常見解題數(shù)學思想策略在初中數(shù)學解題中的應用探析

崔益鳳

教是為了不教.數(shù)學解題思想策略是教師落實“教是為了不教”要求的重要內(nèi)容之一.新課改強調(diào)，學習主體要領悟并運用解決問題方法策略進行高效、深入的運用和實踐.筆者對當前初中數(shù)學階段解題思想策略進行了梳理匯總，發(fā)現(xiàn)經(jīng)常運用的數(shù)學解題思想策略為數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化、函數(shù)、方程等.下面主要論述常見解題數(shù)學思想策略在初中數(shù)學解題中的應用.

一、數(shù)形結(jié)合解題思想策略在問題教學中的運用

數(shù)學問題案例通過精確性的數(shù)學語言進行展示，借助形象性的圖形符號進行補充.數(shù)形結(jié)合解題思想就是運用數(shù)學學科所具有的精確性和直觀性等特點，通過以數(shù)補形，以形補數(shù)，實現(xiàn)問題案例的有效解答.

問題1：如圖所示，四邊形ABCD是梯形，其中AD∥BC，已知AD、BC的長度分別為a、b（a

點評：上述問題解答過程中，僅通過對問題條件內(nèi)容的分析，解決問題較困難，需要借助于所提供的平面圖形符號，通過數(shù)形結(jié)合的解題思想策略，找尋問題解答的切入點.通過分析，可以發(fā)現(xiàn)，要求出相關(guān)數(shù)據(jù)，需要進行圖形構(gòu)建，延長BA、CD相交于點O，利用三角形相似及列方程的形式，從而求出所需要求的數(shù)值.

問題2：如圖所示，在△ABC中，∠BCA=90°，EF⊥AB于點F，CD⊥AB于點D，∠BEF=∠CDG，BF=DG，如果BC=12，AD=5，求CE的長度.

分析：如果知道BE的長度，問題解答就可以變得輕松簡單，通過對問題條件及圖形符號的分析可以發(fā)現(xiàn)，要求BE的長度，通過條件可以知道，應該借助于直角三角形的全等的判定定理，得到Rt△BEF≌Rt△DAG，這可以求得AD=BE=5，從而求出CE的長度.

評注：解答求證此類圖形符號類的問題案例時，應在充分掌握問題條件內(nèi)容基礎上，根據(jù)所提供的圖形符號，進行認真觀察分析，找尋問題條件揭示的條件及隱含的等量關(guān)系進行解答.

二、分類討論解題思想策略在問題教學中的運用

分類討論解題思想策略，對學習對象思維嚴密性、縝密性特性培養(yǎng)具有促進和提升作用.學習對象在問題解答過程中，對出現(xiàn)多個結(jié)果時，應根據(jù)問題要求分別甄別和判斷，選定最精當、最適宜的條件內(nèi)容.

問題3：有一個半徑為r的圓上有點A，B，C等三個點，已知直線AD⊥直線BC，垂足為點D，直線BE⊥直線AC，垂足為點E，同時直線AD與直線BE解析：通過問題條件內(nèi)容的分析，在作出如圖1，2圖形基礎上，觀察發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)∠ABC處在圓中的位置各不相同，有兩種不同情況.要求∠ABC所對的弧長時，就需要根據(jù)不同情況進行分類討論.根據(jù)同角的余角相等求出∠H=∠C，再根據(jù)兩角對應相等，兩三角形相似求出△ACD和△BHD的2倍求出∠ABC所對的弧長所對的圓心角，然后利用弧長公式列式計算即可得解.

圖1 圖2

評注：本題考查了弧長的計算，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，求解時需要根據(jù)∠ABC的不同情況進行討論，解答中判斷出相似三角形是解題的關(guān)鍵.

三、轉(zhuǎn)化解題思想策略在問題教學中的運用

在初中數(shù)學問題教學活動中，轉(zhuǎn)化解題思想策略運用相對較廣泛，其運用的前提，就是要準找知識點之間的深刻聯(lián)系，通過某一“載體”或條件，進行有效轉(zhuǎn)換，使問題由復雜變?yōu)楹唵危煞爆嵶優(yōu)楹喴?，實現(xiàn)問題有效解答.

問題4：如圖所示，小明要從A地到B地游玩，需要經(jīng)過公路的C地，已知圖中AC的長度為10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，現(xiàn)在由于道路改造原因，準備在A點和B點之間之間修一條筆直的公路.（1）試求出改直的公路AB的長度；（2）那么小明走經(jīng)過改直后的公路比原來的路線縮短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

分析：將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，是數(shù)學問題案例解答中經(jīng)常使用的一種方法.通過問題條件可以知道，要求改直的公路AB的長度，需要進行構(gòu)造法，作CH⊥AB于H.此時在Rt△ACH中，結(jié)合三角函數(shù)內(nèi)容，求得CH，AH，在Rt△BCH中，求得BH，再根據(jù)AB=AH+BH，即可求解；第二小題要求出縮短的距離，可以根據(jù)Rt△BCH三角函數(shù)求得BC的長度，再根據(jù)AC+BC﹣AB列式計算，從而求得少走的距離.

點評：此題考查了解直角三角形的應用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運算，關(guān)鍵把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題加以計算.

四、方程解題思想策略在問題教學中的運用

方程解題思想策略，就是針對數(shù)學問題案例，特別是當出現(xiàn)問題案例中出現(xiàn)已知量與未知量之間具有錯綜復雜的關(guān)系前提下，借助于列方程或方程組的方式，構(gòu)建有關(guān)的方程，通過運用解方程的形式解答問題.

分析：上述問題案例解題時需要運用二次函數(shù)圖像上點的坐標特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識內(nèi)容，解題時可以根據(jù)點C的位置分情況確定出對稱軸解析式，然后設出拋物線解析式，構(gòu)建方程組，再將點A、B的坐標代入求解即可.

點評：本題考查了二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，難點在于分情況確定出對稱軸解析式并討論求解.

需要注意的是，在實際運用過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)幾個解題思想策略同時運用的情況，學生要根據(jù)問題條件及解題要求進行有效運用，深入實踐.