學(xué)好數(shù)學(xué)要善于思考

孫吉森

摘 要：數(shù)學(xué)題千變?nèi)f化，可它無論怎樣變化，同類題型總是緊密聯(lián)系的。因此，不論是解題還是聽老師講題，都不要死學(xué)死記，而要學(xué)會(huì)聯(lián)系和變通，把學(xué)到的東西變化一下，想想會(huì)有怎樣的結(jié)論產(chǎn)生。只有這樣你才能真正理解，真正掌握。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；聯(lián)系和變通；善于思考

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）23-330-01

很多學(xué)生在學(xué)習(xí)全等三角形和軸對稱這兩章時(shí)都認(rèn)為不好學(xué)，老師講時(shí)覺得很簡單，可輪到自己去解答時(shí)，又總覺得它很陌生，無從插手，找不到任何解題思路，自己又不明白問題出在什么地方。是自己沒有天賦，還是學(xué)習(xí)方法有問題。確實(shí)這兩章內(nèi)容較多，課程標(biāo)準(zhǔn)中圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)各部分的內(nèi)容都有涉及。但如果學(xué)習(xí)時(shí)我們注意把握各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，有機(jī)地進(jìn)行整合，學(xué)好這兩章并不是很難的事情。要學(xué)好它，關(guān)鍵要看你的方法是否得當(dāng)，學(xué)好這兩章最關(guān)鍵的是要學(xué)會(huì)思考不同題型之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)題千變?nèi)f化，可它無論怎樣變化，同類題型總是緊密聯(lián)系的。因此，不論是解題還是聽老師講題，都不要死學(xué)死記，而要學(xué)會(huì)聯(lián)系和變通，把學(xué)到的東西變化一下，想想會(huì)有怎樣的結(jié)論產(chǎn)生。只有這樣你才能真正理解，真正掌握。

教材上有這樣一道題。已知如圖（1）△ABD△AEC都是等邊三角形，求證：BE=DC 對于這道題的解答，一般學(xué)生都能比較順利地解答出來。通過證明△ABE≌△ADC從而得到所要的結(jié)論。

可同學(xué)們幾乎都只是為了解題而解題，并不去進(jìn)一步深入地思考一下，如圖（2）如果把△ABC和△AEC都是等邊三角形變?yōu)槎际堑妊苯侨切危敲碆E和DC還相等嗎？其實(shí)變化后的題目結(jié)論依然成立，解題思路與原題相同，還是通過證明△ABE≌△ADC從而得到BE=DC。

我們還可以做其他方面的變化，如改變原題中兩個(gè)等邊三角形的位置，再思考一下，題中的結(jié)論是否發(fā)生變化，讓等邊三角形ACE繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，BE和CD是否保持相等還是有所變化？其實(shí)我們不難發(fā)現(xiàn)，在轉(zhuǎn)動(dòng)中BE和CD一直保持相等。

不妨我們對它們的一個(gè)特殊位置再作進(jìn)一步的研究，如圖（3）既當(dāng)AB、AC在同一直線時(shí)，我們還能得出什么結(jié)論呢？如果AD與BE的交點(diǎn)為F，AE與CD的交點(diǎn)為G，能否證明三角形AFG是等邊三角形。這個(gè)結(jié)論的證明較前幾個(gè)結(jié)論的證明難度要大一些，因運(yùn)用的知識(shí)相對多一些，學(xué)生通過三角形全等不難證出AF等于AG，再求∠FAG的度數(shù)為60°，很顯然△AFG是等邊三角形。

如果我們能想到這些變形后，學(xué)生掌握的就不再是一道簡單的幾何題了，而是把所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化，綜合化了。再遇類似題型就不會(huì)覺得陌生和無從下手了。如我們再進(jìn)一步深入研究，就會(huì)取得更好的效果，并且還會(huì)獲得無窮的樂趣，那就達(dá)到最好的學(xué)習(xí)效果。如在上圖中，我們連接AH，我么會(huì)發(fā)現(xiàn)∠FHA和∠GHA可能會(huì)相等，那到底等不等，能不能證明呢？假設(shè)他是相等的，一般我們是用三角形全等來證明角等，那能不能找到含∠FHA和∠GHA的一對全等三角形呢，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的一對三角形不存在。那我們就得需要自己構(gòu)造全等的三角形或者利用角平分線性質(zhì)定理的逆定理來證明∠FHA和∠GHA相等。因此，不妨試試過點(diǎn)A分別做BE、CD的垂線，垂足為M、N，這樣就構(gòu)造了全等的三角形△AHM和△AHN，但直接證明它們?nèi)鹊臈l件還不具備。

我們進(jìn)一步觀察又會(huì)發(fā)現(xiàn)，圖中還有△ABM和△ADN， △AEM和△ACN全等，這兩組全等三角形是很容易用角角邊證明的，從而得出AN和AM相等。這樣，我們再證明△AHM和△AHN全等條件就具備了，很顯然∠FHA和∠GHA相等就得到證明了。其實(shí)我們也可以不證明△AHM和△AHN全等，而利用角平分線性質(zhì)定理逆定理的性質(zhì)得出∠FHA和∠GHA相等。

問題思考到這里，你幾乎會(huì)對本章的知識(shí)甚至是這部分的知識(shí)進(jìn)行了系統(tǒng)的梳理，不僅讓知識(shí)得以熟悉，更重要的是讓知識(shí)得以深刻理解和熟練運(yùn)用。因此，你不再是把各部分知識(shí)零散記憶，而是讓各部分知識(shí)有機(jī)地聯(lián)系在一起，并且能靈活地運(yùn)用到實(shí)際問題中去，從而達(dá)到真正的融會(huì)貫通。你也不會(huì)覺得數(shù)學(xué)是單調(diào)枯燥的東西了。

其實(shí)，數(shù)學(xué)的趣味性在很大程度上體現(xiàn)在它的多變性上。我們遇到問題時(shí)，有時(shí)思考的是問題的多變，有時(shí)思考的是解題的多變。例如圖（4），在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE、DF分別垂直于AB和AC，垂足分別是點(diǎn)E和點(diǎn)F，請問DE、DF與△ABC腰上的高CG有什么關(guān)系？

對于這個(gè)問題，我們?nèi)菀撞碌紻E+DF=CG。那怎么來解答這個(gè)問題呢？一般思路是截長法或補(bǔ)短法，也就是說，我們可以把CG截成兩段，然后證明它們與DE、DF分別相等?；蛘甙袲E、DF補(bǔ)成一條線段，然后證明它與CG相等。其實(shí)，這兩種思路對解答這個(gè)問題都不太簡單。