理想氣體狀態(tài)方程應(yīng)用的難點(diǎn)突破

陳國(guó)鈞

(南通科技職業(yè)學(xué)院，江蘇 南通 226007)

氣體狀態(tài)方程是中學(xué)或普通物理教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，公式表達(dá)形式雖然不復(fù)雜，但其用來解決的具體問題靈活性較大，且種類繁多。在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生對(duì)正確應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程解題感到無所適從，不能舉一反三，往往重復(fù)出現(xiàn)同樣的錯(cuò)誤?，F(xiàn)在就如何突破這一教學(xué)難點(diǎn)，談?wù)劰P者的做法，以饗讀者。

1 幫助學(xué)生建立應(yīng)用氣態(tài)方程解題的總體思路

思考物理問題，首先有一個(gè)正確分析問題的思路，善于捕捉共性特點(diǎn)，區(qū)分個(gè)性特點(diǎn)。因此，課堂上筆者在通過兩道基本例題的分析后，引導(dǎo)學(xué)生歸納出應(yīng)用氣態(tài)方程解題的總體思路:

(1)了解物理過程，明確研究對(duì)象，注意研究對(duì)象有時(shí)不止一個(gè)，并分清熱學(xué)研究對(duì)象和力學(xué)研究對(duì)象。

(2)確定同一研究對(duì)象的始末狀態(tài)參量，對(duì)于多個(gè)研究對(duì)象的問題，應(yīng)注意分別確定每個(gè)對(duì)象的始末態(tài)以及對(duì)應(yīng)的參量，防止張冠李戴。

(3)列出氣態(tài)方程求解，注意統(tǒng)一單位，尤其壓強(qiáng)單位，溫度要用熱力學(xué)溫標(biāo)。

(4)解題時(shí)，注意相關(guān)條件和隱含條件，列出輔助方程。(5)善用整體思想分析問題。

2 通過對(duì)氣體壓強(qiáng)計(jì)算的單獨(dú)處理，分散解題難點(diǎn)

學(xué)生解氣態(tài)方程計(jì)算題時(shí)，錯(cuò)誤率最高的就是不能將熱學(xué)研究對(duì)象初末狀態(tài)壓強(qiáng)的表達(dá)式正確寫出來。為了解決這個(gè)問題，采取將壓強(qiáng)問題作為一個(gè)專題進(jìn)行教學(xué)，以達(dá)到分散難點(diǎn)、突出重點(diǎn)，使學(xué)生在“強(qiáng)刺激”環(huán)境中突破難點(diǎn)。專題主要談兩個(gè)問題:一是壓強(qiáng)單位如何統(tǒng)一，二是怎樣確定壓強(qiáng)表達(dá)式。具體如下:

2．1 壓強(qiáng)單位如何統(tǒng)一

我們常見的壓強(qiáng)單位有帕斯卡、大氣壓、厘米高水銀柱等。一般學(xué)生對(duì)帕斯卡與大氣壓的互換，厘米高水銀柱與帕的互換是不會(huì)感到困難的，有難度的是在牛頓第二定律表達(dá)式中怎樣統(tǒng)一單位。

例1:在一個(gè)開口向上豎直放置的試管中，有一段長(zhǎng)為H厘米的水銀柱，下面封閉著長(zhǎng)為L(zhǎng) 的空氣柱(如圖1)。設(shè)外界大氣壓為P0，求試管以g/2 加速度下落時(shí)，空氣柱長(zhǎng)度變?yōu)槎嗌?

此題在寫末態(tài)氣體壓強(qiáng)時(shí)，由圖1(2)對(duì)水銀應(yīng)用牛頓第二定律得:

(1)式中P0、P 往往是cmHg為單位，如將cmHg 換算為帕比較麻煩。為此，我們可對(duì)(1)式進(jìn)行恒等變換，總結(jié)出一般方法:將方程兩邊同除S 得

2．2 壓強(qiáng)表達(dá)式的正確表述

綜觀氣體壓強(qiáng)的計(jì)算可分為兩大類:一是被研究對(duì)象處于平衡狀態(tài)，二是研究對(duì)象處在加速系統(tǒng)中。

2．2．1 被研究對(duì)象處在平衡系統(tǒng)中

在教學(xué)中，分別對(duì)液柱封閉氣體、活塞封閉氣體情況下的壓強(qiáng)計(jì)算，通過例題分析歸納可得基本方法:在平衡系統(tǒng)中應(yīng)對(duì)力學(xué)對(duì)象進(jìn)行受力分析，不能忽視大氣壓，然后由平衡條件來求解。

對(duì)液柱封閉氣體的壓強(qiáng)求解是最常見的題型，它可采用同一形式的公式為液柱與外界接觸一方的氣壓，h 表示水銀柱的豎直高度。

求活塞封閉氣體情況下的壓強(qiáng)也是常見的題型，如:

例2:如圖2 內(nèi)壁光滑的氣缸內(nèi)放有氣密性好的兩活塞A、B，已知A、B 質(zhì)量分別為mA、mB，橫截面積為SA、SB，且A、B 之間用細(xì)線連接并封閉著一定質(zhì)量的氣體，在大氣壓強(qiáng)的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，則此時(shí)封閉氣體壓強(qiáng)應(yīng)為多大?(設(shè)外界大氣壓強(qiáng)為P0)

分析:該題屬于力學(xué)研究對(duì)象處于平衡系統(tǒng)，故對(duì)活塞受力分析，如圖3 所示。

由力學(xué)平衡條件得:P0SA+ mAg + mBg + PSB= P0SB+PSA

2．2．2 被研究對(duì)象處在加速系統(tǒng)中

此類問題在上述平衡系統(tǒng)中拓寬一下就可得求解路子:對(duì)力學(xué)對(duì)象進(jìn)行受力分析后，用牛頓第二定律來求解即可。

例3:一端封閉的玻璃管，在封閉端有被長(zhǎng)10cm 的水銀柱封閉著的空氣柱，當(dāng)此玻璃管從斜面上滑下時(shí)，空氣柱的壓強(qiáng)多大?如圖4 所示。(已知大氣壓強(qiáng)P 為75cmHg，玻璃管與斜面間的摩擦系數(shù)。

分析:對(duì)水銀受力分析，受力圖如圖5 所示，由牛頓第二定律得:)

又將水銀和試管作為整體由牛頓第二定律得:

忽略試管質(zhì)量，解(1)和(2)得:

如壓強(qiáng)單位為cmHg，則由壓強(qiáng)單位換算方法可將(3)式寫為:

3 對(duì)題型作系統(tǒng)分類，找出每類的共同特征，明確解題方法

學(xué)生對(duì)氣態(tài)方程習(xí)題往往感到多而雜，心中一本糊涂賬。因此，在教學(xué)中注重題型分類，幫助學(xué)生找出對(duì)應(yīng)的解題方法，能起到事半功倍的效果。筆者將題型分為:單個(gè)熱學(xué)研究對(duì)象、氣體連接體問題、變質(zhì)量問題、氣體定律與能的轉(zhuǎn)化和守恒定律的綜合應(yīng)用等四個(gè)方面。

3．1 單個(gè)熱學(xué)研究對(duì)象

所謂單個(gè)熱學(xué)研究對(duì)象，就是氣體系統(tǒng)只有一個(gè)，這種題型的問題是最基本的，但不一定簡(jiǎn)單。關(guān)鍵是壓強(qiáng)計(jì)算，而這一點(diǎn)我們已通過專題解決了。所以這類問題在這里便不難了。典型模型有水銀柱、彈簧管、活塞問題。

如涉及到臨界狀態(tài)，則可先求出恰在臨界狀態(tài)的情況下的有關(guān)物理量，再與實(shí)際情況進(jìn)行比較而得出氣體所處的狀態(tài)，再根據(jù)狀態(tài)方程求解。

例4:如圖6 所示，一端封閉的玻璃管長(zhǎng)1m，內(nèi)貯空氣，氣柱上面有一段高h(yuǎn)=20cm 的水銀柱，將空氣封住，空氣柱長(zhǎng)49cm。若將玻璃管倒轉(zhuǎn)至管口豎直向下，如果大氣壓等于76cmHg，求此時(shí)空氣柱長(zhǎng)度(全過程中溫度不變)。

此題中試管倒過來，管中水銀可能掉下來，也可能水銀不掉下來。這就要先求一下水銀恰不掉下時(shí)試管長(zhǎng)度，然后將這個(gè)長(zhǎng)度與實(shí)際長(zhǎng)度比較一下，就不難得出結(jié)論。

3．2 氣體連接體問題

所謂氣體連接體問題，就是由兩個(gè)(或兩個(gè)以上)氣體組成的系統(tǒng)。它們之間不是弧立的，而是有聯(lián)系的。解此類問題的一般思路是:(1)隔離法逐個(gè)研究熱學(xué)對(duì)象;(2)確定力學(xué)對(duì)象，寫出壓強(qiáng)表達(dá)式;(3)建立輔助方程。從三個(gè)方面著手:一是幾何約束關(guān)系(體積)，二是熱學(xué)的聯(lián)系(溫度)，三是力學(xué)約束關(guān)系(壓強(qiáng))。最后綜合聯(lián)立方程求解。

例5:兩個(gè)相同的氣缸活塞，用剛性連桿連接著，如圖7所示。當(dāng)溫度為T 時(shí)，在這兩個(gè)氣缸內(nèi)充以質(zhì)量相等的空氣，之后把其中一個(gè)氣缸加熱到T1，而另一氣缸保持原來溫度T 不變。若不計(jì)活塞和連桿的重力，大氣壓為P0，求氣缸中的壓強(qiáng)分別為多少?

分析:首先分別對(duì)1 和2 氣體寫出狀態(tài)方程

然后找出約束方程分別為

綜合(1)(2)(3)(4)就可解得結(jié)果。

3．3 變質(zhì)量問題

所謂變質(zhì)量問題，就是各個(gè)氣體系統(tǒng)在狀態(tài)變化過程中，質(zhì)量發(fā)生宏觀遷移而重新分布，對(duì)每個(gè)氣體研究對(duì)象來說都是變質(zhì)量系統(tǒng)。此類問題一般方法有二種:一是克拉珀龍方程或道爾頓分壓原理，二是虛擬法或無形彈性袋模型法。但第一種方法教材未涉及，故我們宜采用虛擬法，培養(yǎng)學(xué)生的空間形象思維能力。其方法:通過對(duì)整個(gè)狀態(tài)過程的分析，虛擬一些簡(jiǎn)單的物理過程及狀態(tài)參量，化變質(zhì)量為不變質(zhì)量，達(dá)到能運(yùn)用氣態(tài)方程的目的。

例6:某地與外界相通的教室，室溫從27℃升高到42℃的過程中，剩余氣體的質(zhì)量占原來室內(nèi)氣體質(zhì)量的百分比多大?

此問題可虛擬一個(gè)“無形”彈性袋將漏出氣體全部收集起來，并利用此氣袋的容積變化，將袋中氣體變成與最終氣體同溫同壓，如圖8。這樣以原來全部氣體為研究對(duì)象，就不難求出所求量。

3．4 氣體定律與能的轉(zhuǎn)化和守恒定律的綜合應(yīng)用

氣體的狀態(tài)變化一般會(huì)伴隨能量的變化，因此，氣體狀態(tài)變化過程中除了受到氣體定律制約，還必須遵循能的轉(zhuǎn)化和守恒定律。像這樣有關(guān)氣體定律與能的轉(zhuǎn)化和守恒定律的綜合題，其一般思路是:確定狀態(tài)變化過程的特征，由溫度變化判斷內(nèi)能的變化，由體積變化判定做功情況，列出能的轉(zhuǎn)化方程，最后與氣態(tài)方程聯(lián)立求解。

例7:如圖9，質(zhì)量為m=2kg 的氣缸中有一截面積為S=10cm2的可在氣缸內(nèi)無摩擦移動(dòng)的活塞，活塞的質(zhì)量M=3kg，一根繩子系住活塞，將活塞和氣缸一起吊起來處于平衡狀態(tài)，這里活塞與氣缸底相距h=10cm，大氣壓強(qiáng)為105Pa，取g=10 m/S2，當(dāng)在汽缸下面的鉤子上掛m' =3kg 重物后，氣缸與重物組成的系統(tǒng)重新達(dá)到平衡位置時(shí)的動(dòng)能為0．76焦。求這一過程中氣缸內(nèi)氣體做功W汽是多少?設(shè)氣缸的底面積等于活塞的面積，實(shí)驗(yàn)過程中溫度保持不變。

分析:此題中的封閉氣體作等溫變化，氣體膨脹對(duì)外做功，將氣缸與重物組成的系統(tǒng)作為力學(xué)研究對(duì)象，由動(dòng)能定理得:

解(2)(3)(4)可得Δh=0．06m，代入(1)式可得氣體做功W汽=3．76焦。

教學(xué)實(shí)踐表明，通過以上教學(xué)過程的處理，能收到比較好的教學(xué)效果。

［1］聶品．理想氣體狀態(tài)方程的導(dǎo)出公式及其應(yīng)用［J］．曲阜師院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1981，(3) :54—57．

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