向量走進(jìn)三角形的“心”

夏玉欽+張紅玉

新的一輪課程改革，向量進(jìn)入高中數(shù)學(xué)教材.向量作為高中數(shù)學(xué)新增內(nèi)容之一，又具有幾何與代數(shù)的雙重意義，備受關(guān)注.向量與三角形知識(shí)的交匯，成為高考命題及模擬考試的熱點(diǎn).特別是向量走進(jìn)了三角形的“心”，即運(yùn)用向量來探討有關(guān)三角形的重心、垂心、外心，內(nèi)心等問題，成為一道亮麗的風(fēng)景線.

向量走近三角形，走進(jìn)三角形的“心”中，注重向量的知識(shí)性，工具性的教學(xué)，考查，為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力發(fā)揮著顯著的作用.

一、向量走進(jìn)三角形的“心”

定理1：已知△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)G，則點(diǎn)G是△ABC的重心？圳 + + =0.

證明：（1）當(dāng)G是△ABC的重心，如圖1，AD是BC邊上的中線，則 + =2 ?，又因?yàn)?=-2 ，所以， + + =0.（2）若 + + =0，①設(shè)G′為△ABC的重心，則由（1）可得： + + =0.②

①-② 得： + + =0？圯 =0？圯G與G′重合，說明點(diǎn)G是△ABC的重心.

定理2：已知△ABC所在的平面內(nèi)的一點(diǎn)H，則點(diǎn)H是△ABC的垂心？圳 ?· = · = · .

證明：（1）當(dāng)點(diǎn)H是△ABC的垂心.如圖2， ⊥ ？圯 · =0？圯 ·（ - ）=0？圯 ?· = ?· . ? ①

同理： ⊥ ？圯 · =0？圯 ?·（ - ）=0？圯 · = ?· ?②

由①和②得 · = · = · . （2）若 · = · = · ？圯 ?·（ - ）=0，？圯 · =0，？圯 ⊥ ?？圯HA⊥BC.

同理HB⊥AC，HC⊥AB，因此點(diǎn)H是△ABC的垂心.

定理3：已知△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)O，則點(diǎn)O是△ABC的外心？圳（ + ）· =（ + ）· =（ + ）· .

證明：（1）點(diǎn)O是△ABC的外心，如圖3，OA=OB=OC， 則 ?= ?= ?，由 ?= ?，？圯 ?- ?=0？圯（ + ）·（ - ）=0？圯（ + ）· =0.

同理可得，（ + ）· =0，（ + ）· =0，所以（ + ）· =（ + ）· =（ + ）· .

（2）若（ + ）· =（ + ）· =（ + ）· ，于是（ + ）·（ - ）=（ + ）·（ - ）=（ + ）·（ - ）？圯 ?- ?= ?- ?= ?- ?？圯 ? = ?= ?？圯OA=OB=OC，則點(diǎn)O為△ABC的外心.

定理4：已知△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)I，則點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心？圳 · + · + · =0.

證明：（1）當(dāng)I是△ABC的內(nèi)心，由I點(diǎn)向各邊引垂線，垂足分別是為D，E，F(xiàn)，如圖4，得ID=IE=IF. ①

現(xiàn)在我們先來證明：

S△IBC· +S△ICA· +S△IAB· =0. ? ? ②

以I為原點(diǎn)，IA為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖5，設(shè) =（p，0）， =（qcosα，qsinα）， =（rcosβ，rsinβ），則S△IBC= qr·

sin（β-α），S△ICA= prsin（2π-β）=- prsinβ，SΔIAB= ?pqsinα，S△IBC· +S△ICA· +S△IAB· = qrsin（β-α）·（p，0）- prsinβ·（qcosα，qsinα）+ pqsinα·（rcosβ，rsinβ）= pqr[sin（β-α）-（sinβcosα-cosβsinα）]+ pqr（sinαsinβ-sinαsinβ）=（0，0）=0.

即 ?·ID· + ?·IF· + ?·IE· =0. ? ?③

由①和③得 · + · + · =0.

（2）若 · + · + · =0. ? ①

設(shè)點(diǎn)I′是△ABC的內(nèi)心，則由（1）知 ·I′A+ ·I′B+ ·I′C=0. ? ②

由①-②得 · + · + · =0？圯（ + + ）· =0？圯 =0則I與I′重合，所以點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心.

二、向量走進(jìn)三角形“心”中的一些數(shù)學(xué)問題的教學(xué)研究

例1 ? 設(shè)點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)， ?· = · = · ，則點(diǎn)O是△ABC的 （ ? ?）

A.重心 ? ? ?B.垂心 ? ? C.外心 ? ? D.內(nèi)心

由定理2，易知選B.

例2 ? O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 ?+ ?= ?+ ?= ?+ ?，則點(diǎn)O是△ABC的（ ? ? ）

A.外心 ? ? ?B.內(nèi)心 ? ? C.重心 ? ? D.垂心

解：由 ?= ?=（ - ）2= ?+ ?-2 · ， ?= ?+ ?-2 · ， ?= ?+ ?-2 · ，代入已知的等式中，？圯 · = ?· = · 所以由定理2，選D.endprint

例3 ?設(shè)平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0，平面向量b1，b2，b3滿足bi=2ai，且ai順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后與bi同向（i=1，2，3），則

A. -b1+b2+b3=0 ? ? ? B. b1-b2+b3=0

C. b1+b2-b3=0 ? ? ? ? D. b1+b2+b3=0

解：聯(lián)想定理1，作△ABC，其重心為G，a1= ，a2= ，a3= ，使ai旋轉(zhuǎn)并使模伸長為原2倍，可得bi（i=1，2，3）.由b1= ，b2= ，b3= ，得△A′B′C′，G也為△A′B′C的重心，則b1+b2+b3=0，選D.

例4 ? △ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上高的交點(diǎn)為H， =m（ + + ），則實(shí)數(shù)m= ? ?.

解：利用結(jié)論唯一時(shí)，特殊結(jié)論和一般結(jié)論等價(jià)，取△ABC為直角三角形，直角頂點(diǎn)為A，垂心H與A重合，則在△ABC中， + =0，∴ ?= =m ？圯m=1.

例5 ? O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共點(diǎn)的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足， = +λ（ + ），λ∈[0，+∞），則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（ ? ?）

A.外心 ? ? B.內(nèi)心 ? ? C.重心 ? ? D.垂心

解：注意到 + 為△ABC中∠BAC的平分線所在的直線，故選B.

例6 ? 已知△ABC的外接圓的直徑是2，點(diǎn)O為其外心，且 + + =0， 求證：△ABC是正三角形.

證明：O點(diǎn)滿足 + + =0，則O點(diǎn)是△ABC的重心，又O點(diǎn)是△ABC的外心，所以△ABC是正三角形.

例7 ?O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足 ?· = ?· = · .則O是△ABC的（ ? ?）

A.三條內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)

B.三條邊的中垂線交點(diǎn)

C.三條中線的交點(diǎn)

D.三條高的交點(diǎn)

解：由定理2可知選D.

例8 ?P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)， ?· = ?· = · ，則P是△ABC的（ ? ?）

A.外心 ? ?B.內(nèi)心 ? ?C.重心 ? ? D.垂心

解：由定理2可知選D.

例9 ?O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 ?+ ?= ?+ ?= ?+ ?，則O是△ABC的（ ? ?）

A.外心 ? ?B.內(nèi)心 ? ?C.重心 ? ? D.垂心

解：這是例2的一種等價(jià)形式，選D.

例10 ? 點(diǎn)P為△ABC的外心，且 =4， ?=2，則 ·（ - ）等于（ ? ?）

A.2 ? ? ? ? B.4 ? ? ? ? C.6 ? ? ? ?D.8

解：如圖6，設(shè)O為BC的中點(diǎn)，則 ?= + = （ ?+ ?） + ，則 ·（ - ）= （ ?- ?）+ · = （ ?- ?） =6， · =0，選C.

可見，向量增添，數(shù)學(xué)教學(xué)天地一片新.它足以使我們的思想變寬，思維活躍，給數(shù)學(xué)教育教學(xué)、數(shù)學(xué)研究帶來勃勃生機(jī).endprint