基于盲源分離的共形陣列二維DOA估計(jì)

王法棟，李杰然，王瑞革

（中國(guó)人民解放軍92785部隊(duì)，河北秦 皇島 066200）

共形陣列是一種與載體表面共形的天線陣列。一般來(lái)說(shuō)，共形陣列具有安裝簡(jiǎn)化、波束掃描范圍廣、RCS小等優(yōu)點(diǎn)[1]。目前，現(xiàn)代飛機(jī)、導(dǎo)彈、衛(wèi)星等設(shè)備均要求采用共形陣列天線。因此，共形陣列的相關(guān)研究已受到廣泛關(guān)注。從陣列信號(hào)處理角度講，參數(shù)估計(jì)問(wèn)題是共形陣列的主要問(wèn)題之一。國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞共形陣列的優(yōu)勢(shì)，在共形陣列信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)（direction of arrival，DOA）計(jì)方面做了一些研究工作[2-7]。比如文獻(xiàn)[2]以圓柱共形陣列為例，采用多維MUSIC譜估計(jì)方法實(shí)現(xiàn)了DOA估計(jì)，但其需要二維譜峰搜索，運(yùn)算量大，不適用于工程實(shí)際；文獻(xiàn)[3-6]通過(guò)合理劃分陣列使其滿(mǎn)足旋轉(zhuǎn)不變結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)柱面陣列和錐面共形陣列的DOA合估計(jì)。但其方法對(duì)陣列形狀要求高，并不能適用于其他共形陣列?？梢哉f(shuō)，關(guān)于共形陣列DOA估計(jì)問(wèn)題還有許多值得進(jìn)一步研究的工作。本文試圖給出一種對(duì)陣列形狀限制小，估計(jì)性能良好，運(yùn)算量小的共形陣列DOA估計(jì)方法。盲源分離用于陣列信號(hào)DOA估計(jì)是近幾年出現(xiàn)的方法[7]，其利用信號(hào)的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性實(shí)現(xiàn)信號(hào)的DOA估計(jì)。結(jié)合盲源分離的特點(diǎn)，本文利用JADE算法實(shí)現(xiàn)了共形陣列信號(hào)DOA估計(jì)。以圓臺(tái)共形陣列為例，對(duì)算法性能做了仿真驗(yàn)證。

1 陣列結(jié)構(gòu)與數(shù)據(jù)模型

共形陣列沒(méi)有具體的陣列形狀，這里為了體現(xiàn)算法普適性，采用結(jié)構(gòu)任意的陣列，如圖1所示。陣元數(shù)為N，第n個(gè)陣元的坐標(biāo)為（pnx，pny，pnz）。

圖1 任意形狀陣列Fig.1 Arrays of arbitrary shape

假設(shè)有K個(gè)已知載頻為ω0，波長(zhǎng)為λ的不相關(guān)窄帶信源 s1（t），s2（t），…，sK（t）入射到陣列，其入射角分別為{（θ1，φ1），（θ2，φ2），…，（θK，φK）}。 設(shè)每個(gè)陣元的極化輻射方向圖相同，但對(duì)于曲率較大的共形陣列而言，各陣元實(shí)際接收數(shù)據(jù)時(shí)會(huì)有所不同。可以參考文獻(xiàn)[1]的共形陣列建模的方法，記gn（θk，φk）為第n個(gè)陣元實(shí)際接收方向圖。

第n個(gè)陣元的輸出為：

其中，sk（t）為第 k 個(gè)入射信號(hào)，其中|Ek|為幅度，Ψk為[0，2π]內(nèi)均勻分布的初始相位；rk為第k個(gè)信號(hào)的傳播矢量

nn（t）為加性噪聲矢量，其均值為零，且各陣元間互不相關(guān)。

式（1）可寫(xiě)成矢量的形式

其中，

2 JADE算法共形陣列信號(hào)DOA估計(jì)

將盲源分離技術(shù)應(yīng)用到陣列信號(hào)DOA估計(jì)是近些年出現(xiàn)的方法。一般而言，可以采用基于信息論的方法、基于二階統(tǒng)計(jì)的方法和基于高階累計(jì)量的方法等。JADE算法是由Cardoso提出的一種盲源分離算法。其引入數(shù)據(jù)四階累積量矩陣組，通過(guò)對(duì)其做特征分解進(jìn)行聯(lián)合對(duì)角化，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的盲分離?？紤]JADE算法結(jié)果具有穩(wěn)健的特點(diǎn)，本文采用JADE算法實(shí)現(xiàn)共形陣列信號(hào)DOA估計(jì)。

通常認(rèn)為，陣元數(shù)N大于信號(hào)源數(shù)K，即有N>K。為了估計(jì)信號(hào)源個(gè)數(shù)，JADE算法首先要對(duì)陣列接收數(shù)據(jù)x（t）做白化處理，這樣可以消除各通道接收數(shù)據(jù)間的二階相關(guān)。

假設(shè)白化矩陣為W，則白化處理即是使輸出Z=WY的各分量zk（t）的方差為1，且互不相關(guān)。假設(shè)信號(hào)方差均為1，則有

這樣，可以得到

式中U=WA是個(gè)酉矩陣。

那么，流形矢量矩陣A可以由假設(shè)白化矩陣為W和酉矩陣U得到：

其中，“#”表示求偽逆。

可以看到如果求出酉矩陣U，就可獲得流形矢量矩陣A的估計(jì)，從而可以實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)DOA估計(jì)。

令白化后的數(shù)據(jù) Z為 Z=[z1，z2，…，zK]，則 Z的四階累計(jì)累積量為

記變換矩陣的第（i，j）個(gè)元素為 Fij，則

其中，mkl是矩陣 M 的第 k，l元素。 可以證明，F(xiàn)（M）是對(duì)稱(chēng)矩陣。那么，F(xiàn)（M）可以分解為

式中，λ為特征值，M為特征矩陣。這樣，F(xiàn)（M）可表示為

其中，

可以發(fā)現(xiàn)，U矩陣起到將F（M）對(duì)角化的作用。如果各信號(hào)的特征值不相同，就能得到酉矩陣的估計(jì)，利用式（10）即可得到流形矢量矩陣的估計(jì)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的DOA估計(jì)。由于通過(guò)JADE分離得到的信號(hào)順序是不確定的，需要對(duì)分離得到的信號(hào)進(jìn)行FFT，以確定信號(hào)頻率。

下面給出算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟：

1）對(duì)接收收據(jù)做白化處理，求得白化矩陣W；

2）選擇矩陣組M，利用白化后的數(shù)據(jù)求得四階累積量F（M）；

3 仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)1采用如圖2所示的17陣元的圓臺(tái)陣共形陣列，圓臺(tái)頂層半徑R=λ/4，圓臺(tái)底角為60°。共分4層，兩層陣元間距dz=λ/4。每層陣元等角度分布，其相鄰陣元夾角30°。陣元采用有向陣元，即

其中，J0（πεsinθk）和 J2（πεsinθk）分別為零階和二階第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)。ε是由天線陣元位置和工作狀態(tài)決定的可變參數(shù)，取 ε=0.5。

圖2 共形陣列Fig.2 Conformal array

設(shè)有2個(gè)頻率為f0的空間窄帶信號(hào)源入射到陣列，其參數(shù)（θ，φ）（其中，θ代表俯仰角，φ 代表方位角）為（30°，40°）和（30°，50°），信噪比（SNR）均為 20 dB，采樣快拍數(shù)為 500，做50次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)。圖3給出了二維角度的估計(jì)結(jié)果。

從圖3看出，本文給出的算法可以有效地估計(jì)出信源的二維角度。算法對(duì)陣列形狀限制小，幾乎可以適用于任意共形陣列。

圖3 二維角度估計(jì)結(jié)果Fig.3 The result of DOA

實(shí)驗(yàn)2陣列與信源設(shè)置同實(shí)驗(yàn)1，采用500次快拍，進(jìn)行50次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，圖4給出了2個(gè)信源二維角度估計(jì)結(jié)果的均方根誤差（RMSE）隨信噪比的變化曲線。

定義信源k的二維角度估計(jì)的均方根誤差為

由圖4可以看出，隨著SNR的增加，算法估計(jì)的均方根誤差逐漸減小，估計(jì)的精度逐漸提高。

圖4 二維角度估計(jì)結(jié)果的RMSE隨SNR變化曲線Fig.4 DOA RMSE versus SNR

實(shí)驗(yàn)3 陣列與信源設(shè)置同實(shí)驗(yàn)1，信噪比為20 dB，進(jìn)行50次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，圖5給出了2個(gè)信源二維角度估計(jì)結(jié)果的均方根誤差（RMSE）隨采樣快拍數(shù)的變化曲線。

圖5 二維角度估計(jì)結(jié)果的RMSE隨采樣快拍數(shù)變化曲線Fig.5 DOA RMSE versus number of snapshots

由圖5可以看出，隨著采樣快拍數(shù)的增加，算法估計(jì)的均方根誤差逐漸減小，估計(jì)的精度逐漸提高。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用盲源分離技術(shù)，給出了基于JADE盲源分離的共形陣列信號(hào)DOA估計(jì)算法。以圓臺(tái)共形陣列為例，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)算法有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。算法對(duì)陣列形狀限制小，性能良好。關(guān)于共形陣列信號(hào)參數(shù)估計(jì)還有許多要做的工作，比如共形陣列信號(hào)極化、頻率參數(shù)估計(jì)問(wèn)題等，還有許多值得繼續(xù)深入研究的工作。

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