共因失效的失效率分別為λ1、λ2和λ3，分析該系統(tǒng)的可靠性及其各元件的重要度。串聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1（a）所示。

圖1 串聯(lián)系統(tǒng)案例Fig.1 Series system case

基于故障樹分析法對該串聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行分析，基于故障樹方法的系統(tǒng)表示如圖 1（b）所示（圖 1（b）中 a，b，c 分別代表元件1，2和3失效事件，T1表示元件1和2共因失效事件，T表示系統(tǒng)失效事件）；其 BDD 表示如圖 1（c）所示，由圖 1（c）得出系統(tǒng)的最小割集只有一個{abc}，所以不必要進(jìn)行最小割集不交化過程。

1）系統(tǒng)的可靠度計算

系統(tǒng)不可靠度的表達(dá)式為：

FS=P（T）=P（）P（）P（）=F1（t）F2（t）F3（t）

綜上所述，系統(tǒng)的不可靠度FS和系統(tǒng)可靠度RS分別為：

FS=F2（t）F3（t）=（1-exp（-（2λ1+λ2）t））（1-exp（-λ3t））

RS=1-FS=exp（-（2λ1+λ2）t）+exp（-λ3t）-exp（-（2λ1+λ2+λ3）t）

2）元件1和元件2的重要度計算：

元件1和元件2服從相同分布，由相似原理可知元件1和元件2重要度等價。

3）元件3的重要度計算

Ig3=P（S=1|Ci=1）-P（S=1|Ci=0）=P22（t）-0=exp（-（2λ1+λ2）t）

現(xiàn)取 λ1=0.1、λ2=0.2、λ3=0.3，串聯(lián)系統(tǒng)元件重要度曲線如圖2所示。由圖2可知任何時期元件3比元件1和2重要；且三者的重要度均隨時間推移逐步下降。

圖2 串聯(lián)系統(tǒng)元件重要度曲線Fig.2 Importance curve of series system

3.2 并聯(lián)系統(tǒng)重要度分析

系統(tǒng)由3個元件并聯(lián)構(gòu)成，分別為元件1，2和3。元件1和2服從相同分布，承受共因失效沖擊，且均為單獨(dú)失效，共因失效失效率分別為λ1和λ2。元件3獨(dú)立失效的失效率為λ3，分析該系統(tǒng)的可靠性及其各元件的重要度。并聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖 3（a）所示。

圖3 并聯(lián)系統(tǒng)案例Fig.3 Parallel system case

基于故障樹方法對該并聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行分析，得出該系統(tǒng)的故障樹表示如圖 3（b）所示（圖 3（b）中，，分別代表元件1，2和3失效事件，T1表示元件1和2共因失效事件，T代表系統(tǒng)失效事件）；其 BDD 表示如圖 3（c）所示，由圖 3（C）得出系統(tǒng)的最小割集有3個，分別為、{}和頂事件不交化（即最小割集不交化）得：T=。

1）系統(tǒng)可靠度計算

系統(tǒng)的不可靠度表達(dá)式為：FS=P（T）=P（）P（）P（）=F1（t）F2（t）F3（t）。

F2（t）=（t）=1-2exp（-（λ1+λ2）t）+exp（-[λ1+（λ1+λ2）]t）

綜上所述，系統(tǒng)的不可靠度FS和系統(tǒng)可靠度RS分別為：

FS=F2（t）F3（t）=（1-2exp（-（λ1+λ2）t）+exp（-（2λ1+λ2）t））（1-exp（-λ3t））

RS=1-FS=2exp（-（λ1+λ2）t-exp（-（2λ1+λ2）t））+exp（-λ3t）-2exp（-（λ1+λ2+λ3）t）+exp（-（2λ1+λ2+λ3）t）

2）元件1和元件2的重要度計算

元件1和2服從相同分布，承受共因失效沖擊，根據(jù)相似原理，元件1和2重要度等價。

Ig1=Ig2=Ig1，2=P（S=1|C1，2=1）-P（S=1|C1，2=0）

=1-2exp（-（λ1+λ2）t）+exp（-（2λ1+λ2）t）-exp（-λ3t）+2exp（-（λ1+λ2+λ3）t）-exp（-（2λ1+λ2+λ3）t）

3）元件3的重要度計算

條件概率 P（S=1|C3=1），P（S=1|C3=0）=1-（t），所以有：

Ig3=P（S=1|C3=1）-P（S=1|C3=0）=1-2exp（-（λ1+λ2）t）+exp（-（2λ1+λ2）t）

現(xiàn)取 λ1=0.1、λ2=0.2、λ3=0.3， 討論元件重要度之間的關(guān)系，其函數(shù)曲線如圖4所示。

圖4 并聯(lián)系統(tǒng)部件重要度曲線Fig.4 Importance curve of parallel system

由此可知，元件1、元件2和元件3的重要度大小與時間有關(guān)。元件1和2的重要程度是隨著時間推移逐漸上升的，部件3的重要程度是隨著時間推移逐漸下降的。

4 結(jié) 論

本文首先介紹了共因失效系統(tǒng)的概念和系統(tǒng)假設(shè)；其次給出計算其Birnbaum重要度的隱式替代方法，并通過決策圖建模簡化了系統(tǒng)最小割集的求解；最后，分別對一個串聯(lián)共因失效系統(tǒng)案例和一個并聯(lián)共因失效系統(tǒng)案例應(yīng)用給出的方法進(jìn)行分析，比較了部件之間的重要度，驗證了該方法的可行性。

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