時域寬帶自適應波束形成器設計?

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室,陜西西安710071)

0 引言

寬帶波束形成作為陣列信號處理的重要發(fā)展方向,廣泛應用于雷達[1]、聲吶[2]和通信[3]等技術領域。Frost類[4-5]和廣義旁瓣相消類[6-7](Generalized Sidelobe Canceller,GSC)是兩種傳統(tǒng)的時域寬帶自適應波束形成器結構。由于只包含由抽頭延遲線(Tapped Delay Line,TDL)組成的有限沖激響應(Finite Impulse Response,FIR)濾波器作為前向支路,隨著信號帶寬的增加,所需FIR濾波器的階數(shù),即TDL數(shù)量也隨之增加[8],以獲得預期的信號和干擾噪聲比(Signal to Interference Pulse Noise Ratio,SINR)。近年,文獻[9-11]設計了幾種新型時域寬帶波束形成器,通過引入反饋支路,有效地抑制了TDL隨帶寬的增加。基于Frost波束形成器,文獻[9-10]設計的DUAN波束形成器,將各個前向支路中的TDL全部替換成一階或二階無限沖激響應(Infinite Impulse Response,IIR)濾波器(采用相同的方法,文獻[10]還設計了基于GSC結構的DUAN波束形成器),采用迭代高斯牛頓法(Recursive Gauss Newton,RGN)實現(xiàn)前饋系數(shù)和IIR濾波器極點的自適應迭代更新。與傳統(tǒng)最小均方算法相比,實現(xiàn)了更快的收斂速度和更好的穩(wěn)態(tài)性能。然而,極點的迭代更新使DUAN波束形成器可能陷入不穩(wěn)定狀態(tài),無法收斂。為了解決DUAN波束形成器的穩(wěn)定性問題,文獻[11]設計了基于拉蓋爾濾波器的時域寬帶自適應波束形成器,將各個前向支路中的TDL全部換成拉蓋爾濾波器,并離線確定拉蓋爾濾波器的最優(yōu)極點。DUAN和拉蓋爾波束形成器將全部TDL換成IIR濾波器,增加了權值迭代更新過程的復雜性,降低了收斂速度。為了防止波束形成器的自適應迭代過程陷入不穩(wěn)定狀態(tài),DUAN波束形成器需要進行極點控制,而拉蓋爾波束形成器雖然極點固定,但只包含單個極點,使這兩者的干擾抑制能力均受到限制。

為了簡化自適應權的更新過程,加快收斂并增強波束形成器的干擾抑制能力,本文基于GSC波束形成器設計一種新的時域寬帶自適應波束形成器,在保持前向支路不變的情況下,引入一條具有固定權值的反饋支路,采用一種最優(yōu)迭代零極點系統(tǒng)識別方法[12]離線獲取全極點支路最優(yōu)反饋權。由于前向支路與傳統(tǒng)GSC結構相同,可以采用無約束優(yōu)化算法進行權系數(shù)的迭代更新。以上特征使本文設計的寬帶波束形成器具有固有穩(wěn)定性和運算量低的特點。在相同陣元個數(shù)和自適應權個數(shù)的條件下,仿真對比了本文波束形成器與GSC、DUAN和拉蓋爾波束形成器的干擾抑制能力;定量分析了相同條件下,實現(xiàn)一定SINR改善時,4種波束形成器單次迭代所需要的運算量。

1 現(xiàn)有時域寬帶自適應波束形成器

如圖1所示,傳統(tǒng)GSC波束形成器結構包含上下兩條支路。其中上支路用于保證期望信號無損通過,從而使下支路可以采用無約束自適應算法實現(xiàn)權系數(shù)的迭代更新。通過設計上支路中的靜態(tài)權向量Wq可以在保證信號不變的情況下,實現(xiàn)低副瓣等波束方向圖設計。

圖1 GSC波束形成器結構

T用于補償非法線方向入射產(chǎn)生的時間延時。B是阻塞矩陣,用于防止有效信號進入下支路。上支路中的“TDL”模塊是為與下支路同步而引入的處理時延。下支路中的“TDLs”模塊是GSC波束形成器的自適應模塊,用于實現(xiàn)干擾消除。傳統(tǒng)時域寬帶波束形成器的“TDLs”模塊僅包含前向支路,等效于在每個陣元后放置一個FIR濾波器。DUAN和拉蓋爾波束形成器將“TDLs”模塊中的TDL換成IIR濾波器,引入后向反饋。

圖2(a)給出DUAN和拉蓋爾波束形成器的“TDLs”模塊。二階DUAN波束形成器的“TDLs”模塊將原GSC的TDL替換成由式(1)表示的Gij(z),當aij,2為0時,二階DUAN波束形成器即變?yōu)橐浑A。

式中,aij,1和aij,2為第i個陣元的第j個抽頭對應的IIR濾波器的反饋系數(shù),1≤i≤L-1,1≤j≤M,L為接收陣列傳感器個數(shù),M為每個陣元后總的抽頭個數(shù)。

拉蓋爾波束形成器中,Gij(z)具有如下形式:

式中,b為離線設計的最優(yōu)極點。完整的拉蓋爾波束形成器還需要在第一個抽頭系數(shù)之前加上一個低通濾波器Gi0(z)=1-b2/(1-bz-1)。

2 固定反饋權的波束形成器設計

2.1 波束形成器結構

基于GSC結構的DUAN和拉蓋爾波束形成器均采用相同的方式構建,將原GSC波束形成器“TDLs”模塊中的TDL換成各自對應的IIR濾波器,其他部分均與GSC波束形成器相同。這種方式增加了前向權系數(shù)迭代更新的復雜性,使運算量增加,收斂速度降低。

本文波束形成器的“TDLs”模塊如圖2(b)所示,與DUAN和拉蓋爾波束形成器構建方式不同的是,本文只增加了一條具有固定權的反饋支路,1/(1+z-1A(z)),形成了一個具有固定極點的IIR濾波器。其中,分母部分1+z-1A(z)可以表示為

圖2 具有反饋支路的寬帶波束形成器結構

2.2 前饋權的自適應更新算法

不失一般性,本文采用最簡單的靜態(tài)加權和阻塞矩陣。靜態(tài)加權Wq采用歸一化的均勻單位向量:

阻塞矩陣B是一個L×(L-1)的矩陣,L為總的陣元個數(shù)。

假設圖2(b)中每個陣元的相同抽頭位置對應的輸入信號組成的向量為

式中,i表示TDL個數(shù),由圖2(b)可得各抽頭位置對應的輸入向量滿足以下關系:

向量xi(n)由式(6)給出,J表示TDL個數(shù)。由圖1可得第一個抽頭輸入為

向量φ(n)=[φ1(n),φ2(n),…,φL(n)]是預延遲后的輸入信號向量,L為總的陣元個數(shù),結合式(5)和(8),第一個抽頭輸入的更新關系為xj,1(n)=φj(n)-φj+1(n),j=1,…,L-1。式(7)和(8)即構成了每次迭代下支路各抽頭位置處信號向量的更新關系。

由圖1可知,波束形成器的輸出誤差:

式中,x(n)是(L-1)×J維列向量,由式(6)表示的xi(n)按照i由小到大的順序“拉直”排列而成,

前向權向量采用同樣方式構建,有如下形式:

ωTx(n)構成了前向支路的輸出。

式(12)給出了含反饋的輸入信號:

其單個元素的更新過程由式(13)給出:

式中,ai(1≤i≤M)表示第i個反饋權,M表示反饋權的個數(shù)。由此,ωTˉx(n)才是整個波束形成器下支路的輸出。

采用RGN算法實現(xiàn)權系數(shù)的迭代更新,最優(yōu)權向量的獲取可以通過最小化均方誤差‖e(n)‖2實現(xiàn)。該問題的目標函數(shù)表示為

這是一個無約束優(yōu)化問題。定義代價函數(shù)為

代價函數(shù)η關于權ω的導數(shù)為

無約束RGN算法的權值更新過程為

式中,μ是迭代步長,Rˉxˉx(n)是含反饋輸入信號的相關矩陣,通過如下迭代公式進行更新:

基于以上分析,表1給出了用于自適應權ω(n)迭代更新的RGN算法流程,δ是選定的一個正實數(shù),δI用來表示相關矩陣逆的初始估計值。

表1 前饋權更新的RGN算法

2.3 固定反饋權的離線設計

通過設計反饋權,使其逼近一個頻帶盡可能覆蓋干擾頻率的帶通濾波器。將這一過程等效為用一個全極點系統(tǒng)逼近一個帶通濾波器,得到如下最小化問題:

式中,e=hd-h表示理想帶通系統(tǒng)和實際全極點系統(tǒng)的單位沖激響應差,理想帶通系統(tǒng)的沖擊響應為hd=[hd(0)hd(1)… hd(N-1)]T,N是時域沖激響應的截斷點數(shù),h是由全極點系統(tǒng)表征的單位沖激響應,表示如下:

表2 最優(yōu)反饋權獲取的迭代算法

對于表2給出的迭代算法,作如下說明:

和g=[hd(1)hd(2) … hd(N-1)]T是常量矩陣和向量,由理想帶通濾波器的單位沖激響應構成,其中,N是沖激響應的長度,M是反饋權的個數(shù)。

是一個(N-1)×N的矩陣,上述A(n)矩陣的每個元素都是關于n的變量,因而需要在每次迭代時都重新構建一次A(n)矩陣。

3 仿真實驗與結果分析

本節(jié)采用均勻線陣對比幾種不同波束形成器以體現(xiàn)本文波束形成器的優(yōu)點和性能提升。

3.1 SINR收斂曲線和干擾抑制能力分析

基于表3的仿真參數(shù),對每一種波束形成器實施1 000次獨立實驗,每次實驗都進行800次迭代,得到圖3所示SINR收斂曲線,該圖是1000次獨立實驗的平均結果。

從圖3可以看出,迭代次數(shù)為800時,本文和GSC波束形成器都已平穩(wěn)收斂,且具有較好的穩(wěn)態(tài)特性。而DUAN和拉蓋爾波束形成器都呈現(xiàn)極緩的上升趨勢,未能完全收斂,且DUAN波束形成器在第501次迭代時,出現(xiàn)了明顯的毛刺,說明DUAN波束形成器存在不穩(wěn)定的“隱患”。

認為第800次迭代時,各個波束形成器都達到穩(wěn)定收斂狀態(tài),取1 000次獨立實驗中每次實驗的第800次迭代結果計算陣列在干擾方向上的頻率響應,得到如圖4所示的干擾方向上陣列的頻率響應曲線。圖4進一步對比說明了4種波束形成器的干擾抑制能力,可以看出本文提出的波束形成器,除了在歸一化頻點0.28處有一個較尖銳的回升,整個通帶內的幅頻響應都保持在最低狀態(tài),因而具有最強的干擾抑制能力。這與圖3得到的SINR收斂曲線的結果一致。

圖3 SINR收斂曲線

圖4 干擾方向上波束形成器的頻率響應

3.2 運算量的仿真與分析

采用表3給定的仿真參數(shù),本節(jié)首先研究穩(wěn)定收斂狀態(tài)下SINR改善與抽頭個數(shù)之間的關系,將抽頭個數(shù)從3增加至12,觀察1 000次獨立實驗下,穩(wěn)定收斂時得到的SINR。圖5給出了4種波束形成器的SINR關于抽頭個數(shù)的變化曲線,4條曲線給出的都是1 000次獨立實驗的平均結果。

圖5 SINR隨抽頭個數(shù)增加的改善

可以看出,本文波束形成器得到的SINR和抽頭個數(shù)之間的關系曲線基本上與拉蓋爾波束形成器的結果曲線平行,平均SINR改善約為4.131 9 d B。

為了實現(xiàn)相同的SINR改善,例如期望穩(wěn)態(tài)SINR是17.805 d B時,本文波束形成器只需要3個抽頭系數(shù),拉蓋爾波束形成器需要8個抽頭系數(shù),而DUAN和傳統(tǒng)的GSC波束形成器需要的抽頭個數(shù)已經(jīng)大于12個。由此,可定性地看出本文波束形成器的運算量與GSC、DUAN和拉蓋爾波束形成器相比有所降低。

表4定量分析了實現(xiàn)17.805 d B的SINR改善時,本文涉及的4種波束形成器所需權系數(shù)的個數(shù)和單次迭代下的運算量對比。

表4 4種波束形成器單次迭代的運算量分析

4 結束語

針對現(xiàn)有含反饋支路的時域寬帶自適應波束形成器運算量大、收斂慢和干擾抑制能力受限的問題,設計一種新的波束形成器。在傳統(tǒng)GSC波束形成器的基礎上,增加一條具有固定系數(shù)的反饋支路,在保證穩(wěn)定性的前提下,降低了前向支路所需濾波器的階數(shù),增強了波束形成器的干擾抑制能力。仿真結果表明,本文波束形成器相比于DUAN和拉蓋爾波束形成器具有以下優(yōu)點:1)相同仿真條件下,本文波束形成器具有更快的收斂速度;2)本文波束形成器具有更強的干擾抑制能力。對于運算量的定量分析表明,實現(xiàn)相同的SINR改善,本文波束形成器單次迭代所需乘法和加法次數(shù)要遠小于現(xiàn)有波束形成器。表明本文設計的時域寬帶自適應波束形成器更具工程實用價值。

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