還是畫圖好

黃琴+張興筑

有這樣一道題：矩形的長是4cm，寬是3cm，若將其長增加xcm，寬增加2xcm，則面積增加ycm2。試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。以下是課堂教學(xué)片斷。

生1：因?yàn)樵黾拥拿娣e=新矩形的面積-原矩形的面積，所以y=（4+x）（3+2x）-4×3=2x2+11x。

師：請同學(xué)們再想一想，還有其它的方法嗎？

雖然經(jīng)過思考，但是也沒有學(xué)生想出其它的方法來。

師（提示）：此題與矩形有關(guān)，而矩形又是大家非常熟悉的圖形，請同學(xué)們想一想，你還能干什么？

生2：可以畫圖。

學(xué)生在草稿紙上畫圖，這時(shí)，我到學(xué)生中間進(jìn)行指導(dǎo)。不一會兒，很多學(xué)生就畫出了圖形（如圖1，陰影部分的面積就是增加的面積）。

[A][B][[2x]][C][D][E][H][F][I][J] [3][4][圖1]

師：可以小組討論，利用所畫的圖形，尋找其它的表示方法。

雖然陰影部分的面積不能直接表示出來，但是可以把陰影部分的圖形分割成幾個(gè)基本圖形，這樣增加的面積即陰影部分的面積就很容易表示出來了。

生3（小組代表）：連接CF，這樣就把陰影部分分割成梯形BCFJ和梯形CDEF，所以增加的面積（y）=兩個(gè)梯形的面積的和。

生4（小組代表）：連接CE、CF和CJ，把陰影部分分割成4個(gè)三角形，所以增加的面積（y）=4個(gè)三角形的面積的和。

生5（小組代表）：延長BC交EF于點(diǎn)H，把陰影部分分割成矩形CDEH和矩形BHFJ，所以增加的面積（y）=兩個(gè)矩形的面積的和。

生6（小組代表）：延長DC交FJ于點(diǎn)I，把陰影部分分割成矩形BCIJ和矩形DEFI，所以增加的面積（y）=兩個(gè)矩形的面積的和。

生7（小組代表）：延長BC交EF于點(diǎn)H，延長DC交FJ于點(diǎn)I，把陰影部分分割成矩形CDEH、矩形BCIJ和矩形CHFI，所以增加的面積（y）=3個(gè)矩形的面積的和。

……

原來還有這么多的方法，當(dāng)初為什么沒有發(fā)現(xiàn)呢？其原因是學(xué)生沒有想到利用圖形來尋找解決問題的方法。有了圖形，不僅問題得到解決，而且滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。學(xué)生感嘆道：“還是畫圖好！”

教學(xué)反思

因?yàn)槲覀兩钤谝粋€(gè)圖形的世界里，所以學(xué)生空間觀念的形成往往離不開幾何圖形，學(xué)會畫圖，學(xué)會利用圖形來分析和解決問題是學(xué)好數(shù)學(xué)、培養(yǎng)空間觀念的一項(xiàng)基本技能。

一、圖形生活化

在現(xiàn)實(shí)生活中感知圖形。生活離不開圖形，圖形讓生活變得更加豐富多彩，對圖形的認(rèn)識既是現(xiàn)實(shí)生活的需要，又是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容，因此，在教學(xué)中要重視圖形與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。教學(xué)中要把學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來，會根據(jù)物體的特征抽象出幾何圖形，又要會根據(jù)幾何圖形想象出現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際物體。

在實(shí)驗(yàn)操作中認(rèn)識圖形。通過實(shí)驗(yàn)可以讓學(xué)生在動(dòng)手操作中積累生活經(jīng)驗(yàn)，觀察實(shí)驗(yàn)發(fā)生的過程和結(jié)果。在教學(xué)中凡是能動(dòng)手做的實(shí)驗(yàn)，都要精心設(shè)計(jì)，提前準(zhǔn)備。如在學(xué)習(xí)圓錐體的側(cè)面展開圖時(shí)，讓學(xué)生親手做一個(gè)帶底的圓錐體，并準(zhǔn)備好一把剪刀，課堂上師生一起動(dòng)手，把圓錐體的側(cè)面沿母線剪開再展平得到一個(gè)扇形，由于學(xué)生親手操作，很容易發(fā)現(xiàn)展開的扇形與圓錐之間的關(guān)系。另外，要讓學(xué)生感受到我們的生活在變，生活中的圖形也在變，不斷變化的圖形更能培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。如把長方體加工成一個(gè)體積最大的圓柱體；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱、圖形的相似、平行四邊形如何變成矩形或菱形或正方形等，這些都可以通過實(shí)驗(yàn)來描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化。

二、圖形功能化

在學(xué)習(xí)新知識的過程中體會圖形的功能。幾何學(xué)習(xí)的過程都離不開圖形，其實(shí)，在代數(shù)的學(xué)習(xí)過程中也要經(jīng)常利用圖形來幫助我們理解所學(xué)的知識。如在學(xué)習(xí)完全平方公式[（a+b）2=a2+2ab+b2]時(shí)，一些學(xué)生總是把公式記憶成[（a+b）2=a2+b2]，之所以出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤，是因?yàn)檫@些學(xué)生沒有理解公式的意義，為了幫助學(xué)生對該公式的理解，我沒有讓學(xué)生直接看教材，而是讓學(xué)生自己畫圖（如圖2），根據(jù)圖形學(xué)生對完全平方公式有了更深刻的理解，并且在運(yùn)用該公式時(shí)大腦中就會浮現(xiàn)圖形的表象，這樣對公式才能運(yùn)用自如，而且很少出錯(cuò)，是圖形幫了大忙。

[圖2]

在解決問題的過程中感悟圖形的功能。在上面的案例中，在沒有圖形的背景下，學(xué)生的思維打不開，解題方法也單一，正是有了圖形，才讓學(xué)生有了施展才能的空間，學(xué)生的智慧才得以展示。正因?yàn)閳D形在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著非常重要的作用，所以要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會畫圖、學(xué)會識圖，學(xué)會利用圖形解決問題，感悟圖形的功能。

三、圖形習(xí)慣化

養(yǎng)成畫圖的好習(xí)慣。學(xué)習(xí)幾何或解答幾何題當(dāng)然要畫圖，即使原題有圖，也要讓學(xué)生再畫一遍；在學(xué)習(xí)代數(shù)時(shí)，能畫出圖形的要求學(xué)生一定要畫出圖形，因?yàn)閳D形既能幫助我們理解所學(xué)的知識，又能幫助我們解決問題。如在解答有關(guān)一次函數(shù)的問題時(shí)，原題往往沒有圖形，學(xué)生理解起來比較困難，解答也不知如何下筆，但是，學(xué)生知道一次函數(shù)的圖像是一條直線，只要能在平面直角坐標(biāo)系中畫出這條直線，問題的解決就容易多了。

養(yǎng)成用圖的好習(xí)慣。畫圖是基礎(chǔ)，畫圖的目的是要利用圖形解決問題，因此，用好圖形才能顯示圖形的功能和價(jià)值。用好圖形，首先要學(xué)會看好圖形，觀察圖形是由哪些基本圖形構(gòu)成的，尋找圖形與所學(xué)知識或題目之間的關(guān)系；其次要學(xué)會添割補(bǔ)圖，會把一個(gè)不規(guī)則的圖形分割成若干個(gè)基本圖形或補(bǔ)全成某個(gè)基本圖形；第三，要學(xué)會添加輔助線，恰當(dāng)?shù)妮o助線有助于說理；第四，學(xué)會觀察圖形的運(yùn)動(dòng)或變化，觀察圖形在運(yùn)動(dòng)或變化過程中所發(fā)生的結(jié)果。

俗話說習(xí)慣成自然，但是習(xí)慣的養(yǎng)成可不是一件容易的事，只有讓學(xué)生悟出圖形在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的價(jià)值和作用，那么學(xué)生才會自覺養(yǎng)成畫圖、用圖的習(xí)慣，并持之以恒，良好的習(xí)慣才能養(yǎng)成。

責(zé)任編輯 陳建軍