大錐度線切割加工電極絲中心軌跡的一種線性化方法

馮錫平，譚 民，郭 崗

（1.中國科學院自動化研究所復雜系統(tǒng)管理與控制國家重點實驗室，北京100190；2.北京南訊威達科技有限公司，北京100096）

大錐度線切割機床是加工成形刀具、塑料模、拉絲模、擠出模的主要設(shè)備之一，隨著工件形狀的不斷變化和大錐度機床機械結(jié)構(gòu)的改進，上下異形的復雜直紋面加工越來越普遍。在“無錐度”的直升面加工時，電極絲與工件端面始終垂直，電極絲的中心軌跡可通過等距離偏移工件輪廓來生成。當加工錐度工件時，電極絲將傾斜，其在工件上、下表面的橫截面將從“圓形”變?yōu)椤皺E圓形”；當電極絲傾斜角度＞15°時，“橢圓度誤差”成為影響加工精度的主要因素之一[1]。因此，在大錐度加工時，如何精確求取電極絲的中心軌跡是提高加工精度的關(guān)鍵所在。為此，研究人員提出了“橢圓偏置法”[2-3]和“廣義電極絲模型”方法[4]。更進一步，在大錐度異形加工時，用上述兩種方法求取的“工件上、下表面電極絲中心軌跡曲線”為非規(guī)則曲線，無法用文獻[5]所提的方法進行線性化。因此，必須找到一種線性化方法，將“工件上、下表面電極絲中心軌跡的非規(guī)則曲線”同步線性化為多組“小直線對”，以滿足大錐度線切割加工的要求。

本文首先介紹了如何使用 “廣義電極絲模型”方法來求取電極絲的中心軌跡，在此基礎(chǔ)上，提出了用“二次高分辨率采樣方法”同步線性化非規(guī)則的上、下表面電極絲中心軌跡曲線，并給出了算法的實現(xiàn)過程，最后通過仿真驗證了算法的正確性。

1 電極絲中心軌跡求取分析

混合直紋面基本理論是“廣義電極絲模型”（圖1）[4]方法的基礎(chǔ)，混合直紋面上任意一點S的坐標可表示為：

式中：u 為路程參數(shù)；v∈[0,1]。

圖1 廣義電極絲模型

式中：C1x(u)和C1y(u)為工件下表面曲線的x和y坐標，可根據(jù)路程參數(shù)u的值求出；R為廣義電極絲半徑的值，是加工所用的“電極絲半徑”、“放電間隙”及“單邊余量”3 個值的總和；nx(u,0)、ny(u,0)和 nz(u,0)分別為直紋面S導線C1(u)上的法向矢量n(u,0)在x、y和z軸的分量，可由式（3）計算得出：

式中：sign為符號函數(shù)，根據(jù)軌跡方向和補償方向的不同，取值為+1或-1。

由式（3）可知，當導線 C1(u)和 C2(u)已知時，n(u,0)為路徑參數(shù) u的函數(shù)，可知 nx(u,0)、ny(u,0)和 nz(u,0)也為路徑參數(shù) u 的函數(shù)。式（2）中的 Ax(u)、Ay(u)和Az(u)為圖1所示電極絲軸線O1O2的方向矢量A(u)在X、Y和Z軸的分量，由式（4）計算得出：

由式（4）可知，當導線 C1(u)、C2(u)和 R 已知時，Ax(u)、Ay(u)和Az(u)也是路程參數(shù)u的函數(shù)。

通過上述說明和討論可知，當導線C1(u)和C2(u)方程已知，且R和H值已知時，可通過代入路程參數(shù)u求出工件上、下表面的電極絲中心軌跡坐標。本文用MATLAB實現(xiàn)文獻[4]給出的“廣義電極絲模型”方法，并給出用該方法求取“大錐度加工電極絲中心軌跡”的幾個仿真實例。

仿真1：上、下表面均為直線；直線方程分別為上表面 y1=x1，x1∈[-5，8]，下表面 y2=-x2，x2∈[-5，8]；工件厚度H=20 mm；廣義電極絲半徑R=0.2 mm；外補償。仿真結(jié)果見圖2。

圖2 上下表面均為直線及其偏移后的電極絲中心軌跡

在無錐度和小錐度加工軌跡編程時，如果已知“待加工工件”的軌跡（原始軌跡）和廣義電極絲半徑R值，可對“待加工工件”的軌跡做等距離偏移生成新的軌跡（偏移軌跡）。原始軌跡和偏移軌跡的偏移距離為定值，即廣義電極絲半徑R的值。在仿真1中，通過仿真給出“廣義電極絲模型”方法生成大錐度加工電極絲中心軌跡與原始軌跡之間的距離差值，并在此基礎(chǔ)上減去廣義電極絲半徑R的值，結(jié)果見圖3。

圖3 上下均為直線的電極絲傾角變化及等距誤差

從圖3可看出，仿真1給出的偏移后的電極絲中心軌跡非直線，如果此時對原始軌跡做等距離偏移，那么，偏移后的軌跡與大錐度實際加工時電極絲的理論中心軌跡之間將產(chǎn)生最大30 μm的切割誤差。因此，必須找到一種線性化方法，將用廣義電極絲模型方法求取出的大錐度線切割加工的上下表面電極絲中心軌跡線性化為小直線，將由于大錐度加工時電極絲傾斜導致的橫截面變?yōu)闄E圓帶來的編程誤差控制在允許的范圍內(nèi)。

仿真2：下表面加工軌跡為直線，直線的起始坐標為[-10.607，0]，終點坐標為[0，-10.607]；上表面加工代碼為圓弧，其圓心坐標為[0，0]，起始角和終止角為[π，1.5π]，半徑為 15 mm；工件厚度 H=10 mm；廣義電極絲半徑R=0.18 mm；外補償。仿真結(jié)果見圖4和圖5。

圖4 上表面圓弧、下表面直線的中心軌跡圖

圖5 上表面圓弧、下表面直線的電極絲傾角及誤差

從圖4和圖5可看出，下表面為直線、上表面為圓弧的大錐度加工，其上、下表面電極絲的中心軌跡都發(fā)生了“畸變”，而非簡單的圓和直線。如果采用傳統(tǒng)方法做等距離偏移并加工，將導致下表面產(chǎn)生最大14 μm的加工誤差，上表面產(chǎn)生最大25 μm的加工誤差。

仿真3：下表面加工代碼為圓弧，其圓心坐標為[0，0]，起始角和終止角為[π，1.5π]，半徑為 15 mm；上表面加工代碼為圓弧，其圓心坐標為[1，2]，起始角和終止角為[π，1.8π]，半徑為 5 mm；工件厚度 H=15 mm；廣義電極絲半徑R=0.18 mm；外補償。仿真結(jié)果見圖6和圖7。

圖6 上下表面均為圓弧的電極絲中心軌跡

圖7 上下表面均為圓弧的電極絲傾角變化及等距誤差

從圖6和圖7可看出，電極絲的上、下表面中心軌跡都發(fā)生了“畸變”。如果采用傳統(tǒng)方法做等距離偏移并加工，將導致下表面產(chǎn)生最大60 μm的誤差，上表面產(chǎn)生最大45 μm的誤差。

從上述3個仿真可看出，大錐度線切割加工時，利用廣義電極絲模型方法求出的電極絲中心軌跡有著較復雜的變化，這種變化與加工軌跡本身的曲線特性、電極絲傾角和廣義電極絲半徑R有關(guān)，不能用簡單的等距離偏軌跡移來替代電極絲的中心軌跡，否則會帶來較大的編程誤差和加工誤差。

2 二次高分辨率采樣方法線性化電極絲中心軌跡

利用廣義電極絲模型方法可補償大錐度加工時電極絲傾斜產(chǎn)生的橢圓度誤差，并精確求出加工軌跡。通過上述仿真和分析得知，在修正誤差后，大錐度線切割加工電極絲的中心軌跡是一個復雜的曲線，而目前的線切割控制軟件只能實現(xiàn)對直線和圓弧的插補，必須找到一種方法，將電極絲中心軌跡曲線轉(zhuǎn)換為能直接用于加工的線切割標準代碼。

2.1 方法的分析

通過式（2）可知，當導線 C1(u)和 C2(u)方程已知，且廣義電極絲半徑R和工件厚度H值已知時，可通過代入路程參數(shù)u求出工件上、下表面的電極絲偏移軌跡曲線。如果將路程參數(shù)u足夠細分，即采用高分辨率采樣方法對上、下表面電極絲偏移軌跡曲線同時采樣，那么，可將這對軌跡曲線線性化為多組“小直線對”的組合；如果采樣分辨率足夠高，那么，可保證連續(xù)的“小直線對”與上、下表面電極絲的偏移軌跡曲線之間的“逼近誤差”足夠小。同時，根據(jù)直紋面理論，對路程參數(shù)u進行同步采樣，可保證上、下表面軌跡的同步線性化。

進一步，當加工所允許的最大逼近誤差確定后，可用二次高分辨率采樣方法確定“小直線對”的數(shù)目和每段小直線的起點和終點坐標。本文以下表面軌跡曲線為例，給出二次高分辨率采樣方法的實現(xiàn)過程。從圖 8 可看出，當初始點坐標為（X0，Y0），經(jīng)過第一次高分辨率采樣后，軌跡曲線離散化為（X0，Y0）…（Xi，Yi）（X1，Y1）（Xj，Yj）…（X2，Y2）…等一系列離散點的組合。采用初始點（X0，Y0）和任意一個離散點（X1，Y1）（當前離散點）所作的直線，可定義為“參考直線”。當確定參考直線后，從初始點開始按采樣順序計算初始點和當前離散點之間的所有離散點與參考直線的距離Δd，并與最大逼近誤差σ作比較。如果每個Δd均小于最大逼近誤差σ，則取下一個離散點（Xj，Yj）為當前離散點，并生成新的參考直線，然后重新從初始點開始按采樣順序計算初始點（X0，Y0）與（Xj，Yj）之間所有的離散點與新的參考直線之間的距離。當任意一個離散點與新的參考直線之間的距離滿足Δd＞σ時，結(jié)束當前的計算工作，?。╔0，Y0）為小直線的初始點坐標，上一個“當前離散點”（X1，Y1）為小直線的“結(jié)束點坐標”，形成加工代碼。在下一個線性化周期，取上一個線性化周期的結(jié)束點（X1，Y1）為新的初始點坐標。重復上面的工作，可找到新的初始點所對應(yīng)的新的結(jié)束點（X2，Y2）。重復上述方法，可找到軌跡曲線上的全部初始點及其對應(yīng)的結(jié)束點，并生成對應(yīng)的小直線。

圖8 二次高分辨率采樣線性化方法流程圖

針對大錐度線切割加工電極絲中心軌跡的線性化需要同時同步對上、下表面進行線性化的要求，通過同步對u高頻次采樣，可保證每個采樣點的工件上、下表面的坐標與軌跡的總長度成正比，只是在判斷“離散點”與“參考直線”之間的距離是否小于“加工所允許的最大逼近誤差”時，多了一個判斷條件，即任意一面有離散點滿足Δd＞σ時，結(jié)束當前的采樣和計算工作，取上、下表面當前線性化周期各自的“初始點坐標”和“結(jié)束點坐標”，形成一對加工代碼對。

2.2 方法的實現(xiàn)

按上述分析給出“二次高分辨率采樣方法線性化電極絲中心軌跡”的實現(xiàn)流程：

（1）讀取上、下表面的一對原始加工代碼（直線或圓?。?，并根據(jù)設(shè)定的廣義電極絲半徑R及工件厚度H，用“廣義電極絲模型”求出電極絲的中心軌跡曲線。

（2）根據(jù)原始加工代碼的長度，選擇適合的采樣分辨率，并根據(jù)采樣分辨率的值對路徑參數(shù)u進行離散化，使路徑參數(shù)的取值為u0…ui…ue。

（3）代入初始路徑參數(shù)值u0，取得上、下表面軌跡線性化的第一對小直線的初始坐標；在此基礎(chǔ)上，代入路徑參數(shù)u1、u2和u3并計算坐標值。根據(jù)u0和u3的坐標值形成上、下表面兩條小直線，可計算u2點坐標值（x2，y2）（u2，v2）到各自小直線的距離 Δd1和Δd2，并判斷是否大于逼近誤差σ。如果其中任意一個大于σ，則選擇u2點的坐標為結(jié)束坐標，形成第一個小直線對；如果Δd1和Δd2都小于σ，則初始化u4的坐標，形成u0和u4的直線，并依次計算u1、u2、u3點到該直線的距離。如果其中任意一個大于σ，則選擇u3點的坐標為結(jié)束坐標，形成第一個小直線對。

（4）按步驟（3）給出的方法，找到第一個滿足“Δd1i和Δd2i其中一個值大于σ”的路徑參數(shù)離散點ui，取ui-1的坐標值為第一個“小直線對”的結(jié)束坐標值，形成第一個小直線對。

（5）取ui-1的坐標值為下一個小直線對的初始坐標值，按步驟（3）～（4）給出的方法，找到結(jié)束坐標值，形成新的小直線對。

（6）按步驟（3）～（5）的方法完成上、下表面軌跡的線性化工作，形成小直線對的組合，并形成對應(yīng)的加工代碼。

3 方法的驗證與仿真

采用二次高分辨率采樣方法線性化電極絲中心軌跡，并對上述3個仿真結(jié)果進行進一步的仿真驗證。

針對仿真1，設(shè)定最大逼近誤差為0.5 μm，仿真結(jié)果見圖9。可看出，上、下表面線性化為7個小直線對，上、下表面的小直線一一對應(yīng)，且軌跡同步，與理論軌跡的逼近誤差小于0.5 μm。

圖9 上下表面均為直線的電極絲中心軌跡線性化

針對仿真2，設(shè)定最大逼近誤差為2 μm，仿真結(jié)果見圖10?？煽闯?，上、下表面線性化為30個小直線對，上、下表面的小直線一一對應(yīng)，且軌跡同步，與理論軌跡的逼近誤差小于2 μm。

圖10 下表面直線、上表面圓弧的電極絲中心軌跡線性化

針對仿真3，設(shè)定最大逼近誤差為2 μm，仿真結(jié)果見圖11。可看出，上、下表面線性化為51個小直線對，上、下表面的小直線一一對應(yīng)，且軌跡同步，與理論軌跡的逼近誤差小于2 μm。

圖11 上下表面均為圓弧的電極絲中心軌跡線性化

4 結(jié)論

本文介紹了使用“廣義電極絲模型”方法求取大錐度線切割加工時工件上、下表面電極絲的中心軌跡，用MATLAB實現(xiàn)了該方法并給出了3個仿真實驗。結(jié)果表明，大錐度加工時，電極絲中心軌跡與工件上、下表面的加工代碼、工件厚度H和廣義電極絲半徑R均有關(guān)，是一個復雜的非規(guī)則曲線，不能用原始加工代碼做等距離偏移來替代，否則會產(chǎn)生較大的替代誤差。

為此，本文提出用“二次高分辨率采樣方法”線性化電極絲中心軌跡。理論分析和仿真結(jié)果表明，用該方法能將大錐度加工電極絲中心軌跡的非規(guī)則曲線線性化為“多組小直線對”，并將逼近誤差控制在加工精度要求所設(shè)定的范圍內(nèi)，線性化后的“小直線對”可直接用于錐度線切割加工。

[1] 周堅.線切割錐度加工電極絲水平截面的橢圓度誤差及補償[J].電加工，1991（6）：9-13.

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