應(yīng)用于波束域的改進(jìn)TOFS算法?

(國(guó)防科技大學(xué)自動(dòng)目標(biāo)識(shí)別重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖南長(zhǎng)沙410073)

0 引言

信號(hào)波達(dá)方向(Direction-of-Arrival,DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理的重要研究課題之一,廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、移動(dòng)通信、聲納、導(dǎo)航等各個(gè)領(lǐng)域[1-3]。作為現(xiàn)代高分辨DOA估計(jì)算法中的經(jīng)典代表,多重信號(hào)分類(Multiple Signal Classification,MUSIC)算法[4]30年來(lái)得到了迅速的發(fā)展[5-7]。但是,常規(guī)的陣元域MUSIC算法不能處理相干信號(hào),并且只局限于窄帶信號(hào)處理范圍。而現(xiàn)代電磁環(huán)境更加復(fù)雜,信號(hào)愈加密集,同時(shí)由于多徑傳輸?shù)纫蛩氐挠绊?實(shí)際場(chǎng)合中存在大量的寬帶相干信號(hào),怎樣去除多徑效應(yīng)是波達(dá)方向估計(jì)領(lǐng)域的重要課題[8],傳統(tǒng)的窄帶高分辨測(cè)向算法已經(jīng)不能滿足需要,所以研究寬帶相干信號(hào)環(huán)境下的目標(biāo)方位估計(jì)問(wèn)題具有實(shí)際意義。

比較經(jīng)典的寬帶信號(hào)高分辨算法主要有兩種:非相干信號(hào)子空間(Incoherent Signal-Subspace Method,ISM)方位估計(jì)方法和相干信號(hào)子空間(Coherent Signal-Subspace Method,CSM)方位估計(jì)方法[9]。ISM算法是最基本的寬帶空間譜估計(jì)算法,CSM算法在其基礎(chǔ)上增加了聚焦的過(guò)程,雖然提高了低信噪比條件下的估計(jì)性能,但聚焦矩陣的構(gòu)造需要預(yù)先估計(jì)目標(biāo)方位,預(yù)估角度的偏差對(duì)精度影響較大。投影子空間正交性測(cè)試(Test of Orthogonality of Projected Subspace,TOPS)方法[10]是一種無(wú)需預(yù)估過(guò)程的寬帶信號(hào)空間譜估計(jì)方法,但其參考頻點(diǎn)上信號(hào)子空間估計(jì)的不準(zhǔn)確性會(huì)影響整個(gè)算法的性能[11]。為解決該問(wèn)題,文獻(xiàn)[12]提出了一種頻域子空間正交性測(cè)試(Test of Orthogonality of Frequency Subspace,TOFS)算法,該方法通過(guò)角度和頻率構(gòu)造向量,判斷該向量和各個(gè)不同頻點(diǎn)上噪聲子空間的正交性程度來(lái)進(jìn)行角度估計(jì),因?yàn)樵摲椒ɡ昧嗣總€(gè)頻點(diǎn)上的信息,所以避免了TOPS算法中由于參考頻點(diǎn)的估計(jì)誤差而給整個(gè)算法帶來(lái)的影響。雖然TOPS與TOFS算法都不用事先預(yù)估角度,但它們都不能對(duì)相干信號(hào)進(jìn)行有效估計(jì)。本文將矩陣共軛重構(gòu)算法引入到TOFS算法中,提出了一種改進(jìn)的TOFS算法,從而實(shí)現(xiàn)寬帶相干信號(hào)環(huán)境下的DOA估計(jì),并且具有較好的分辨性能。

前文提及的寬帶信號(hào)空間譜估計(jì)算法都是建立在陣元空間基礎(chǔ)上的,存在運(yùn)算量大的缺點(diǎn),對(duì)于大陣列數(shù)目、小信源數(shù)目的情況,可以采用波束空間DOA估計(jì)算法,將信號(hào)從陣元空間變換到波束空間中進(jìn)行處理,從而降低運(yùn)算復(fù)雜度。本文在對(duì)TOFS算法改進(jìn)的基礎(chǔ)上,將其從陣元域變換到波束域中,降低了運(yùn)算量,并且未影響其在相干信號(hào)環(huán)境下的估計(jì)精度。

1 均勻線陣下的信號(hào)接收模型

假設(shè)接收基陣是陣元數(shù)目為M的均勻線陣(ULA),且各陣元是各向同性的,陣元間距d為入射信號(hào)最高頻率對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的一半,空間中有P個(gè)信號(hào)入射到此線陣上,入射方位角分別為θ1,θ2,…,θP,第m個(gè)陣元的接收數(shù)據(jù)可表示為

式中,nm(t)為第m個(gè)陣元的空間白噪聲,τm,i為信號(hào)si(t)到達(dá)第m個(gè)陣元相對(duì)于其到達(dá)參考陣元的時(shí)延,表達(dá)式如下:

將接收數(shù)據(jù)分為K段,對(duì)每段進(jìn)行J點(diǎn)的DFT變換,則陣列輸出在頻域上可表示為

式中,Xk(fj),Sk(fj),Nk(fj)分別為頻率fj處對(duì)應(yīng)的接收數(shù)據(jù)、信號(hào)和噪聲的頻域,A(fj)為M×P維的陣列流形矩陣,表達(dá)式為

綜上分析,式(3)即為寬帶信號(hào)均勻線陣下的接收模型。

2 正交性測(cè)試方法

2.1 TOPS算法

下面首先引入兩個(gè)引理和一個(gè)定理[10]。

引理一:對(duì)于導(dǎo)向向量a(fi,θi),存在矩陣Φ(fj,θj),使得a(fk,θk)=Φ(fj,θj)a(fi,θi)成立,并且頻率和角度滿足式(6):

其中,Φ(fj,θj)為對(duì)角矩陣,第m個(gè)元素可表示為

引理一表明,不管頻率和角度值為多少,任意一個(gè)陣列流形矢量都能通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣變換到指定頻率上,尤其是當(dāng)θi=θj時(shí),θk=θi=θj成立,也就是說(shuō)如果選取一個(gè)角度與信號(hào)入射方向相同的轉(zhuǎn)換矩陣,那么可以在不改變信號(hào)來(lái)向的條件下將陣列流形矢量從一個(gè)頻率搬移到另一頻率上。

引理二:當(dāng)Δf=fj-fi時(shí),下式等號(hào)兩邊的值域空間相同:

式中,?為假設(shè)的信號(hào)方位角度,Fj為頻點(diǎn)fj處的信號(hào)子空間,角度^θ的取值與?有關(guān)。

定理:當(dāng)2P≤M,K≥P+1時(shí),定義M×P的矩陣U(fj,?)如下:

式中,Δfj=fj-f0,F0為參考頻點(diǎn)f0處的信號(hào)子空間,定義Gj為頻點(diǎn)fj處的噪聲子空間,接著構(gòu)造一個(gè)P×J(M-P)的矩陣:

那么:

a)當(dāng)假定的信號(hào)入射角度?與真實(shí)入射角度θ相等時(shí),D(?)將缺秩;

b)當(dāng)假定的信號(hào)入射角度?與真實(shí)入射角度θ不相等時(shí),D(?)將滿秩。

只有在入射信號(hào)完全不相關(guān)的條件下,上述定理才成立,當(dāng)信號(hào)相干時(shí),信號(hào)子空間的維數(shù)會(huì)降低,此時(shí),無(wú)論假定信號(hào)是否等于真實(shí)入射角,D(?)都將缺秩,TOPS算法無(wú)法正常工作。但是由于噪聲的存在,子空間估計(jì)會(huì)出現(xiàn)一定的誤差,因而D(?)一般情況下不會(huì)出現(xiàn)缺秩的情況,通常采用對(duì)D(?)進(jìn)行奇異值分解的辦法來(lái)判斷D(?)缺秩的程度,進(jìn)行角度搜索的公式如下:

式中,σmin(?)為矩陣D(?)最小的奇異值,θ為信號(hào)的方位估計(jì)值。

在實(shí)際應(yīng)用中,為了減少信號(hào)子空間泄露到噪聲子空間,采用投影方法減小D(?)的估計(jì)誤差,令陣列流形矢量a(fj,?)的投影矩陣P(fj,?)為

再根據(jù)式(10)形成新的矩陣D(?),用U′(fj,?)代替原來(lái)的U(fj,?):

2.2 TOFS算法

由上文所述,因?yàn)門OPS算法構(gòu)造矩陣D(?)的過(guò)程是基于某一參考頻點(diǎn)上的信號(hào)子空間F0,在低信噪比時(shí),參考頻點(diǎn)上的信號(hào)子空間估計(jì)將會(huì)存在較大的誤差,從而影響整個(gè)算法的估計(jì)性能。文獻(xiàn)[12]對(duì)TOPS算法進(jìn)行改進(jìn),提出了T OFS算法,避免了出現(xiàn)偽峰的情況。

與其他經(jīng)典寬帶高分辨算法類似,TOFS算法先對(duì)各個(gè)頻點(diǎn)上的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解,得到各個(gè)頻點(diǎn)處的噪聲子空間Gj,j=1,2,…,J。再由頻率和假定的信號(hào)方位角度構(gòu)造導(dǎo)向向量a(fj,?),根據(jù)子空間理論,當(dāng)?為信號(hào)方向時(shí),有aH(fj,?)Gj=0。

因而可以構(gòu)造標(biāo)量函數(shù)U(fj,?)如下:

但是由于受噪聲的影響,式(14)的結(jié)果不一定會(huì)為零,但可以根據(jù)其距離0的程度來(lái)判斷信號(hào)方向。接著,將這J個(gè)標(biāo)量U(fj,?)構(gòu)成一個(gè)新的向量:

對(duì)?進(jìn)行一維角度搜索得到信號(hào)的方位估計(jì)值:

式中,σ(?)表示向量D(?)的二范數(shù),也就是D(?)中元素平方和的平方根。

雖然TOFS算法能消除偽峰,但其低信噪比條件下難以對(duì)相干信號(hào)進(jìn)行有效估計(jì)。鑒于此,本文第3節(jié)將提出一種改進(jìn)的TOFS算法,使其能夠估計(jì)相干信號(hào)的波達(dá)角,同時(shí)將改進(jìn)的算法應(yīng)用于波束空間來(lái)降低算法的運(yùn)算量。

3 改進(jìn)的TOFS算法及在波束域的應(yīng)用

3.1 TOFS算法改進(jìn)

將矩陣共軛重構(gòu)算法與TOFS算法結(jié)合來(lái)處理相干信號(hào),可以得到改進(jìn)的TOFS方法。設(shè)Xk(fj)是頻點(diǎn)fj處的接收數(shù)據(jù)的頻域表示,使,其中,JM為M階矩陣,除了反對(duì)角線上的元素為1以外,其余元素為0,具體表示如下:

那么可以求得Yk(fj)的自相關(guān)矩陣為

令矩陣D為

式中,ωi=dfjsin(θi)/c,則有下式成立:

對(duì)于非相干信號(hào),Rs為實(shí)對(duì)角陣,再將式(20)代入式(18),由J2=I及D?D=I可得

再令

上式中的矩陣R即為解相干以后的協(xié)方差矩陣,共軛重構(gòu)本質(zhì)上是前后向空間平滑,但實(shí)際只構(gòu)造了一個(gè)子陣,并且子陣的陣元數(shù)與陣列陣元總數(shù)相等,也就是說(shuō)子陣與原陣完全一樣,因而不會(huì)損失陣列孔徑。空間平滑消除了因信號(hào)相干而導(dǎo)致的協(xié)方差矩陣Rx的奇異性,所以采用矩陣R作為后續(xù)估計(jì)的協(xié)方差矩陣能夠?qū)ο喔尚盘?hào)進(jìn)行有效估計(jì)。此外,對(duì)單個(gè)信號(hào)進(jìn)行到達(dá)角估計(jì)時(shí),由于協(xié)方差矩陣Rx和Ry是采用有限次快拍進(jìn)行估計(jì)的,在信噪比較低和快拍數(shù)較少時(shí),誤差較大,而采用R進(jìn)行估計(jì),具有平均的意義,因此可以提高估計(jì)的性能,后續(xù)仿真也驗(yàn)證了這一結(jié)論。

3.2 基于波束空間的改進(jìn)TOFS算法

雖然改進(jìn)后的TOFS算法已經(jīng)具備良好的寬帶相干信號(hào)處理能力,但其運(yùn)算量較大,因而會(huì)限制其在實(shí)際應(yīng)用中的發(fā)展。在陣元數(shù)多,信源數(shù)少的條件下,可以采用波束域處理的方法[13-14]來(lái)降低運(yùn)算復(fù)雜度,即先構(gòu)造一個(gè)波束形成矩陣,以波束域代替陣元域,接著在該波束范圍內(nèi)進(jìn)行處理。一般情況下,需要形成的波束個(gè)數(shù)比陣列個(gè)數(shù)小得多,所以可以采用波束域處理的方法來(lái)降低傳統(tǒng)陣元域?qū)拵盘?hào)空間譜估計(jì)算法的運(yùn)算維度。

波束形成矩陣由B個(gè)已知指向的導(dǎo)向矢量來(lái)創(chuàng)建:

式中,a(θ)為陣列的導(dǎo)向矢量,B為需要形成的波束個(gè)數(shù)。

當(dāng)式(23)并非一個(gè)正交矩陣時(shí),需要利用下式對(duì)其進(jìn)行正交化:

根據(jù)前文所述,陣元域的TOFS方法需要進(jìn)行特征值分解的矩陣Rx(fj)的維度為M×M,因而其運(yùn)算復(fù)雜度為O(M3),而波束域中的改進(jìn)TOFS方法需要進(jìn)行特征值分解的矩陣Rz(fj)的維度為B×B,因而其運(yùn)算復(fù)雜度為O(B3),一般說(shuō)來(lái),M＞B,因此對(duì)于陣列數(shù)多、信源數(shù)小的情況,計(jì)算量會(huì)大大降低。

綜上分析,波束域的改進(jìn)TOFS算法步驟如下:

① 對(duì)接收到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分段,對(duì)每一段進(jìn)行DFT,得到每一頻點(diǎn)下的陣列協(xié)方差矩陣;

② 根據(jù)式(23)設(shè)計(jì)出B個(gè)波束,構(gòu)成波束轉(zhuǎn)換矩陣;

③ 在各個(gè)頻點(diǎn)處用式(22)對(duì)Rx(fj)進(jìn)行共軛重構(gòu)處理得到R(fj),再利用式(25)將其變換到波束空間中得到Rz(fj);

④ 在每個(gè)頻率點(diǎn)上對(duì)波束空間的協(xié)方差矩陣Rz(fj)進(jìn)行特征值分解,得到噪聲子空間;

⑤ 進(jìn)行角度搜索,根據(jù)式(15)對(duì)所有可能的方向角度構(gòu)造矩陣D(?)=[U(f1,?),U(f2,?),…,U(fJ,?)];

⑥ 根據(jù)式(16)估計(jì)出信號(hào)方向。

4 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)1 算法相干處理能力的驗(yàn)證

仿真條件:假設(shè)接收基陣為40陣元的均勻線陣,陣元間隔為最高頻率的半波長(zhǎng),噪聲為互不相關(guān)的高斯白噪聲,兩個(gè)相干信號(hào)的功率相等,入射角度為24°和26°,中心頻率為900 MHz,帶寬為600 MHz。信噪比取10 dB,采樣率為1 200 MHz,信號(hào)觀測(cè)時(shí)間為5.12μs,在時(shí)域上劃分為48段,每段作128點(diǎn)的FFT,得到信號(hào)帶寬內(nèi)的頻點(diǎn)數(shù)為65個(gè)。

在驗(yàn)證算法能否處理相干信號(hào)之前,首先構(gòu)造波束轉(zhuǎn)換矩陣,根據(jù)3.2節(jié)的分析,將弧度換算成角度可知需要形成指向?yàn)?0.1°,22.9°,25.8°,28.6°和31.5°的5個(gè)常規(guī)波束,方向圖如圖1所示。接著利用TOPS算法、TOFS算法以及本文改進(jìn)的算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行到達(dá)角估計(jì),4種算法得到的空間譜如圖2所示。從圖中可以看出,TOPS算法和TOFS算法無(wú)法分辨出兩個(gè)相干信號(hào)的方位,而改進(jìn)后的TOFS算法在24°和26°兩個(gè)信號(hào)方位角形成兩個(gè)譜峰,能準(zhǔn)確地分辨出相干信號(hào)的方位,并且將算法從陣元空間變換到波束空間中后,形成的譜峰相對(duì)前者更加尖銳。

圖1 波束方向圖

圖2 4種算法的空間譜估計(jì)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)2 算法測(cè)向精度的比較

首先進(jìn)行單個(gè)信號(hào)源的測(cè)向精度的比較。仿真條件為:單個(gè)信號(hào)源,入射角度為25°,信噪比變化范圍為-20～20 dB,其他實(shí)驗(yàn)條件同實(shí)驗(yàn)1,進(jìn)行500次蒙特卡洛仿真。為了更好地說(shuō)明本文算法的優(yōu)勢(shì),文章對(duì)常用的RSS方法和TOPS算法的估計(jì)精度也進(jìn)行了仿真,仿真結(jié)果如圖3所示,本文利用均方根誤差(RMSE)對(duì)算法的精度進(jìn)行衡量,RMSE越小,算法精度越高。從圖中可以看出,RSS算法的估計(jì)性能比較穩(wěn)定,但在信噪比較高時(shí)明顯不如TOPS算法和TOFS算法,這是由于該方法需要預(yù)估角度。同時(shí)可以看出,改進(jìn)TOFS算法的測(cè)向精度比常規(guī)的TOFS算法更高,將改進(jìn)后的算法應(yīng)用于波束空間之后,算法估計(jì)精度略有降低,但下降幅度很小。

圖3 單個(gè)信號(hào)入射、不同信噪比情況下5種算法的均方根誤差

其次對(duì)兩個(gè)相干信號(hào)的估計(jì)精度進(jìn)行比較。信號(hào)方位和信號(hào)參數(shù)與實(shí)驗(yàn)1相同,信噪比變化范圍為-20～20 dB,對(duì)其進(jìn)行500次蒙特卡洛仿真。由圖2可知,傳統(tǒng)的TOPS算法和TOFS算法沒(méi)有解相干的能力,因而這里不給出這兩種算法的估計(jì)精度。從圖4可以看出,在信噪比大于4 d B時(shí)改進(jìn)后的TOFS算法性能要比RSS算法更好,當(dāng)算法應(yīng)用到波束空間中后,雖然估計(jì)精度略有降低,但仍優(yōu)于RSS算法。

圖4 兩個(gè)相干信號(hào)入射、不同信噪比情況下3種算法的均方根誤差

實(shí)驗(yàn)3 算法運(yùn)算量的比較

由3.2節(jié)的分析可知,將改進(jìn)后的算法變換到波束空間之后運(yùn)算復(fù)雜度將大大降低,為了驗(yàn)證前文的結(jié)論,文章分別記錄下不同陣元數(shù)目下TOPS算法、TOFS算法以及本文改進(jìn)算法的運(yùn)算時(shí)間,仿真條件與實(shí)驗(yàn)1相同,波束數(shù)固定取為5。算法的處理平臺(tái)為Windows XP系統(tǒng)、雙核2.8 GB CPU、2 GB內(nèi)存,采用Matlab2010進(jìn)行算法仿真,4種算法的運(yùn)算時(shí)間如表1所示。由表中可以看出,改進(jìn)后的TOFS算法運(yùn)算時(shí)間比常規(guī)的TOFS算法時(shí)間稍長(zhǎng),這是因?yàn)樗惴尤肓斯曹椫貥?gòu)的過(guò)程,而將改進(jìn)后的算法從陣元空間變換到波束空間中之后,算法的運(yùn)算時(shí)間大大縮短,尤其是在陣元數(shù)目比較多的時(shí)候,優(yōu)勢(shì)更為明顯。但隨著陣元數(shù)目的逐漸降低,這種優(yōu)勢(shì)也越來(lái)越小,當(dāng)陣元數(shù)目為10時(shí),算法在陣元空間和波束空間中的計(jì)算時(shí)間基本相同。需要說(shuō)明的是,隨著陣元數(shù)的減少,算法需要的波束數(shù)也隨之降低,以10陣元數(shù)為例,波束數(shù)為3即可滿足算法需求。因此,本文提出的在波束域中改進(jìn)的TOFS算法能夠有效提高DOA估計(jì)效率。

表1 4種算法的運(yùn)算時(shí)間s

5 結(jié)束語(yǔ)

本文將矩陣重構(gòu)方法和TOFS算法相結(jié)合,提出了一種改進(jìn)的TOFS算法,新方法解決了原算法不能處理相干信號(hào)的問(wèn)題,并且一定程度上提高了原算法的測(cè)向精度。再將改進(jìn)后的算法運(yùn)用到波束空間中后,大大降低了運(yùn)算量,雖然對(duì)算法精度有一定影響,但相比于運(yùn)算量降低的優(yōu)勢(shì),該影響處于可接受范圍之內(nèi)。與陣元域的TOFS算法相比,應(yīng)用于波束域的改進(jìn)TOFS算法的協(xié)方差矩陣維數(shù)明顯減小,因而對(duì)于大陣元數(shù)目、小信源數(shù)目的應(yīng)用場(chǎng)合,計(jì)算復(fù)雜度將明顯降低,因而更適于工程應(yīng)用。

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