理解對應(yīng)：從“標(biāo)準(zhǔn)圖形”到“變式圖形”

蔡美娟

全等三角形對于平面幾何的學(xué)習(xí)有著十分重要的奠基價值，因為后續(xù)很多圖形性質(zhì)（如角平分線、垂直平分線、等腰三角形、平行四邊形、圓等）都需要全等三角形的參與，類似代數(shù)中一元一次方程，也是后續(xù)很多數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).然而很多同學(xué)初學(xué)全等時，常常感覺非常困難，主要障礙往往出在“對應(yīng)”上！如圖1，△ABC≌△A′B′C′，對應(yīng)關(guān)系很容易明確.

但是，很多幾何問題的難點并不在于這種“標(biāo)準(zhǔn)圖形”的理解上，而是在“標(biāo)準(zhǔn)圖形”經(jīng)過恰當(dāng)?shù)淖儞Q成為“變式圖形”之后（如圖2～8），你是否還能準(zhǔn)確、快速地識別對應(yīng)關(guān)系呢？

下面我們來看兩個例題，了解非標(biāo)準(zhǔn)圖形下的三角形全等問題.

例1 如圖9，點C、D在線段AB上，AC=DB，AE=BF，∠A=∠B.求證△CBF≌△DAE.

【分析】本題從已知條件看，很容易就聯(lián)想到應(yīng)該首先推導(dǎo)相等的這個內(nèi)角的另一條邊也是對應(yīng)相等的，也就是AD=BC，然后再證明三角形全等.

證明：因為AC=DB（已知），

所以AC+CD=BD+CD，即AD=BC.

在△CBF和△DAE中，

AE=BF，

∠A=∠B，

AD=BC.

∴△CBF≌△DAE（SAS）.

例2 如圖10所示，AD∥BC，AD=CB，求證：△ADC≌△CBA.

【分析】本題是在兩個三角形有公共邊AC的情況下進行考慮的，也就是有兩組邊對應(yīng)相等.若要根據(jù)SAS來判斷兩個三角形全等，應(yīng)該首先推導(dǎo)以AC和AD的夾角∠2與CA和CB的夾角∠1也是對應(yīng)相等的，然后再證明三角形全等.

證明：因為AD∥BC，

所以∠1=∠2.

在△ADC和△CBA中，

AD=CB，

∠1=∠2，

AC=CA.

所以△ADC≌△CBA（SAS）.

【解后反思】如果再由證得的全等三角形出發(fā)，同學(xué)們還能得出該四邊形ABCD中對邊AB、CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系嗎？

（作者單位：江蘇省海安縣李堡鎮(zhèn)初級中學(xué)）