小波分析在圖像降噪中的應(yīng)用

徐 健，陳士豪

（西安工程大學(xué) 電子信息學(xué)院，陜西 西安 710048）

圖像是人們通過(guò)感知器官獲取信息的主要載體之一。但是在實(shí)際的產(chǎn)生、傳輸和存儲(chǔ)的過(guò)程中都不可避免的會(huì)遭到噪聲等各種因素的影響，而這些因素會(huì)給圖像的分割、識(shí)別等處理過(guò)程帶來(lái)不必要的影響。圖像降噪可以在空間域內(nèi)進(jìn)行，也可以在變換域內(nèi)進(jìn)行。不管怎樣降噪，它們都是以噪聲和信號(hào)在頻域上的不同分布規(guī)則為依據(jù)。一般來(lái)說(shuō)，有用信號(hào)是主要分布在低頻區(qū)域的，而噪聲則是大多分布在高頻區(qū)域的，然而由于圖像的細(xì)節(jié)也是分布在高頻區(qū)域的，所以如何在減少圖像噪聲的同時(shí)盡量保留圖像的細(xì)節(jié)的問(wèn)題便成為了圖像降噪技術(shù)的主要研究目標(biāo)[1]。

最近幾十年伴隨著小波變換在信號(hào)處理中的不斷深入研究，小波分析已經(jīng)成為信號(hào)處理的有力工具，并被引入圖像處理領(lǐng)域處理降噪問(wèn)題。正是由于其具有良好的時(shí)頻局部化特征，可以成功地去除信號(hào)中局部高頻化噪聲干擾。利用小波變換的數(shù)據(jù)壓縮特性，可以有效地消除高斯白噪聲（通常情況下，噪聲都是選用高斯白噪聲）。

1 傳統(tǒng)的降噪方法

傳統(tǒng)的圖像降噪主要有兩大類：一種是基于空間域的處理方法，另一種是基于頻域的處理方法[3]?？沼騼?nèi)主要是在原圖像上直接進(jìn)行數(shù)據(jù)運(yùn)算，對(duì)像素的灰度值進(jìn)行處理。變換域算法是對(duì)變換后的系數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的處理，然后進(jìn)行反變換從而達(dá)到圖像降噪的目的。傳統(tǒng)的圖像降噪多是在空域?qū)崿F(xiàn)的。空域圖像降噪算法主要分為線性方法與非線性方法兩大類，線性方法具有比較完備的理論基礎(chǔ)，其中最有代表性的就是均值濾波。接下來(lái)就以均值濾波為例進(jìn)行詳細(xì)介紹。

均值濾波的原理是：對(duì)于給定的一幅圖像 f（x，y），圖像中的每一個(gè)像素點(diǎn)（x，y），降噪后的圖像 g（x，y），降噪后的圖像中的每一個(gè)像素的灰度級(jí)由包含（x，y）鄰域的幾個(gè)像素的灰度級(jí)的平均值所決定。也就是說(shuō)，用某一像素鄰域內(nèi)各像素的灰度平均值來(lái)代替該像素原來(lái)的灰度值，所用的公式如下所示：

公式中的 x，y=0，1，2……，N-1；w 是以點(diǎn)（x，y）為中心的鄰域的集合，M是w內(nèi)坐標(biāo)的總數(shù)。圖像鄰域平均法的處理效果與所用的鄰域半徑有關(guān)系，半徑越大，圖像的模糊程度也越大。此外，圖像鄰域平均法算法簡(jiǎn)單，計(jì)算速度快，但它的主要缺點(diǎn)是在降低噪聲的同時(shí)使圖像產(chǎn)生模糊，特別在邊緣和細(xì)節(jié)處，鄰域越大，模糊越厲害。

從實(shí)現(xiàn)難易程度上看，線性平滑濾波器比較容易實(shí)現(xiàn)，在信號(hào)頻譜和噪聲頻譜具有顯著不同特征時(shí)，表現(xiàn)出較好的性能。然而，在實(shí)際的圖像處理過(guò)程中，線性濾波器也不能完全去除脈沖噪聲。因此在許多應(yīng)用場(chǎng)合，選用中值濾波來(lái)解決這些問(wèn)題。

2 小波降噪

近年來(lái)，小波分析理論得到了非常迅速的發(fā)展，由于其具備良好的時(shí)頻特性和多分辨率特性，小波分析理論成功在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)在小波分析理論已經(jīng)滲透到自然科學(xué)、應(yīng)用科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域[2]。小波降噪實(shí)際上是尋找從實(shí)際信號(hào)空間到小波函數(shù)空間的最佳映射，從而得到原信號(hào)的最佳恢復(fù)。小波降噪是一個(gè)信號(hào)濾波的問(wèn)題，而且盡管在很大程度上小波降噪可以看成是低通濾波，但是由于在降噪后，還能成功地保留圖像特征，所以在這一點(diǎn)上優(yōu)于傳統(tǒng)的低通濾波器。由此可見(jiàn)，小波降噪實(shí)際上是特征提取和低通濾波功能的綜合，其原理框圖如下：

圖1 小波分解原理圖Fig.1 The principle diagram of the wavelet decomposition

由上圖可知，尋求基于小波變換的降噪噪聲最佳方法的過(guò)程，實(shí)際上也是尋求最佳的小波變換系數(shù)處理方法的過(guò)程。

小波分析用于降噪的過(guò)程，可以細(xì)分為如下幾段：

1）分解過(guò)程。首先選擇合適的小波分析和分解層次（記為N），然后對(duì)待分析的二維圖像信號(hào)X進(jìn)行N層分解計(jì)算。

2）作用閾值過(guò)程。對(duì)于分解的每一層，選擇一個(gè)合適的閾值，并對(duì)該層高頻系數(shù)進(jìn)行軟閾值量化處理。在此，閾值選擇規(guī)則同前面的信號(hào)處理部分。

3）重建過(guò)程。根據(jù)小波分解后的第N層近似（低頻系數(shù)）和經(jīng)過(guò)閾值量化處理后的各層細(xì)節(jié)（高頻系數(shù)），來(lái)計(jì)算二維信號(hào)的小波重構(gòu)。

根據(jù)對(duì)小波系數(shù)處理方式的不同，常見(jiàn)的降噪方法可以分為3類：模極大值檢測(cè)法、小波系數(shù)相關(guān)降噪法和閾值降噪法。由于閾值降噪法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，因此在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用[4]。所以，在此小波降噪就以閾值降噪為例詳細(xì)介紹。小波閾值降噪方法是一種實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單且效果較好的降噪方法。閾值降噪方法的思想很簡(jiǎn)單。假設(shè)一個(gè)疊加了高斯白噪聲的圖像信號(hào)為：

其中，s（p，q）為原始信圖像；n（p，q）為均值為 0，方差為δ2的高斯白噪聲，服從 N（0，δ2）、f（p，q）為含噪聲圖像。小波變換具有很強(qiáng)的數(shù)據(jù)相關(guān)性，它能夠使信號(hào)的能量集中在一些大的小波系數(shù)中，但是噪聲的能量卻分布在整個(gè)小波域內(nèi)。因此，經(jīng)過(guò)小波分解后，信號(hào)的小波系數(shù)幅值要大于噪聲的系數(shù)幅值。幅值相對(duì)比較大的小波系數(shù)一般以信號(hào)為主，而幅值比較小的系數(shù)在很大程度上是噪聲。采用閾值的辦法設(shè)置一個(gè)合適的閾值對(duì)于大于該閾值的小波系數(shù)予以保留，小于該閾值的小波系數(shù)（主要成分是噪聲）予以剔除，這樣就能使大部分噪聲系數(shù)減小至零，從而達(dá)到降噪的目的。

圖2 小波閾值降噪原理圖Fig.2 The principle diagram of wavelet threshold de-noising

小波閾值降噪方法的一個(gè)關(guān)鍵因素是閾值的選取，另一個(gè)關(guān)鍵因素是閾值的估計(jì)[5]。如果閾值太小降噪后的圖像仍然存在噪聲，如果閾值太大，重要圖像特征又將被濾掉，引起偏差。從直觀上講，對(duì)給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。

小波閾值降噪的基本思想是：首先對(duì)含有噪聲的信號(hào)做小波變換，得到一組小波系數(shù)；接著對(duì)其進(jìn)行閾值處理，得到估計(jì)系數(shù)，使得兩者的差值盡可能??；最后利用小波重構(gòu)，得到估計(jì)信號(hào)即為降噪的信號(hào)。

閾值處理的方法有兩種：一種是硬閾值法，定義為

硬閾值法得到的小波系數(shù)的連續(xù)性較差，重構(gòu)信號(hào)可能出現(xiàn)突變或者震蕩現(xiàn)象；如下圖所示。另一種方法是軟閾值法，定義為：

軟閾值法得到的小波系數(shù)的連續(xù)性好，但是當(dāng)小波系數(shù)比較大時(shí)得到處理后的小波系數(shù)和實(shí)際的小波系數(shù)有一定的偏差，會(huì)導(dǎo)致重構(gòu)結(jié)果的誤差。如圖3所示。

圖3 兩種閾值方法Fig.3 Two threshold methods

3 改進(jìn)的算法介紹

設(shè)X是大小為原始無(wú)噪圖像，是一個(gè)在空間平穩(wěn)、獨(dú)立同分布、方差為δ2的零均值高斯白噪聲，Y是一個(gè)被噪聲污染的含噪圖像。噪聲滿足一下關(guān)系：

小波變換把圖像信號(hào)變換到小波域，在小波域中，圖像本身的能量主要分布在低分辨率的尺度系數(shù)和一些較大的小波系數(shù)上，而噪聲能量仍然均勻散布在低分辨率的尺度系數(shù)和所有小波系數(shù)上[6]。在變換域，圖像的空間相關(guān)性降低，能量更加集中，而噪聲的能量分布情況則不變。根據(jù)以上情況我們提出了一種基于小波閾值的混合濾波圖像降噪的方法。其步驟為：

1）對(duì)含有噪聲圖像進(jìn)行小波分解；

2）對(duì)小波分解系數(shù)進(jìn)行閾值處理；

3）對(duì)處理后的系數(shù)重構(gòu)；

4）對(duì)重構(gòu)圖像進(jìn)行均值濾波。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為說(shuō)明該方法的有效性，對(duì)含有高斯白噪聲的一幅風(fēng)景的圖像進(jìn)行降噪處理，其中噪聲方差δ2為10。在降噪實(shí)驗(yàn)中，采用“sym4”小波，因?yàn)閟ym小波有較好的對(duì)成性，更適合于圖像處理，減少重構(gòu)時(shí)的相移[7]。有較好的對(duì)稱性的小波濾波器既可以使人類的視覺(jué)系統(tǒng)對(duì)邊緣附近對(duì)稱的量化誤差較非對(duì)稱誤差更不敏感，又具有線性相位特性。對(duì)圖像邊緣作對(duì)稱邊界擴(kuò)展時(shí)，重構(gòu)圖像邊緣部分失真較小，如圖4所示。

圖4 不同算法的圖像降噪比較Fig.4 Comparison of image noise reduction of different algorithms

表1 不同噪聲大小、不同方法降噪后的PSNR結(jié)果Tab.1 PSNR results of different sizes and methods for noise reduction

由表1可以看出本算法能夠較好地去除噪聲，且降噪后圖像清晰、明了，有較好的視覺(jué)效果，足以說(shuō)明以閾值降噪為基礎(chǔ)的混合算法的優(yōu)越性。

5 結(jié)束語(yǔ)

小波降噪已經(jīng)應(yīng)用于許多理論和領(lǐng)域，其在信號(hào)處理過(guò)程中的作用使其成為信號(hào)處理研究的熱點(diǎn)。文中介紹了傳統(tǒng)降噪方法與小波降噪方法的優(yōu)缺點(diǎn)，并基于兩類方法的不同特點(diǎn)，提出了一種基于小波閾值的混合濾波圖像降噪[8]的新方法。仿真實(shí)驗(yàn)表明：該算法對(duì)圖像降噪保留了較多的細(xì)節(jié)信息，使降噪后的圖像在主觀視覺(jué)效果方面得到了明顯的改善；對(duì)含有高斯白噪聲的圖像，可以較為清晰地恢復(fù)出原始圖像，從而驗(yàn)證了該算法的實(shí)用價(jià)值。

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