巧用特殊化方法解答幾何中考題

李小龍

一般地，當(dāng)我們拿到一個問題，經(jīng)過苦思冥想而又一籌莫展時，我們不妨“退一步”，將問題轉(zhuǎn)向特殊化.通過探尋、摸索、嘗試，解決它的一個或幾個特例，為探索解題途徑提供線索和積累經(jīng)驗(yàn)，推測一般思路，這就是特殊化的思維方法.正如美國數(shù)學(xué)教育家波利亞所說：“注意對特殊情況的觀察，能夠?qū)е乱话阈缘臄?shù)學(xué)結(jié)果，也可以啟發(fā)出一般性的證明方法.”不僅代數(shù)問題可以運(yùn)用特殊化的方法求解（通常是對字母取特殊值），實(shí)際上幾何問題也可以運(yùn)用特殊化的方法求解.如取特殊點(diǎn)、選取圖形的特殊位置.將圖形特殊化，可以起到化難為易、化繁為簡，收到事半功倍之效，彰顯了特殊化的思維方法在解答幾何問題時的魅力.

一、取特殊點(diǎn)

線段的端點(diǎn)、線段的中點(diǎn)、多邊形的頂點(diǎn)、對角線的交點(diǎn)等都是特殊點(diǎn).如果點(diǎn)的位置沒有限制，取這些特殊點(diǎn)，往往會收到意想不到的解題效果.

例1.如圖1，點(diǎn)P是矩形ABCD的邊AD上的一個動點(diǎn)，矩形的兩條邊AB、BC的長分別為3和4，那么點(diǎn)P到矩形的兩條對角線AC、BD的距離之和是（ ）

A. B.

C. D.不確定

解析：由于點(diǎn)P是邊AD上的一個動點(diǎn)，不妨取點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時的情形，此時點(diǎn)P到AC的距離為零，到BD的距離為AE.因此點(diǎn)P到矩形兩條對角線AC和BD的距離之和就等于點(diǎn)A到BD的距離AE，這個距離為Rt△ABD的斜邊BD上的高.由勾股定理不難求出BD=5.根據(jù)Rt△ABD的面積不變，得 ×3×4= ×5·AE.所以AE= .答案選A.

點(diǎn)評：本題的常規(guī)解法是利用面積法求解，即過點(diǎn)P作PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，過點(diǎn)A作AE⊥BD于E，連接PO，如圖2所示，根據(jù)S△AOP+S△DOP=S△AOD求解.另外，本題也可取點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時的情形，與點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時的情形具有異曲同工之效果.

二、取特殊圖形

特殊圖形有很多特殊的性質(zhì)，方便使用.對于一般圖形，在不改變原問題答案的基礎(chǔ)上，可以將一般圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形，這樣便于利用特殊圖形的性質(zhì)，降低解答難度，從而快速求解.

例2.如圖3所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中點(diǎn)，EF⊥AD于點(diǎn)F，AD=4、EF=5.則梯形ABCD的面積是（ ）

A.40 B.30 C.20 D.10

解析：取梯形ABCD為直角梯形，如圖4.此時AB∥CD∥EF.由E是BC的中點(diǎn)易知EF是梯形ABCD的中位線.所以梯形ABCD的面積S=EF·AD=5×4=20.

點(diǎn)評：由于已知條件中有“EF⊥AD”，所以我們想到取梯形ABCD為直角梯形.本例如果不用“特殊圖形法”，需要作輔助線，如圖5和圖6，過程留給讀者完成.

例3.如圖7，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在BC上，四邊形EFGB也是正方形，以點(diǎn)B為圓心、BA長為半徑畫弧AC，連結(jié)AF，CF，則圖中陰影部分面積為_________.

解析：點(diǎn)E在BC上，不妨取點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時的情形，且設(shè)AF交BC于點(diǎn)M，如圖8所示.易證△ABM≌△FCM.

∴S△ABM=S△FCM.

∴S陰影=S扇形ABC= =4π.

評析：本例若按常規(guī)方法，可設(shè)正方形EFGB的邊長為a，利用代數(shù)方法解答；也可連結(jié)AC、BF，利用幾何方法解答.

三、選取圖形的特殊位置

平移、對稱、旋轉(zhuǎn)是常用的幾何中變換手段.可以運(yùn)用這些變換手段，將圖形置于比較特殊的位置，便于利用圖形的性質(zhì)解決問題.

例4.如圖9，三個邊長均為2的正方形重疊在一起，O1、O2是其中兩個正方形的中心，則陰影部分的面積是______.

解析：觀察圖形易知O1、O2分別是左邊和中間正方形的中心.將中間正方形繞點(diǎn)O1逆時針旋轉(zhuǎn)，使左邊和中間兩個正方形的對邊互相平行或垂直（如圖10），此時陰影部分面積等于其中一個正方形面積的 .同理可得右邊陰影部分的面積也等于其中一個正方形面積的 .所以陰影部分的面積S= ×22×2=2.

點(diǎn)評：將其中一個正方形繞另一個正方形的中心旋轉(zhuǎn)到特殊位置時，陰影部分的面積與正方形的面積之間的關(guān)系立刻顯現(xiàn)，彰顯了圖形變換的魅力.

例5.如圖11，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點(diǎn).則AD： BE的值為（ ）

A. ：1 B. ：1 C.5：3 D.不確定

解析：取BC⊥EF，由O為BC中點(diǎn)知BC垂直平分EF.由△DEF為等邊三角形知點(diǎn)D必然在BC上.再取點(diǎn)D與C重合，如圖12.在Rt△BOE中，∠BEO=60°，設(shè)OE=1，則BE=2、BO= .所以AD=BC=2 .所以AD： BE=2 ：2= ：1，答案選A.

點(diǎn)評：本題若按常規(guī)方法，需要連結(jié)DO、AO.然后利用相似三角形的知識解決，難度較大.利用“特殊圖形法”，大大降低了解答難度.

（作者單位：甘肅省渭源縣龍亭中學(xué)）endprint

一般地，當(dāng)我們拿到一個問題，經(jīng)過苦思冥想而又一籌莫展時，我們不妨“退一步”，將問題轉(zhuǎn)向特殊化.通過探尋、摸索、嘗試，解決它的一個或幾個特例，為探索解題途徑提供線索和積累經(jīng)驗(yàn)，推測一般思路，這就是特殊化的思維方法.正如美國數(shù)學(xué)教育家波利亞所說：“注意對特殊情況的觀察，能夠?qū)е乱话阈缘臄?shù)學(xué)結(jié)果，也可以啟發(fā)出一般性的證明方法.”不僅代數(shù)問題可以運(yùn)用特殊化的方法求解（通常是對字母取特殊值），實(shí)際上幾何問題也可以運(yùn)用特殊化的方法求解.如取特殊點(diǎn)、選取圖形的特殊位置.將圖形特殊化，可以起到化難為易、化繁為簡，收到事半功倍之效，彰顯了特殊化的思維方法在解答幾何問題時的魅力.

一、取特殊點(diǎn)

線段的端點(diǎn)、線段的中點(diǎn)、多邊形的頂點(diǎn)、對角線的交點(diǎn)等都是特殊點(diǎn).如果點(diǎn)的位置沒有限制，取這些特殊點(diǎn)，往往會收到意想不到的解題效果.

例1.如圖1，點(diǎn)P是矩形ABCD的邊AD上的一個動點(diǎn)，矩形的兩條邊AB、BC的長分別為3和4，那么點(diǎn)P到矩形的兩條對角線AC、BD的距離之和是（ ）

A. B.

C. D.不確定

解析：由于點(diǎn)P是邊AD上的一個動點(diǎn)，不妨取點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時的情形，此時點(diǎn)P到AC的距離為零，到BD的距離為AE.因此點(diǎn)P到矩形兩條對角線AC和BD的距離之和就等于點(diǎn)A到BD的距離AE，這個距離為Rt△ABD的斜邊BD上的高.由勾股定理不難求出BD=5.根據(jù)Rt△ABD的面積不變，得 ×3×4= ×5·AE.所以AE= .答案選A.

點(diǎn)評：本題的常規(guī)解法是利用面積法求解，即過點(diǎn)P作PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，過點(diǎn)A作AE⊥BD于E，連接PO，如圖2所示，根據(jù)S△AOP+S△DOP=S△AOD求解.另外，本題也可取點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時的情形，與點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時的情形具有異曲同工之效果.

二、取特殊圖形

特殊圖形有很多特殊的性質(zhì)，方便使用.對于一般圖形，在不改變原問題答案的基礎(chǔ)上，可以將一般圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形，這樣便于利用特殊圖形的性質(zhì)，降低解答難度，從而快速求解.

例2.如圖3所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中點(diǎn)，EF⊥AD于點(diǎn)F，AD=4、EF=5.則梯形ABCD的面積是（ ）

A.40 B.30 C.20 D.10

解析：取梯形ABCD為直角梯形，如圖4.此時AB∥CD∥EF.由E是BC的中點(diǎn)易知EF是梯形ABCD的中位線.所以梯形ABCD的面積S=EF·AD=5×4=20.

點(diǎn)評：由于已知條件中有“EF⊥AD”，所以我們想到取梯形ABCD為直角梯形.本例如果不用“特殊圖形法”，需要作輔助線，如圖5和圖6，過程留給讀者完成.

例3.如圖7，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在BC上，四邊形EFGB也是正方形，以點(diǎn)B為圓心、BA長為半徑畫弧AC，連結(jié)AF，CF，則圖中陰影部分面積為_________.

解析：點(diǎn)E在BC上，不妨取點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時的情形，且設(shè)AF交BC于點(diǎn)M，如圖8所示.易證△ABM≌△FCM.

∴S△ABM=S△FCM.

∴S陰影=S扇形ABC= =4π.

評析：本例若按常規(guī)方法，可設(shè)正方形EFGB的邊長為a，利用代數(shù)方法解答；也可連結(jié)AC、BF，利用幾何方法解答.

三、選取圖形的特殊位置

平移、對稱、旋轉(zhuǎn)是常用的幾何中變換手段.可以運(yùn)用這些變換手段，將圖形置于比較特殊的位置，便于利用圖形的性質(zhì)解決問題.

例4.如圖9，三個邊長均為2的正方形重疊在一起，O1、O2是其中兩個正方形的中心，則陰影部分的面積是______.

解析：觀察圖形易知O1、O2分別是左邊和中間正方形的中心.將中間正方形繞點(diǎn)O1逆時針旋轉(zhuǎn)，使左邊和中間兩個正方形的對邊互相平行或垂直（如圖10），此時陰影部分面積等于其中一個正方形面積的 .同理可得右邊陰影部分的面積也等于其中一個正方形面積的 .所以陰影部分的面積S= ×22×2=2.

點(diǎn)評：將其中一個正方形繞另一個正方形的中心旋轉(zhuǎn)到特殊位置時，陰影部分的面積與正方形的面積之間的關(guān)系立刻顯現(xiàn)，彰顯了圖形變換的魅力.

例5.如圖11，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點(diǎn).則AD： BE的值為（ ）

A. ：1 B. ：1 C.5：3 D.不確定

解析：取BC⊥EF，由O為BC中點(diǎn)知BC垂直平分EF.由△DEF為等邊三角形知點(diǎn)D必然在BC上.再取點(diǎn)D與C重合，如圖12.在Rt△BOE中，∠BEO=60°，設(shè)OE=1，則BE=2、BO= .所以AD=BC=2 .所以AD： BE=2 ：2= ：1，答案選A.

點(diǎn)評：本題若按常規(guī)方法，需要連結(jié)DO、AO.然后利用相似三角形的知識解決，難度較大.利用“特殊圖形法”，大大降低了解答難度.

（作者單位：甘肅省渭源縣龍亭中學(xué)）endprint

一般地，當(dāng)我們拿到一個問題，經(jīng)過苦思冥想而又一籌莫展時，我們不妨“退一步”，將問題轉(zhuǎn)向特殊化.通過探尋、摸索、嘗試，解決它的一個或幾個特例，為探索解題途徑提供線索和積累經(jīng)驗(yàn)，推測一般思路，這就是特殊化的思維方法.正如美國數(shù)學(xué)教育家波利亞所說：“注意對特殊情況的觀察，能夠?qū)е乱话阈缘臄?shù)學(xué)結(jié)果，也可以啟發(fā)出一般性的證明方法.”不僅代數(shù)問題可以運(yùn)用特殊化的方法求解（通常是對字母取特殊值），實(shí)際上幾何問題也可以運(yùn)用特殊化的方法求解.如取特殊點(diǎn)、選取圖形的特殊位置.將圖形特殊化，可以起到化難為易、化繁為簡，收到事半功倍之效，彰顯了特殊化的思維方法在解答幾何問題時的魅力.

一、取特殊點(diǎn)

線段的端點(diǎn)、線段的中點(diǎn)、多邊形的頂點(diǎn)、對角線的交點(diǎn)等都是特殊點(diǎn).如果點(diǎn)的位置沒有限制，取這些特殊點(diǎn)，往往會收到意想不到的解題效果.

例1.如圖1，點(diǎn)P是矩形ABCD的邊AD上的一個動點(diǎn)，矩形的兩條邊AB、BC的長分別為3和4，那么點(diǎn)P到矩形的兩條對角線AC、BD的距離之和是（ ）

A. B.

C. D.不確定

解析：由于點(diǎn)P是邊AD上的一個動點(diǎn)，不妨取點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時的情形，此時點(diǎn)P到AC的距離為零，到BD的距離為AE.因此點(diǎn)P到矩形兩條對角線AC和BD的距離之和就等于點(diǎn)A到BD的距離AE，這個距離為Rt△ABD的斜邊BD上的高.由勾股定理不難求出BD=5.根據(jù)Rt△ABD的面積不變，得 ×3×4= ×5·AE.所以AE= .答案選A.

點(diǎn)評：本題的常規(guī)解法是利用面積法求解，即過點(diǎn)P作PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，過點(diǎn)A作AE⊥BD于E，連接PO，如圖2所示，根據(jù)S△AOP+S△DOP=S△AOD求解.另外，本題也可取點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時的情形，與點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時的情形具有異曲同工之效果.

二、取特殊圖形

特殊圖形有很多特殊的性質(zhì)，方便使用.對于一般圖形，在不改變原問題答案的基礎(chǔ)上，可以將一般圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形，這樣便于利用特殊圖形的性質(zhì)，降低解答難度，從而快速求解.

例2.如圖3所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中點(diǎn)，EF⊥AD于點(diǎn)F，AD=4、EF=5.則梯形ABCD的面積是（ ）

A.40 B.30 C.20 D.10

解析：取梯形ABCD為直角梯形，如圖4.此時AB∥CD∥EF.由E是BC的中點(diǎn)易知EF是梯形ABCD的中位線.所以梯形ABCD的面積S=EF·AD=5×4=20.

點(diǎn)評：由于已知條件中有“EF⊥AD”，所以我們想到取梯形ABCD為直角梯形.本例如果不用“特殊圖形法”，需要作輔助線，如圖5和圖6，過程留給讀者完成.

例3.如圖7，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在BC上，四邊形EFGB也是正方形，以點(diǎn)B為圓心、BA長為半徑畫弧AC，連結(jié)AF，CF，則圖中陰影部分面積為_________.

解析：點(diǎn)E在BC上，不妨取點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時的情形，且設(shè)AF交BC于點(diǎn)M，如圖8所示.易證△ABM≌△FCM.

∴S△ABM=S△FCM.

∴S陰影=S扇形ABC= =4π.

評析：本例若按常規(guī)方法，可設(shè)正方形EFGB的邊長為a，利用代數(shù)方法解答；也可連結(jié)AC、BF，利用幾何方法解答.

三、選取圖形的特殊位置

平移、對稱、旋轉(zhuǎn)是常用的幾何中變換手段.可以運(yùn)用這些變換手段，將圖形置于比較特殊的位置，便于利用圖形的性質(zhì)解決問題.

例4.如圖9，三個邊長均為2的正方形重疊在一起，O1、O2是其中兩個正方形的中心，則陰影部分的面積是______.

解析：觀察圖形易知O1、O2分別是左邊和中間正方形的中心.將中間正方形繞點(diǎn)O1逆時針旋轉(zhuǎn)，使左邊和中間兩個正方形的對邊互相平行或垂直（如圖10），此時陰影部分面積等于其中一個正方形面積的 .同理可得右邊陰影部分的面積也等于其中一個正方形面積的 .所以陰影部分的面積S= ×22×2=2.

點(diǎn)評：將其中一個正方形繞另一個正方形的中心旋轉(zhuǎn)到特殊位置時，陰影部分的面積與正方形的面積之間的關(guān)系立刻顯現(xiàn)，彰顯了圖形變換的魅力.

例5.如圖11，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點(diǎn).則AD： BE的值為（ ）

A. ：1 B. ：1 C.5：3 D.不確定

解析：取BC⊥EF，由O為BC中點(diǎn)知BC垂直平分EF.由△DEF為等邊三角形知點(diǎn)D必然在BC上.再取點(diǎn)D與C重合，如圖12.在Rt△BOE中，∠BEO=60°，設(shè)OE=1，則BE=2、BO= .所以AD=BC=2 .所以AD： BE=2 ：2= ：1，答案選A.

點(diǎn)評：本題若按常規(guī)方法，需要連結(jié)DO、AO.然后利用相似三角形的知識解決，難度較大.利用“特殊圖形法”，大大降低了解答難度.

（作者單位：甘肅省渭源縣龍亭中學(xué)）endprint