基于代數(shù)多項式模型的用電量預(yù)測研究

盛立锃，曾喆昭，李 莎

(長沙理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 長沙 410004)

隨著國民經(jīng)濟的快速發(fā)展與發(fā)展方式的轉(zhuǎn)型、人們生活水平的不斷提高，社會用電量均在不斷地攀升。由于影響用電量的因素較多且各個因素之間可能相互影響，存在較強的相關(guān)性，加上預(yù)測的時間長短、精度控制的要求不一，因此，目前對于用電量的預(yù)測方法各不相同。

用電量預(yù)測的主要思路:通過找出全社會用電量的時序發(fā)展規(guī)律及其各種相關(guān)因素的歷史相關(guān)性，建立數(shù)學(xué)模型，通過外推的方法實現(xiàn)預(yù)測。目前，常用的單一預(yù)測方法一般有插值法［1－2］、灰色預(yù)測法［3－4］、回歸分析預(yù)測法［5－6］、時間序列法［7－10］以及人工智能方法中的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［11－12］，這些方法在用電量的預(yù)測中均取得了一定的效果。由于單一的預(yù)測方法都是基于某一個或幾個變化規(guī)律的分析，忽略了其他一些因素，因此存在一定的局限性。如何將各種方法合理地組合起來，取長補短，實現(xiàn)優(yōu)勢互補，是解決單一預(yù)測法缺陷的一種途徑。

組合預(yù)測方法的主要思想:選取多個預(yù)測模型，按照某個原則(如預(yù)測有效度和殘差)求取最優(yōu)組合權(quán)系數(shù)，將多個模型的預(yù)測結(jié)果進行擬合。組合預(yù)測能有效降低單個模型預(yù)測風(fēng)險，提高預(yù)測精度。如貝葉斯理論與支持向量機的結(jié)合［13］可以有效地克服數(shù)據(jù)的不確定性、相關(guān)性和非線性的影響;ARIMA模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的結(jié)合［14］可對誤差進行修正，改善預(yù)測結(jié)果;模擬退火算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)合［15］、粒子群優(yōu)化算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合［16］可實現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)優(yōu)化，改善神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的泛化能力。由于組合預(yù)測模型在擬合階段的要求是目標(biāo)函數(shù)值取全局誤差平方和最優(yōu)，因此，所有組合預(yù)測都無法避免地要對權(quán)重問題進行討論。用電量受社會、經(jīng)濟、自然條件等眾多因素的影響，是一個典型的非線性系統(tǒng)，僅僅依靠有限的因素進行預(yù)測顯然不足。

為了進一步完善理論體系，筆者提出基于多項式模型與遞推最小二乘算法相結(jié)合的曲線擬合預(yù)測方法，該方法的明顯優(yōu)點在于根據(jù)歷史數(shù)據(jù)刻畫出模擬函數(shù)，找到數(shù)據(jù)變化的內(nèi)在變化趨勢，實現(xiàn)對模型參數(shù)估計。仿真結(jié)果表明，筆者提出的方法簡單、有效，并且能實現(xiàn)中長期用電量預(yù)測。

1 代數(shù)多項式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

1.1 代數(shù)多項式模型

設(shè)fd(x)表示x時刻的采樣值，f(x)為x時刻的預(yù)測值，x∈［a，b］，對x做等效變換:t=(2x－ab)/(b－a)，則－1≤t≤1。

設(shè)代數(shù)多項式預(yù)測模型為

式中 ai(i=0，1，…，m)為加權(quán)系數(shù)。

為了確定加權(quán)系數(shù)ai，首先對式(1)離散化，得

則預(yù)測模型是最優(yōu)的，其中ai為最優(yōu)預(yù)測系數(shù)。

設(shè)向量:

多項式矩陣設(shè)為

則離散模型式(2)可改寫為

或

1.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

根據(jù)式(6)可以構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。設(shè)輸入層至隱含層的權(quán)值恒為1，以T(k，j)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱層神經(jīng)元激勵函數(shù)，以A=(a0，a1，…，am)T作為隱層至輸出層的權(quán)值，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出為F(k)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本集為{k，F(xiàn)d(k)|k=0，1，…，M}，則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型如圖1所示。

圖1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型Figure 1 Neural network modal

由圖1可知神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出為

誤差函數(shù):

性能指標(biāo):

設(shè)J=min的權(quán)值向量A是一個多變量線性優(yōu)化問題，因此，根據(jù)可得到遞推最小二乘法［1，21］:

其中，初始協(xié)方差矩陣為P0=αI?R(m+1)×(m+1)，α是足夠大的正數(shù)，一般取α=106～109，I∈R(m+1)×(m+1)是單位矩陣;0.90≤λ≤1，若λ=1時，則為基本的遞推最小二乘法，通過對樣本數(shù)據(jù)的訓(xùn)練，可獲得最優(yōu)權(quán)值向量A。采用迭代方法求解式(5)、(6)，當(dāng)矩陣T的條件數(shù)較大時，收斂速度往往很慢，故T可以采用迭代改善方法求解方程式的收斂速度。

1.3 基于RLS的殘差修正方法

假設(shè)A*是TA=Fd的準確解，A1是采用RLS方法得到的近似解，則A1的剩余向量［20］為r1=Fd－TA1。

如果y1是Ty=r1的準確解，則A2=A1+y1=A1+T－1r1=A1+T－1(F^d－T^A1)=A1+A*－A1=A*，因此，A2是式(12)的精確解。但是在實際計算的過程中由于舍入誤差的影響，A2不會是準確解。于是，再從A2出發(fā)計算得A2的剩余向量r2=Fd－T A2，采用RLS方法解方程組Ty=r2，可得y2，再令A(yù)3=A2+y2。

重復(fù)上述過程可得迭代格式:①計算剩余向量rs=Fd－T As;②采用RLS解方程組Ty=rs得到y(tǒng)s;③更新權(quán)值A(chǔ)s+1=As+ys;直到滿足給定的誤差要求結(jié)束訓(xùn)練，輸出權(quán)值向量As+1。

1.4 算法步驟

1)給定多項式的最高次數(shù)m，隨機產(chǎn)生初始權(quán)值向量A=rand(m+1，1);設(shè)J=0，0.90≤λ≤1，α=103～106，給定任意小正實數(shù)Tol、初始協(xié)方差矩陣P0=αI;構(gòu)造樣本向量Fd=［fd(t0)，fd(t1)，…，fd(tM)］T;用式(4)構(gòu)造多項式矩陣T。

2)k=0，1，…，M，計算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出F(k)=誤差函數(shù)e(k)=Fd(k)－F(k)。

4)對權(quán)值A(chǔ)采用基于RLS的殘差修正方法進行修正;計算誤差e1(k)=Fd(k)－TA、性能指標(biāo)當(dāng)k≤M+1時，返回步驟2，否則，若J≤Tol，則輸出訓(xùn)練權(quán)值A(chǔ)，并且計算擬合值F=TA。若都不滿足，則返回步驟2重復(fù)上述計算。

5)根據(jù)預(yù)測的時間變量重新構(gòu)造形如式(4)的多項式矩陣Tp，并利用訓(xùn)練好的權(quán)值向量A進行預(yù)測計算Fp=TpA。

2 仿真實驗

根據(jù)中華人民共和國國家統(tǒng)計局提供的2008—2013年各季度的用電量數(shù)據(jù)對2014—2020年各季度用電總量進行中長期的用電量預(yù)測。由于每個季度用電量的變化特性存在差異，故為了便于分析，從4個季度分別進行仿真實驗研究，然后將4個季度的用電量合成得到年用電量數(shù)據(jù)。

在仿真實驗中，給定λ=0.90，α=106，每季度多項式曲線擬合的最高次數(shù)m分別取值20，25，2，30。仿真結(jié)果分別如圖2～5所示，每年的實際值與預(yù)測值之間的結(jié)果對比如圖6所示(圖中的圓圈表示2008—2013年的采集數(shù)據(jù));計算結(jié)果分別如表1～5所示。

圖2 第1季度用電量擬合與預(yù)測結(jié)果(m=20)Figure 2 Prediction results of power consumption in the First Quarter(m=20)

圖3 第2季度用電量擬合與預(yù)測結(jié)果(m=25)Figure 3 Prediction results of power consumption in the Second Quarter(m=25)

圖4 第3季度用電量擬合與預(yù)測結(jié)果(m=2)Figure 4 Prediction results of power consumption in the Third Quarter(m=2)

圖5 第4季度用電量擬合與預(yù)測結(jié)果(m=30)Figure 5 Prediction results of power consumption in the Forth Quarter(m=30)

圖6 年用電量的實際值與擬合值對比Figure 6 Annual power consumption compare between pratical value and fitting value

表1 2008—2020年第1季度用電量擬合與預(yù)測結(jié)果Table 1 Power consumption fitting and prediction results in the first quarter from 2008 to 2020

表2 2008－2020年第2季度用電量擬合與預(yù)測結(jié)果Table 2 Power consumption fitting and prediction results in the second quarter from 2008 to 2020

表3 2008－2020年第3季度用電量擬合與預(yù)測結(jié)果Table 3 Power consumption fitting and prediction results in the third quarter from 2008 to 2020

表4 2008－2020年第4季度用電量擬合與預(yù)測結(jié)果Table 4 Power consumption fitting and prediction results in the forth quarter from 2008 to 2020

表5 2008－2020年年度用電量擬合與預(yù)測結(jié)果Table 5 Power consumption fitting and prediction results from 2008 to 2020

圖6是根據(jù)圖2～5合成得到的年用電量變化曲線，由圖可知，2014年后年用電量呈緩慢上升的趨勢，符合實際情況。由表5可知，年用電量的擬合精度可以達到2.6×10－3%以上，計算結(jié)果與文獻［8］的預(yù)測結(jié)果相比，預(yù)測精度提高了3個數(shù)量級。此外，從文獻［8］對2012和2013年度的預(yù)測結(jié)果來看，與實際情況相差很大。筆者認為，文獻［8］盡管在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上做了大量的改進工作，并取得了明顯研究結(jié)果，但是仍然存在較大的模型誤差。

3 結(jié)語

研究結(jié)果表明，筆者提出的基于代數(shù)多項式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測方法不僅擬合精度高，而且能有效實現(xiàn)中長期的用電量預(yù)測，因而是一種有效的預(yù)測方法，可為決策部門提供有效的用電量預(yù)測依據(jù)。

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