用于六軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控電火花加工的廣義單位弧長(zhǎng)增量插補(bǔ)法

陳 默，陳 昊，奚學(xué)程，趙萬(wàn)生

（上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海200240）

隨著航空航天工業(yè)的不斷發(fā)展，對(duì)含有復(fù)雜形狀型腔的零件（如航空航天發(fā)動(dòng)機(jī)中的閉式整體葉盤類零件）加工的需求日益旺盛，其加工通常需要工具電極相對(duì)于工件沿著復(fù)雜軌跡運(yùn)動(dòng)。近年來(lái)，在切削加工領(lǐng)域中，參數(shù)曲線以其數(shù)據(jù)量小、平順性高的優(yōu)點(diǎn)，越來(lái)越多地被用于復(fù)雜軌跡的描述，許多學(xué)者針對(duì)參數(shù)曲線的插補(bǔ)方法做了研究[1-4]，主流商用數(shù)控系統(tǒng)廠商（如Siemens、FANUC）也紛紛推出了具有參數(shù)曲線插補(bǔ)功能的數(shù)控系統(tǒng)[5-7]。這些插補(bǔ)方法大多屬于針對(duì)切削加工而改進(jìn)的數(shù)據(jù)采樣法，根據(jù)曲線局部特性和機(jī)械系統(tǒng)限制來(lái)對(duì)曲線進(jìn)行粗插補(bǔ)，生成一系列直線段并規(guī)劃盡可能高的運(yùn)動(dòng)速度，由此會(huì)造成粗插補(bǔ)采樣間距較大，導(dǎo)致粗插補(bǔ)與精插補(bǔ)的總誤差比脈沖增量法大[8]。

與切削加工不同，電火花加工是一種慢速、且進(jìn)給速度難以事先規(guī)劃的運(yùn)動(dòng)。因此，脈沖增量法比數(shù)據(jù)采樣法更適合電火花加工軌跡插補(bǔ)[9-10]。但脈沖增量法可插補(bǔ)的曲線類型十分有限，現(xiàn)有電火花成形加工機(jī)床數(shù)控系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡插補(bǔ)指令大多仍采用直線或圓弧指令來(lái)給出，而對(duì)于參數(shù)曲線描述的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)軌跡的插補(bǔ)法的研究和應(yīng)用還不多。李志勇[11]提出了用于多軸聯(lián)動(dòng)電火花加工的Huffman樹(shù)插補(bǔ)器和DDA插補(bǔ)器；黃海鵬[10]和劉麗麗[12]將運(yùn)動(dòng)軸進(jìn)行兩兩逐層組合，再借助平面曲線插補(bǔ)法二軸聯(lián)動(dòng)的思想實(shí)現(xiàn)多軸聯(lián)動(dòng)插補(bǔ)，并提出了可逆插補(bǔ)算法以實(shí)現(xiàn)反向插補(bǔ)。但上述方法僅能實(shí)施直線和圓弧的插補(bǔ)，對(duì)于一般參數(shù)曲線的插補(bǔ)還難以勝任。此外，研究人員還提出了針對(duì)電火花銑削加工的參數(shù)曲線插補(bǔ)器[13-15]，豐富了電火花加工運(yùn)動(dòng)可插補(bǔ)軌跡的種類，但還不能直接用于多軸聯(lián)動(dòng)電火花成形加工所需直線軸與旋轉(zhuǎn)軸的同步插補(bǔ)。

為解決曲線同步插補(bǔ)的問(wèn)題，本研究團(tuán)隊(duì)基于脈沖增量法中的數(shù)字積分法的思想，提出了單位弧長(zhǎng)增量法，并將其運(yùn)用于線切割上下異形面的加工軌跡插補(bǔ)中[16]。本文在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將單位弧長(zhǎng)增量法推廣到六軸聯(lián)動(dòng)電火花成形加工中，提出了廣義單位弧長(zhǎng)增量法，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜參數(shù)曲線的正反雙向插補(bǔ)及直線軸與旋轉(zhuǎn)軸的聯(lián)動(dòng)插補(bǔ)，并通過(guò)仿真和加工實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 多軸聯(lián)動(dòng)參數(shù)曲線軌跡插補(bǔ)原理

1.1 參數(shù)曲線的正反雙向插補(bǔ)法

在傳統(tǒng)的電火花加工機(jī)床數(shù)控系統(tǒng)中，加工軌跡多以直線和圓弧來(lái)描述。脈沖增量插補(bǔ)法具有對(duì)直線和圓弧進(jìn)行直接精插補(bǔ)的能力，且精度比一般的數(shù)據(jù)采樣法高。脈沖增量插補(bǔ)法中較常用的有逐點(diǎn)比較法、最小偏差法和數(shù)字積分法。分析這些方法對(duì)直線和圓弧的插補(bǔ)原理可知，逐點(diǎn)比較法和最小偏差法的思想是計(jì)算插補(bǔ)點(diǎn)與理想曲線之間的位置偏差，根據(jù)位置偏差的符號(hào)或大小來(lái)選取下一步的插補(bǔ)點(diǎn)，是偏向于輪廓誤差控制的插補(bǔ)法；數(shù)字積分法的本質(zhì)是計(jì)算理想曲線某點(diǎn)的一定長(zhǎng)度的切線段在各坐標(biāo)軸上的投影長(zhǎng)度，通過(guò)判斷各軸長(zhǎng)度累計(jì)的狀況來(lái)決定軸是否進(jìn)給，是一種偏向于插補(bǔ)進(jìn)度控制的插補(bǔ)法。

電火花加工是一種需不斷調(diào)整工具電極與工件之間間隙的、有進(jìn)有退的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，而進(jìn)給方向上的間隙與運(yùn)動(dòng)軌跡的插補(bǔ)進(jìn)度直接相關(guān)。因此，基于插補(bǔ)進(jìn)度控制的數(shù)字積分插補(bǔ)法與其他脈沖增量法相比，更便于實(shí)現(xiàn)進(jìn)給方向上的間隙調(diào)整。然而，運(yùn)用數(shù)字積分法雖然解決了進(jìn)度控制的問(wèn)題，但還要考慮如何限制輪廓誤差。對(duì)于直線插補(bǔ)，數(shù)字積分法可將輪廓誤差限制在1個(gè)脈沖當(dāng)量（Basic Length Unit，BLU）以內(nèi)；對(duì)于圓弧插補(bǔ)，數(shù)字積分法采用1 BLU長(zhǎng)度的切線代替1 BLU長(zhǎng)度的弧線來(lái)遞推下一插補(bǔ)點(diǎn)的坐標(biāo)，從微積分的角度來(lái)看，相當(dāng)于將各軸插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)的遞推式以泰勒公式展開(kāi)至一階：

式中：s為弧長(zhǎng)參數(shù)；（X(s)，Y(s)）T為參數(shù) s處的插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)。

需要反向插補(bǔ)時(shí)，只需將一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)前的正號(hào)變?yōu)樨?fù)號(hào)即可。然而，一階泰勒展開(kāi)式的截?cái)嗾`差較大，在插補(bǔ)一段距離后，坐標(biāo)計(jì)算誤差逐漸累積，插補(bǔ)點(diǎn)會(huì)逐漸且明顯地偏離理想圓?。▓D1a）。為解決該問(wèn)題，單位弧長(zhǎng)增量法將各軸插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)的遞推式以泰勒公式展開(kāi)至二階甚至更高階（以X軸為例）：

通常只要取展開(kāi)階數(shù)m=2，就能明顯降低泰勒展開(kāi)式的截?cái)嗾`差，從而提高圓弧插補(bǔ)的輪廓精度（圖1b）。對(duì)于直線和圓弧的插補(bǔ)，單位弧長(zhǎng)增量法和其他脈沖增量法一樣，能避免浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算[16]。

圓弧是非常特殊的參數(shù)曲線，擁有良好的幾何性質(zhì)，使坐標(biāo)遞推泰勒展開(kāi)式的截?cái)嗾`差與坐標(biāo)增量相比很小，因此，依靠提高泰勒展開(kāi)的階數(shù)就能很好地降低輪廓誤差。然而，對(duì)于復(fù)雜形狀零件的加工軌跡（如多軸聯(lián)動(dòng)電火花成形加工的軌跡），當(dāng)采用參數(shù)曲線代替小直線段來(lái)描述軌跡時(shí)，往往選用靈活性較大的B樣條曲線或NURBS（Non-Uniform Rational B-Splines）[17]。 但使用 NURBS 存在的問(wèn)題是：由于復(fù)雜軌跡參數(shù)曲線的切矢量和曲率變化多樣，故無(wú)法確定坐標(biāo)遞推泰勒展開(kāi)式的截?cái)嗾`差大小。由于每步使用坐標(biāo)遞推泰勒展開(kāi)式都會(huì)引入新的截?cái)嗾`差，該誤差將隨著插補(bǔ)的進(jìn)行而一直累計(jì)下去，使推算的坐標(biāo)值偏差越來(lái)越大，輪廓誤差難以控制。

圖1 泰勒展開(kāi)階數(shù)對(duì)插補(bǔ)誤差累積的影響

要限制坐標(biāo)值誤差的累積，就要從遞推方法上做出改變。設(shè)三維空間中的一條參數(shù)曲線的表達(dá)式為 P(u)=（X(u)，Y(u)，Z(u)）T。 對(duì)于一般的非圓參數(shù)曲線，不再采用類似于數(shù)字積分法插補(bǔ)圓弧時(shí)的“坐標(biāo)遞推”方式，而改為采用數(shù)據(jù)采樣法粗插補(bǔ)階段的“參數(shù)遞推”方式。也就是說(shuō)，不是由坐標(biāo)泰勒展開(kāi)式

去遞推下一插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)（圖2a），而是先遞推出曲線P(u)在下一插補(bǔ)點(diǎn)的參數(shù)值 u｜s=s0+Δs后，再將 u｜s=s0+Δs代入 P(u)表達(dá)式中，求出 P(u｜s0+Δs)（圖 2b）。 與坐標(biāo)遞推類似，參數(shù)遞推也是一種近似計(jì)算，常見(jiàn)的方法有泰勒展開(kāi)法、龍格-庫(kù)塔法、預(yù)估-校正法等[18]。采用二階泰勒展開(kāi)法進(jìn)行參數(shù)遞推時(shí)，有：

圖2 兩種遞推方式的區(qū)別

把對(duì)坐標(biāo)的近似計(jì)算改為對(duì)參數(shù)的近似計(jì)算后，插補(bǔ)誤差的來(lái)源便從坐標(biāo)遞推式轉(zhuǎn)移到了參數(shù)遞推式中，這樣能保證每步遞推所得的坐標(biāo)值均落在曲線P(u)上，使插補(bǔ)點(diǎn)處的輪廓誤差≤1 BLU。然而，數(shù)據(jù)采樣法粗插補(bǔ)的缺陷在于其弧長(zhǎng)增量值Δs是不確定的，有時(shí)遠(yuǎn)大于1 BLU，導(dǎo)致在相鄰采樣點(diǎn)之間的弦線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，仍有可能與理想曲線P(u)偏離較大，即引起較大的弓高誤差。為解決這一問(wèn)題，單位弧長(zhǎng)增量法取定每步沿曲線進(jìn)給方向的弧長(zhǎng)增量Δs=1 BLU，這時(shí)只要參數(shù)遞推足夠精確，就能保證每步進(jìn)給的曲線段在每個(gè)軸上的投影都≤1 BLU，達(dá)到和脈沖增量法類似的精插補(bǔ)效果，使每個(gè)生成的插補(bǔ)點(diǎn)都能經(jīng)四舍五入圓整為以BLU為單位的整數(shù)后直接作為精插補(bǔ)結(jié)果、直接生成進(jìn)給脈沖（圖 3）。

將式（2）代入 P(u)，并取 Δs=1 BLU，可得曲線弧長(zhǎng)參數(shù)s=s0處正向遞推s=s0+1處的插補(bǔ)點(diǎn)的公式：

對(duì)于反向插補(bǔ)，Δs=-1 BLU，即由曲線弧長(zhǎng)參數(shù)s=s0處反向遞推s=s0-1處的插補(bǔ)點(diǎn)的情形，只需將式（3）右側(cè)泰勒展開(kāi)式中的一階項(xiàng)符號(hào)變?yōu)樨?fù)號(hào)：

由此可見(jiàn)，單位弧長(zhǎng)增量法能靈活實(shí)現(xiàn)沿參數(shù)曲線軌跡的正反雙向插補(bǔ)，有利于實(shí)現(xiàn)電火花成形加工中的短路回退、抬刀、暫停/退刀等需沿原路徑精確回退的特殊功能。

圖3 單位弧長(zhǎng)增量法的直接精插補(bǔ)

1.2 直線軸與旋轉(zhuǎn)軸同步運(yùn)動(dòng)的實(shí)現(xiàn)

多軸聯(lián)動(dòng)電火花成形加工包含直線軸和旋轉(zhuǎn)軸的同步運(yùn)動(dòng)，但直線軸通常使用長(zhǎng)度單位mm，旋轉(zhuǎn)軸通常使用角度單位 °。因此，要實(shí)現(xiàn)同步，首先需實(shí)現(xiàn)單位的統(tǒng)一，方法是將插補(bǔ)指令的各軸坐標(biāo)分別乘以各自的分辨率，化為以BLU為單位的坐標(biāo)值。以A軸為例，設(shè)其分辨率為1000 counts/°，則有1 count=1 BLU=0.001°；此時(shí)，若A軸的當(dāng)前坐標(biāo)值為5.5°，則A軸的當(dāng)前坐標(biāo)值可表示為5.5×1000=5500(BLU)。在下文中，各軸坐標(biāo)值和各個(gè)弧長(zhǎng)值均以BLU為單位。

多軸聯(lián)動(dòng)運(yùn)動(dòng)軌跡可采用不同的方式進(jìn)行描述，依加工需求、數(shù)控系統(tǒng)解釋器規(guī)定和CAM系統(tǒng)對(duì)軌跡的表示形式而定。在傳統(tǒng)的多軸聯(lián)動(dòng)加工機(jī)床數(shù)控系統(tǒng)中，一般只處理G01直線指令，也就是各軸運(yùn)動(dòng)之間互為線性關(guān)系的情況（以六軸為例）：

式中：(Xs,Ys,Zs,As,Bs,Cs)T=F(us)和(Xe,Ye,Ze,Ae,Be,Ce)T=F(ue)分別為G01指令的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)；us和ue分別為起點(diǎn)參數(shù)值和終點(diǎn)參數(shù)值。為了簡(jiǎn)化描述，分別記 X=x1、Y=x2、Z=x3、A=x4、B=x5、C=x6， 則式（4）可簡(jiǎn)單表達(dá)為：

在描述多軸聯(lián)動(dòng)加工閉式整體葉盤的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，可將X、Y、Z 3個(gè)直線軸運(yùn)動(dòng)視為一個(gè)合成運(yùn)動(dòng)M1，其表達(dá)式不再限于直線描述形式，而允許以3次B樣條曲線描述，擁有一個(gè)弧長(zhǎng)參數(shù)s1，即：

式中：u為曲線參數(shù)，由s1決定；Nk,3(u)為3次 B樣條曲線的基函數(shù)；)T為第k個(gè)控制點(diǎn)的坐標(biāo)。

而 A、B、C 3 個(gè)旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng) M4、M5和 M6仍以直線形式進(jìn)行描述，分別擁有各自的弧長(zhǎng)參數(shù)s4、s5和s6，即：

式（7）實(shí)際上就是式（5）的弧長(zhǎng)參數(shù)表示形式。事實(shí)上，由于每個(gè)旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)只包含一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，故每個(gè)旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)從起點(diǎn)到終點(diǎn)的弧長(zhǎng)(sie-sis)就是起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)之差的絕對(duì)值。直線軸合成運(yùn)動(dòng)與3個(gè)旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)（共4個(gè)運(yùn)動(dòng)）的4個(gè)弧長(zhǎng)參數(shù)(s1,s4,s5,s6)代表了4個(gè)運(yùn)動(dòng)的插補(bǔ)進(jìn)度，通過(guò)等比例的線性關(guān)系相對(duì)應(yīng)（圖4a）：

式中：q相當(dāng)于當(dāng)前插補(bǔ)進(jìn)度占總插補(bǔ)長(zhǎng)度的百分比。例如：在曲線段起點(diǎn)處，q=0，4個(gè)運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)參數(shù)(s1,s4,s5,s6)=(s1s,s4s,s5s,s6s)，即起點(diǎn)處的弧長(zhǎng)參數(shù)值；在曲線段終點(diǎn)處，q=100%，(s1,s4,s5,s6)=(s1e,s4e,s5e,s6e)，即終點(diǎn)處的弧長(zhǎng)參數(shù)值；插補(bǔ)到曲線段中點(diǎn)時(shí)，q=50%，4個(gè)弧長(zhǎng)參數(shù)正好分別處于起點(diǎn)弧長(zhǎng)參數(shù)和終點(diǎn)弧長(zhǎng)參數(shù)的中間值：

以式（6）作為直線軸合成運(yùn)動(dòng)M1的表達(dá)式，以式（7）作為旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng) M4、M5和 M6的表達(dá)式，以式（8）作為聯(lián)系4個(gè)運(yùn)動(dòng)的紐帶，這3個(gè)式子聯(lián)合描述了一段多軸聯(lián)動(dòng)軌跡。

通過(guò)式（8）確立了分別屬于4個(gè)運(yùn)動(dòng)的6個(gè)軸的同步關(guān)系后，剩下的問(wèn)題就是確定每步插補(bǔ)時(shí)各個(gè)運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)參數(shù)的增量。如1.1節(jié)所述，為了實(shí)現(xiàn)對(duì)曲線的直接精插補(bǔ)，就需滿足“每步進(jìn)給的曲線段在每個(gè)軸上的投影都≤1 BLU”的要求，單位弧長(zhǎng)增量法取定每步插補(bǔ)的弧長(zhǎng)增量值為Δs=1 BLU。而4個(gè)運(yùn)動(dòng)擁有4個(gè)弧長(zhǎng)參數(shù)，每步插補(bǔ)時(shí)的每個(gè)弧長(zhǎng)參數(shù)增量Δsi可能不一樣，因此，為滿足上述要求，就要使每步弧長(zhǎng)參數(shù)增量最大的那個(gè)運(yùn)動(dòng)Mimax的Δsimax=1 BLU，其他3個(gè)運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)參數(shù)增量自然就不會(huì)大于1 BLU（圖4b）。各個(gè)運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)增量計(jì)算方法用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，即：

圖4 直線軸與旋轉(zhuǎn)軸的同步

注意到這時(shí)直線軸合成運(yùn)動(dòng)M1的弧長(zhǎng)增量Δs1未必等于1 BLU，因此，在每步插補(bǔ)中，按1.1節(jié)所述的方法，先用二階泰勒展開(kāi)法計(jì)算直線軸合成運(yùn)動(dòng)曲線的參數(shù)：

再代入式（6）求出X、Y、Z軸的插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)。

將上述插補(bǔ)原理進(jìn)行總結(jié)，可得到如圖5所示的流程圖。由于使用單位弧長(zhǎng)增量法進(jìn)行多軸聯(lián)動(dòng)插補(bǔ)時(shí)的弧長(zhǎng)增量不是一般曲線意義下的弧長(zhǎng)增量，而是將單位弧長(zhǎng)增量法進(jìn)行推廣到直線軸和旋轉(zhuǎn)軸聯(lián)動(dòng)的情形下選取出來(lái)的弧長(zhǎng)增量。因此，將本插補(bǔ)方法稱為“廣義單位弧長(zhǎng)增量法”。

圖5 廣義單位弧長(zhǎng)增量法插補(bǔ)一段多軸聯(lián)動(dòng)參數(shù)曲線軌跡的流程圖

2 仿真與加工實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 閉式整體葉盤加工軌跡插補(bǔ)仿真

為了驗(yàn)證廣義單位弧長(zhǎng)增量法比傳統(tǒng)數(shù)據(jù)采樣法具有更高的精度和更少的存儲(chǔ)空間消耗量，分別采用兩種方法對(duì)閉式整體葉盤加工的一段參數(shù)曲線軌跡進(jìn)行了插補(bǔ)仿真實(shí)驗(yàn)。直線軸合成運(yùn)動(dòng)M1以3次B樣條曲線描述，其節(jié)點(diǎn)向量為：

{0.000 000 0，0.000 000 0，0.000 000 0，

0.000 000 0，0.015 289 8，0.041 548 9，

0.059 151 5，0.077 535 2，0.096 709 1，

0.116 667 6，0.137 415 7，0.144 276 6，

0.165 805 5，0.188 120 7，0.195 127 7，

0.218 193 9，0.242 769 3，0.249 331 0，

0.257 049 7，0.282 379 1，0.307 176 5，

0.331 428 5，0.335 833 0，0.358 138 5，

0.380 894 0，0.399 672 4，0.417 860 4，

0.434 732 8，0.451 001 4，0.459 105 1，

0.472 625 7，0.480 582 4，0.491 384 9，

0.501 215 9，0.510 697 6，0.521 109 8，

0.529 286 6，0.536 214 9，0.542 549 8，

0.548 316 7，0.553 534 2，0.557 568 2，

0.568 988 6，0.576 956 2，0.580 765 6，

0.584 556 7，0.587 897 7，0.591 361 6，

0.594 619 0，0.597 834 8，0.601 850 7，

0.610 777 0，0.618 991 7，0.627 191 3，

0.631 082 6，0.634 253 4，0.638 059 8，

0.641 822 7，0.646 040 3，0.650 222 1，

0.654 365 0，0.658 472 5，0.663 100 3，

0.674 476 1，0.679 812 0，0.691 842 3，

0.696 585 6，0.701 049 9，0.707 378 6，

0.714 357 5，0.720 639 7，0.728 265 7，

0.735 186 2，0.742 081 3，0.749 643 4，

0.757 189 0，0.764 030 8，0.771 537 1，

0.779 022 5，0.787 187 5，0.793 950 5，

0.802 076 8，0.809 484 2，0.817 568 9，

0.820 364 2，0.834 123 1，0.837 226 1，

0.844 516 4，0.847 262 0，0.855 880 8，

0.865 187 9，0.873 067 6，0.881 626 5，

0.890 165 5，0.898 683 0，0.907 174 2，

0.915 644 1，0.919 529 2，0.933 670 2，

0.937 526 2，0.940 857 5，0.950 570 3，

0.958 846 5，0.961 563 2，0.967 112 8，

0.974 059 1，0.977 404 2，0.980 371 1，

0.988 915 6，1.000 000 0，1.000 000 0，

1.000 000 0，1.000 000 0}

3個(gè)旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)則以直線形式進(jìn)行描述。為了簡(jiǎn)化說(shuō)明，取該多軸聯(lián)動(dòng)軌跡中的一段進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)比較，曲線數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

X、Y、Z、A、B 軸的分辨率均為 1000 BLU/°，C 軸的分辨率為2777.78 BLU/°。傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)采樣法對(duì)直線軸合成運(yùn)動(dòng)M1執(zhí)行離線粗插補(bǔ)，設(shè)其采樣間隔弧長(zhǎng)為10 BLU。廣義單位弧長(zhǎng)增量法的4個(gè)運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)增量 Δs1、Δs4、Δs5和 Δs6的計(jì)算過(guò)程如下：

（1）求該段曲線內(nèi)4個(gè)運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)

（2）由式（9）可知 imax=6°

（3）由式（10）可求得各運(yùn)動(dòng)的每步弧長(zhǎng)增量

可見(jiàn)，C軸運(yùn)動(dòng)M6的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，故M6每步的弧長(zhǎng)增量為1 BLU；其余3個(gè)運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)增量都不大于1 BLU。

表1 仿真軌跡數(shù)據(jù)

兩種插補(bǔ)法對(duì)所給曲線段的插補(bǔ)結(jié)果見(jiàn)表2。其中，弓高誤差來(lái)自于直線軸合成運(yùn)動(dòng)的參數(shù)曲線插補(bǔ)，其定義和計(jì)算方法來(lái)自文獻(xiàn)[19]。傳統(tǒng)數(shù)據(jù)采樣法粗插補(bǔ)生成了36個(gè)采樣點(diǎn)，6個(gè)軸共需216個(gè)變量來(lái)存儲(chǔ)采樣點(diǎn)；廣義單位弧長(zhǎng)增量法存儲(chǔ)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為節(jié)點(diǎn)向量中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)（113）、控制點(diǎn)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)（3×4=12）、弧長(zhǎng)參數(shù)個(gè)數(shù)（2）和旋轉(zhuǎn)軸端點(diǎn)個(gè)數(shù)（6）之和。注意到以廣義單位弧長(zhǎng)增量法插補(bǔ)所給曲線段實(shí)際上只需用到節(jié)點(diǎn)向量中的一部分節(jié)點(diǎn)值，因此，實(shí)際上要存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)可小于133。由表2可見(jiàn)，與傳統(tǒng)數(shù)據(jù)采樣法相比，廣義單位弧長(zhǎng)增量法以較小的存儲(chǔ)空間實(shí)現(xiàn)了更高的插補(bǔ)精度，使弓高誤差遠(yuǎn)小于1 BLU，在插補(bǔ)誤差中只占極小的一部分，主要的插補(bǔ)誤差由機(jī)床各軸的BLU長(zhǎng)度決定，因而插補(bǔ)精度能控制在與機(jī)床分辨率相近的范圍內(nèi)。

表2 一段多軸聯(lián)動(dòng)軌跡的插補(bǔ)仿真結(jié)果

2.2 閉式整體葉盤加工實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證廣義單位弧長(zhǎng)增量法的穩(wěn)定性和可靠性，在HE70型六軸聯(lián)動(dòng)電火花加工機(jī)床的數(shù)控系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)了廣義單位弧長(zhǎng)增量法，并進(jìn)行了閉式整體葉盤加工試驗(yàn)。圖6是加工樣件。加工過(guò)程穩(wěn)定，直線軸和旋轉(zhuǎn)軸均按所給指令執(zhí)行同步進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，所有需要反向插補(bǔ)的抬刀、短路回退和暫停/退刀功能在執(zhí)行過(guò)程中均能準(zhǔn)確地沿原軌跡回退和前進(jìn)，工具電極與工件之間無(wú)干涉現(xiàn)象出現(xiàn)，證明廣義單位弧長(zhǎng)增量法適用于多軸聯(lián)動(dòng)電火花成形加工的場(chǎng)合。

圖6 閉式整體葉盤加工樣件

3 結(jié)語(yǔ)

本文從電火花加工數(shù)控系統(tǒng)插補(bǔ)器中常用的脈沖增量法出發(fā)，將單位弧長(zhǎng)增量法推廣到多軸聯(lián)動(dòng)電火花加工的應(yīng)用中，形成了具有直線軸運(yùn)動(dòng)與旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)同步功能的廣義單位弧長(zhǎng)增量法。其中，直線軸的合成運(yùn)動(dòng)允許以一般的參數(shù)曲線形式進(jìn)行描述，每個(gè)旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)分別以直線形式描述，各運(yùn)動(dòng)之間以弧長(zhǎng)參數(shù)為紐帶，按弧長(zhǎng)比例決定每個(gè)運(yùn)動(dòng)的插補(bǔ)進(jìn)度，并取定弧長(zhǎng)最長(zhǎng)的運(yùn)動(dòng)的每步弧長(zhǎng)增量為1 BLU，使插補(bǔ)誤差控制在與機(jī)床分辨率相近的范圍內(nèi)。由于該方法屬于能直接生成各軸進(jìn)給脈沖的精插補(bǔ)方法，因此，不論是采用伺服電機(jī)還是步進(jìn)電機(jī)的機(jī)床均可應(yīng)用。

對(duì)閉式整體葉盤加工軌跡的插補(bǔ)仿真表明，廣義單位弧長(zhǎng)增量法與傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)采樣法相比，具有較低的存儲(chǔ)空間消耗和較高的插補(bǔ)精度。通過(guò)閉式整體葉盤加工實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了廣義單位弧長(zhǎng)增量法的穩(wěn)定性和可靠性。

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