“SAS”證明三角形全等的不同情形

周紅娟

我們知道，蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)教材第14頁(yè)把“SAS”作為第一個(gè)基本事實(shí)推出之后，連續(xù)安排3個(gè)例題鞏固訓(xùn)練這種判定方法，這足以說(shuō)明該判定方法的重要性，也說(shuō)明“SAS”在不同的圖形、不同條件下會(huì)有不同的探究方法，同學(xué)們研習(xí)教材時(shí)也應(yīng)有這樣發(fā)現(xiàn)的眼光.下面我們?nèi)匀粐@“SAS”列舉三種不同于教材的圖形，幫助同學(xué)們鞏固這種判定方法.

情形一 簡(jiǎn)單組合“SAS”條件進(jìn)行判定

例1 已知：如圖1，E是BC的中點(diǎn)，∠1=∠2，AE=DE.

求證：AB=DC.

【分析】就本題圖形與已知條件來(lái)看，要證得AB=DC，只要證得兩個(gè)三角形全等即可. 從所給的條件來(lái)看，已知中直接給定了一組角與一組邊對(duì)應(yīng)相等，好像少一組邊對(duì)應(yīng)相等，實(shí)際上∠1=∠2的另一組夾邊以“E是BC的中點(diǎn)”的形式給出了，這三個(gè)條件基本上是以比較直接的形式給出的，具體證明只要簡(jiǎn)單組合一下這三個(gè)條件就可以了.

證明：∵E是BC的中點(diǎn)，

∴BE=CE.

在△ABE和△DCE中，

∵BE=CE，∠1=∠2，AE=DE，

∴△ABE≌△DCE.

∴AB=DC.

【反思】這種只要直接組合已知條件證明三角形全等的題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)，給出證明時(shí)注意幾何語(yǔ)句的書(shū)寫(xiě)規(guī)范.

情形二 探尋“夾角”相等實(shí)現(xiàn)“SAS”判定

例2 已知：如圖2，OP是∠AOC和∠BOD的平分線(xiàn)，OA=OC，OB=OD.

求證：AB=CD.

【分析】由題意，我們只要證得△AOB≌△COD即可得到結(jié)論.這兩個(gè)三角形全等的條件已直接給出了兩組邊對(duì)應(yīng)相等，是不是能找到它們的夾角呢？顯然，題目已知條件給了“OP是∠AOC和∠BOD的平分線(xiàn)”，能給我們以幫助，可以得到∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，進(jìn)而由角的差可以得到兩個(gè)三角形的∠AOB=∠COD，從而獲得三角形全等的必要條件.

證明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分線(xiàn)，

∴ ∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP.

∴∠AOB=∠COD.

在△AOB和△COD中，

OA=OC，

∠AOB=∠COD，

OB=OD，

∴△AOB≌△COD. ∴AB=CD.

【反思】本題也是比較典型的考查全等三角形的基礎(chǔ)問(wèn)題，只要經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的探究就能得到一個(gè)間接給出的有效條件從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決，解題時(shí)注意題目中一些間接信息的轉(zhuǎn)譯，一些間接信息是發(fā)現(xiàn)有效條件的來(lái)源.

情形三 探尋一組“有效的邊”相等應(yīng)用“SAS”判定

例3 如圖，點(diǎn)C，E，B，F(xiàn)在同一直線(xiàn)上，∠C=∠F，AC=DF，EC=BF.求證：△ABC≌△DEF.

【分析】由題意，題中直接給出一組對(duì)應(yīng)角、一組對(duì)應(yīng)邊相等，還差一組對(duì)應(yīng)邊（BC=EF）就可以應(yīng)用“SAS”判定兩個(gè)三角形全等了.觀察所給的條件EC=BF，我們可以利用線(xiàn)段的和得到有效的一組對(duì)應(yīng)邊BC=EF，于是問(wèn)題獲得解決.

證明：∵EC=BF，

∴EC+BE=BF+BE，即BC=EF.

在△ABC與△DEF中，

AC=DF，

∠C=∠F，

BC=EF，

∴△ABC≌△DEF（SAS）.

【反思】本題尋找另一組“有效的對(duì)應(yīng)邊”也是通過(guò)題目中間接信息得出的，這種給出一組非對(duì)應(yīng)邊的線(xiàn)段相等，從而根據(jù)線(xiàn)段的和及等式性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)邊相等的解題思路（或意識(shí)）是非常重要的，同學(xué)們要注意積累.

最后鏈接一道新考題，幫助同學(xué)們鞏固本文所講內(nèi)容.

小試牛刀

（2015·重慶卷）如圖4，△ABC和△EFD分別在線(xiàn)段AE的兩側(cè)，點(diǎn)C，D在線(xiàn)段AE上，AC=DE，AB∥EF. 求證：BC=FD.

（作者單位：江蘇省南通市第一初級(jí)中學(xué)）