遺傳算法在Delta機器人剛度優(yōu)化中的應用

劉 冬，張振國，封繼軍，辛利斌，王順平

(上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093)

遺傳算法在Delta機器人剛度優(yōu)化中的應用

劉 冬，張振國，封繼軍，辛利斌，王順平

(上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093)

針對Delta機器人剛度性能指標的優(yōu)化，提供一種基于其尺度參數(shù)切實可行的設計方案。通過逆運動學、雅可比矩陣和剛度公等數(shù)學方法，求解該并聯(lián)機構(gòu)的剛度和尺度參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，并以此為目標函數(shù)。繼而，經(jīng)過對遺傳算法運行機理的分析和對適應度函數(shù)、遺傳操作的研究，實現(xiàn)了在Matlab環(huán)境下的遺傳算法求解函數(shù)優(yōu)化問題的仿真。仿真結(jié)果表明，該算法可以快速地收斂到全局最優(yōu)解，適用于在滿足Delta機器人設計的其他特性要求的前提下優(yōu)化機器人機構(gòu)的剛度。

遺傳算法；Delta機器人；剛度；雅可比矩陣；Matlab

機器人主要分為串聯(lián)機器人和并聯(lián)機器人兩大類。并聯(lián)機構(gòu)相比于串聯(lián)機構(gòu)而言，具有剛度大、承載能力強、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、運動慣性小、實時控制性強等特點[1-3]。

遺傳算法作為經(jīng)典的全局優(yōu)化算法，具有高度并行、隨機、自適應度高等特點。Matlab是一款應用廣泛的數(shù)學工具，在算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術(shù)計算語言和交互式環(huán)境等方面都有應用[4]。遺傳算法與Matlab的結(jié)合，較好地解決了許多函數(shù)優(yōu)化問題。

1 Delta機器人

1.1 Delta機器人概述

1985年， Delta這個名字第一次被提及，是一個叫Clavel的人，他提出了一種稱為Delta的移動機構(gòu)。到目前為止，Delta機器人已經(jīng)是最典型的空間三自由度運動的并聯(lián)機構(gòu)[5]。如圖1所示為本研究的對象──Delta機器人的模型示意圖。

圖1 Delta機器人模型示意圖

作為并聯(lián)機器人，剛度是衡量其性能重要指標之一。而影響剛度的因素，有機器人拓撲結(jié)構(gòu)和并聯(lián)機構(gòu)尺度參數(shù)。所以，設計出一種剛度大的并聯(lián)機器人的關(guān)鍵，是在于基于剛度性能分析和參數(shù)優(yōu)化設計[6-8]。本研究主要從機構(gòu)的尺度參數(shù)出發(fā)，來優(yōu)化機器人的剛度。

1.2 目標函數(shù)

在本研究中，筆者將剛度作為目標函數(shù)。假設并聯(lián)機器人的末端執(zhí)行器的位置固定，那么機械臂的長度不同，則該并聯(lián)機器人的剛度性能也會不同。這里的優(yōu)化問題是求解使得整個機構(gòu)剛度最大的c臂和d臂的長度，這可以通過如圖2所示步驟解決。

圖2 求解目標函數(shù)步驟示意圖

(1)根據(jù)逆運動學，找出θ和x,y,z,a,b,c,d,e之間的關(guān)系[9-11]。

建立如圖3所示坐標系，末端執(zhí)行器(點E)的位置為(x,y,z)，θ為驅(qū)動環(huán)節(jié)的旋轉(zhuǎn)角。

1)x+e-a>0

圖3 機械臂在直角坐標系中的模型(x+e-a>0)

由圖3能夠得到如下的數(shù)學關(guān)系

θ=∠D″AD′-∠BAD′

(1)

在ΔD″AD′中，有

(2)

在ΔBAD′中，有

(3)

因此，有

(4)

上式中

(5)

2)x+e-a<0

圖4 機械臂在直角坐標系中的模型(x+e-a<0)

同理可得

(6)

以上分析均是針對沿x軸的OA臂，對于另外兩條不在x軸的機械臂，需要做坐標轉(zhuǎn)換。由于3條機械臂兩兩相差120°，所以所做坐標變化如下式

(1)

(8)

(9)

(3)找出剛度和雅可比矩陣間的關(guān)系。C.Gossilin在1990年提出并聯(lián)機構(gòu)的剛度矩陣可以通過機構(gòu)的靜力方程和運動學方程得到，并定義并聯(lián)機構(gòu)的剛度矩陣為

S=kJTJ

(10)

其中，k為剛度系數(shù)。

對矩陣S來說，S[1，1],S[2，2],S[3，3]分別是在x,y,z方向上末端執(zhí)行器的瞬時剛度。而S則是總的剛度;

(4)已知量x,y,z,a,b,e與剛度和c,d之間的關(guān)系。

1.3 約束條件

(1)C點應始終高于D點：如果C點低于D點機械臂就會進入工作區(qū)域，可能會破壞被操作的對象；

(2)末端執(zhí)行器的y值必須小于0.9d：如果>0.9d，并聯(lián)機器人機構(gòu)發(fā)生奇異，從而導致自由度失控，運動不確定，剛度下降，所以奇異位型應該避免；

(3)旋轉(zhuǎn)角θ需在0°和85°之間：如果θ<0°或>85°，并聯(lián)機器人機構(gòu)發(fā)生奇異。

由以上3個約束條件，易得到式(11)中所示的不等式

(2)

2 遺傳算法

懷其他優(yōu)化算法相同，遺傳算法首先定義變量產(chǎn)生初始種群，最后通過測試收斂結(jié)束。遺傳算法執(zhí)行過程如圖5的流程圖所示。

圖5 遺傳算法流程圖

3 遺傳算法應用

3.1 個體的編碼和群體的初始化

遺傳算法的運算對象是表示個體的符號串，文中使用二進制數(shù)進行個體的編碼，也就是將初始解的所有控制變量信息用二進制編碼的形式表示出來[13]。針對本研究建立的模型，設問題的一組解為[p1,p2]。其中，p1和p2都是二進制數(shù)字串，就像一個包含不同的基因組合的染色體。當然，有很多行染色體，所述遺傳算法將產(chǎn)生一組染色體，如下式所示

(3)

其中，每個元素都是介于0和1之間的隨機數(shù)，每行是兩個變量(c和d)組成的個體。

3.2 適應度函數(shù)

在遺傳算法中，為了評定各個個體的優(yōu)劣程度，定義一個“個體適應度”，并以其大小來決定個體遺傳機會的大小。適應度函數(shù)的選擇，直接影響到整個遺傳算法的性能。因此，不僅要結(jié)合求解問題本身的要求而定，而且它還是進行選擇操作的依據(jù)。從某種意義上來說，適應度函數(shù)意味著最大化問題。而在本研究中，筆者正在努力尋找目標函數(shù)的最大值，因此，可以直接使用目標函數(shù)作為適應度函數(shù)。

3.3 遺傳算子

(1)選擇方式。選擇是指把當前群體中對環(huán)境適應度較高的個體遺傳到下一代群體中。自然界中，適應度越高的個體就越有可能繁殖后代。在本研究中，使用輪盤賭的方法來幫助選擇。首先，必須找出每個個體被選中的概率，如式(13)所示

(13)

其中，n為種群數(shù)目；fi為該個體適應度。

例如，有3個個體，它們所對應的適應度值分別15，18，17。所以，每個個體被選中的概率分別如式(14)所示

(14)

(2)交叉方式。交叉是指把一個種群中的兩個個體的部分染色體串相互替換，而生成新個體的操作。為簡化計算過程和方便操作，本研究中交叉是按交叉概率PC從種群中隨機選擇兩個個體，采用單點交叉的方式交換這兩個個體的某些位，產(chǎn)生新的個體。

對于交叉概率PC的選擇： 如果PC太大的話，會使高適應值的結(jié)構(gòu)很快被破壞掉；PC太小則會使搜索停止不前。一般情況，PC取 0.25～0.75。

例如，從編碼長度為10的二進制數(shù)字串中任取兩個X1和X2，如式(15)所示

X1=1001001010
X2=0101101001

(15)

(16)

其中，“ |”表示交叉的位置。

(3)變異方式。變異是指一個種群中，每個個體染色體串的某些位上的基因值發(fā)生變動，產(chǎn)生新的個體。變異操作分為單點變異和多點變異，為簡化計算過程和方便操作，本研究采用單點變異。變異操作的基本步驟為：設定一個變異概率Pm，交叉操作后生成的每一個新的個體的每一位都對應一個0～1 之間的隨機數(shù)。若該隨機數(shù)小于變異的概率Pm，則該位的值保持不變，否則該位的值做 0～1翻轉(zhuǎn)變化。

對于變異概率Pm的選擇：如果Pm太小的話，則不會產(chǎn)生新的基因塊；Pm太大的話，遺傳算法就可能變成隨機搜索。一般情況，Pm取 0.01 ～ 0.2。

(17)

4 仿真

筆者選擇Matlab2013b作為仿真工具，來實現(xiàn)該遺傳算法的優(yōu)化程序，程序初始化如表1所示。

表1 遺傳算法的相關(guān)參數(shù)

表2 相關(guān)設計參數(shù)的邊界值

仿真結(jié)果如圖6～圖9所示。圖6顯示的是目標函數(shù)隨著進化代數(shù)的增加的變化趨勢，可以看出在第93代時候達到最優(yōu)解；圖7和圖8分別顯示的是c和d大小的變化圖，隨著代數(shù)的增加最佳個體不斷變化直到尋到如表3所示的最優(yōu)解。

圖6 剛度優(yōu)化結(jié)果

圖7 機械臂c優(yōu)化結(jié)果

圖8 機械臂d優(yōu)化結(jié)果

stiffness/N·m-1c/md/m7.49e+070.160.22

5 結(jié)束語

本研究通過遺傳算法求得了Delta機器人剛度的最優(yōu)解，從仿真的結(jié)果可以看出，該算法能快速收斂于全局最優(yōu)解，可給出最優(yōu)解時的機構(gòu)尺度參數(shù)[14-15]。因此，該方法適用于Delta機器人剛度優(yōu)化問題的解決，也算是為并聯(lián)機器人的剛度優(yōu)化提供了一種新的思路。

[1] 趙杰.我國工業(yè)機器人發(fā)展現(xiàn)狀與面臨的挑戰(zhàn)[J].航空制造技術(shù),2012(12):26-29.

[2] 蔡自興.機器人學[M].北京:清華大學出版社,2000.

[3] 柳洪義,宋偉剛.機器人技術(shù)基礎(chǔ)[M].北京:冶金工業(yè)出版社,2005.

[4] 王小平,曹立明.遺傳算法:理論、應用與軟件實現(xiàn)[M].西安:西安交通大學出版社,2002.

[5] 黃真,孔令富,方躍法.并聯(lián)機器人機構(gòu)學控制及理論[M].北京:機械工業(yè)出版社,1997.

[6] 馮李航,張為公,龔宗洋,等.Delta系列并聯(lián)機器人研究進展與現(xiàn)狀[J].機器人,2014,36(3):375-384.

[7] 胡曉雄.并聯(lián)機器人機構(gòu)剛度和正解的研究[D].太原:太原科技大學,2014.

[8] 梁香寧.Delta機器人運動學建模及仿真[D].太原:太原理工大學,2008.

[9] 董云,楊濤,李文.基于解析法和遺傳算法的機械手運動學逆解[J].計算機仿真,2012,29(3):239-243.

[10] Klein J, Spencer S, Allington J, et al. Optimization of a Parallel shoulder mechanism to achieve a high-force, low-mass, robotic-arm exoskeleton[J]. IEEE Transactions on Robotics, 2010, 26(4):710-715.

[11] Liu X J, Wang J. A new methodology for optimal kinematic design of parallel mechanisms[J]. Mechanism & Machine Theory, 2007, 42(9):1210-1224.

[12] 米士彬,金振林.基于雅克比矩陣求解并聯(lián)機器人位置正解方法[J].燕山大學學報,2011,35(5):391-395.

[13] 金芬.遺傳算法在函數(shù)優(yōu)化中的應用研究[D].蘇州:蘇州大學,2008.

[14] 衣勇,宋雪萍.機器人仿真研究的現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢[J].機械工程師,2009(07):63-65.

[15] 張春鳳,趙輝.3RRR并聯(lián)機器人的優(yōu)化設計研究[J].中國機械工程,2006,17(18):1938-1943.

Application of the Genetic Algorithm in the Optimization of Delta Robot’s Stiffness

LIU Dong，ZHANG Zhenguo，F(xiàn)ENG Jijun，XIN Libin，WANG Shunping

(School of Optoelectronic Information and Computer Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 20093, China)

This study focuses on optimizing the stiffness performance indicators of the Delta robot and provides a practical design scheme based on its scale parameter. Firstly, many mathematical methods are quoted, such as the inverse kinematics, Jacobian matrix, stiffness formula. And then, the relationship between stiffness and scale parameters is derived and set as the objective function. After the operation mechanism of genetic algorithm is analyzed and the fitness function and genetic operations are discussed and simulation of the genetic algorithm in optimization is realized in Matlab. The simulation result shows that the genetic algorithm converges to the global optimal solution quickly, and is applicable to optimize the stiffness of robot on the premise of satisfying the design requirements of Delta robots.

genetic algorithm; Delta robot; stiffness; Jacobian matrix; Matlab

2016- 04- 04

滬江基金資助項目(B1402/D1402)

劉冬(1991-)，女，碩士研究生。研究方向：電力電子與電力傳動。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2017.02.009

TP242.2

A

1007-7820(2017)02-033-05