國(guó)外教材中關(guān)于連續(xù)復(fù)利講授的種種錯(cuò)誤

摘要：本文分析說(shuō)明，國(guó)外各學(xué)科教材中關(guān)于連續(xù)復(fù)利的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用都是錯(cuò)誤的。

關(guān)鍵詞：年利率；增長(zhǎng)率；連續(xù)復(fù)利

1.問(wèn)題的提出

通常國(guó)外教材[1-5]中講的連續(xù)復(fù)利是：

設(shè)初始資金為A0，年利率為r，按復(fù)利計(jì)算，t年后資金總額為

文[6、7]已經(jīng)詳細(xì)分析了連續(xù)復(fù)利公式（3）推導(dǎo)中的問(wèn)題。連續(xù)復(fù)利這種概念長(zhǎng)時(shí)期存在于多學(xué)科國(guó)外的教材中，但其論述都是不對(duì)的。

2.推證中的問(wèn)題

例12006年機(jī)械工業(yè)出版社出版的《微積分及其應(yīng)用》（英文第8版翻譯本）用解微分方程和求極限兩種方法推證了連續(xù)復(fù)利模型。

“例4商業(yè)：永續(xù)復(fù)利（這里的”永續(xù)復(fù)利”即一般書(shū)中的連續(xù)復(fù)利；這個(gè)詞在該書(shū)中第一次出現(xiàn)就是在這個(gè)例題中—本文注）假設(shè)投入資金p0到儲(chǔ)蓄中，年永續(xù)復(fù)利率為7%，即結(jié)存p的增長(zhǎng)率為

a）根據(jù)所給出的p0和0.07，求滿足這個(gè)方程的函數(shù)。

b）假設(shè)投資100美元，1年后結(jié)存是多少？

c）多少時(shí)間之后所投資的100美元能翻一番？

解：a）P（t）=P0e0.07t

b）p（1）=100e0.07（1）=100e0.07=100（1.072508）≈107.25美元

c）求時(shí)間T，使得P（T）=200美元，數(shù)T稱為倍增時(shí)間（doubling time），為了求T，解方程200=100e0.07.T2=e0.07T

在這本《微積分及其應(yīng)用》用微分方程方法證明連續(xù)復(fù)利模型的過(guò)程中，通過(guò)具體數(shù)值，從dpdt=0.07p和初始條件p（0）=p0推出了p（t）=p0e0.07t。這也就是從dpdt=kp和初始條件p（0）=p0推出p（t）=p0ekt。

用極限方法證明連續(xù)復(fù)利模型的過(guò)程中，用到了A=p0（1+kn）nt。

這就是說(shuō)用dpdt=kp（初始條件p（0）=p0）與A=p0（1+kn）nt都能推出p（t）=p0ekt，并且兩種推證方法中用到的是相同的參數(shù)k，這就更容易讓人相信連續(xù)復(fù)利法的正確性。

這里存在的問(wèn)題是，盡管在這個(gè)例題中把參數(shù)k解釋為年永續(xù)復(fù)利率，但參數(shù)k的含義是什么還是需要做進(jìn)一步分析。

如果給出的k是連續(xù)復(fù)利率，在極限推導(dǎo)方法中，構(gòu)成的式子A=p0（1+kn）nt已不是復(fù)利分期計(jì)算模型（2）。這應(yīng)當(dāng)是已經(jīng)說(shuō)不清含義的一個(gè)式子；在方程推導(dǎo)方法中，根據(jù)所謂連續(xù)復(fù)利率k=0.07得出dpdt=kp，也缺乏確切的根據(jù)。這如同根據(jù)連續(xù)化后的式子A（t）=A0（1+r）t（t取實(shí)數(shù)中）中的r得出dpdt=rp缺乏確切的根據(jù)一樣。

如果k是（普通）年復(fù)利率，則dpdt=kp是不成立的；根據(jù)本節(jié)以上分析可知，由A=p0（1+kn）nt推p（t）=p0ekt也是不對(duì)的。

總之，這里用的兩種方法每一種都是不對(duì)的。

3.繞開(kāi)連續(xù)復(fù)利的困惑講連續(xù)復(fù)利

例22009年機(jī)械工業(yè)出版社出版的《公司理財(cái)》（英文第8版翻譯本）中有

“例4-15連續(xù)復(fù)利Linda Defond以連續(xù)復(fù)利計(jì)息方式將其1000美元投資1年。那么，她的投資到了年末將等于多少？

由式（4—9）（指計(jì)算式C0×erT——本文注）可得：

1000美元×e0.10=1000美元×1.1052=1105.20美元

這一結(jié)果也可很容易地從表A-5（該書(shū)中的表A-5包括下表-本文注）中查到。即只要在橫攔中找出所給的利率r=10%，在豎欄中找出T，與本例有關(guān)的表中的部分為：

連續(xù)型復(fù)利計(jì)息利率（r）

注意利率為的連續(xù)計(jì)息等價(jià)于利率為的年復(fù)利計(jì)息方式。換句話說(shuō)，Linda認(rèn)為將她的資金以的利率連續(xù)計(jì)息或是以利率年復(fù)利是沒(méi)有差別的”

應(yīng)該說(shuō)，作者講Linda投資的例子和Linda的感受是為了讓人們進(jìn)一步理解連續(xù)復(fù)利率。該書(shū)講了“Linda認(rèn)為”，應(yīng)該從形成“Linda認(rèn)為”的原因講起。如果從“她的資金以的利率連續(xù)計(jì)息或是以利率年復(fù)利是沒(méi)有差別”推出，所謂以的利率連續(xù)計(jì)息就是普通的以利率計(jì)息，就說(shuō)明“Linda認(rèn)為”是對(duì)的，這就說(shuō)明了從公式（1）推導(dǎo)出連續(xù)復(fù)利公式（3）除去根據(jù)年利率推導(dǎo)出年利率外沒(méi)有任何意義，這樣就否定了所謂的連續(xù)復(fù)利公式（3）；如果說(shuō)“她的資金以的利率連續(xù)計(jì)息或是以利率年復(fù)利是沒(méi)有差別”是不對(duì)的，就應(yīng)該講清楚這差別在哪里，讓讀者進(jìn)一步體會(huì)所謂連續(xù)復(fù)利的意義。但該書(shū)沒(méi)有對(duì)“Linda認(rèn)為”做進(jìn)一步做出否定連續(xù)復(fù)利的分析，而是在“Linda認(rèn)為”的基礎(chǔ)上繼續(xù)講連續(xù)復(fù)利的所謂意義，

4.用理解錯(cuò)誤的生物增長(zhǎng)規(guī)律解釋連續(xù)復(fù)利

例32010年機(jī)械工業(yè)出版社出版的《衍生工具》（英文翻譯本）在論述連續(xù)復(fù)利公式（3）時(shí)說(shuō)

“乍一看，連續(xù)利率似乎與現(xiàn)實(shí)不符，但恰恰相反。假設(shè)我們要對(duì)樹(shù)的增長(zhǎng)建模，樹(shù)木并不是以離散的方式增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)是連續(xù)的，如果假定樹(shù)木的當(dāng)前高度是50英尺，每年增長(zhǎng)率為5%，樹(shù)木6個(gè)月后的高度將是50e0.05（0.05）=51.266英尺”。

該書(shū)此段不是要將連續(xù)復(fù)利法用到樹(shù)木增長(zhǎng)上，而是要用樹(shù)木連續(xù)增長(zhǎng)現(xiàn)象解釋連續(xù)復(fù)利法。

實(shí)際上，人們“乍一看，連續(xù)利率似乎與現(xiàn)實(shí)不符”，就是人們憑中小學(xué)知識(shí)和生活常識(shí)，就感覺(jué)到連續(xù)利率與現(xiàn)實(shí)不符。在這里，人們憑中小學(xué)知識(shí)和生活常識(shí)得出的感覺(jué)是正確的。樹(shù)木增長(zhǎng)與這里的復(fù)利計(jì)算是同一類數(shù)學(xué)問(wèn)題，10英尺高的樹(shù)木，一年增高，一年后就是20英尺；10英尺的樹(shù)木，一年后長(zhǎng)成20英尺高，一年的增長(zhǎng)率就是。這里并沒(méi)有要求樹(shù)木以離散的方式增長(zhǎng)。樹(shù)木無(wú)疑是連續(xù)增長(zhǎng)的，樹(shù)木的增長(zhǎng)與人們采用離散計(jì)算還是連續(xù)計(jì)算無(wú)關(guān)。如果樹(shù)木的當(dāng)前高度是50英尺，每年增長(zhǎng)率，樹(shù)木6個(gè)月后的高度將是英尺，而不會(huì)是。我們應(yīng)當(dāng)做的是，從對(duì)樹(shù)木增長(zhǎng)的計(jì)算去揭示連續(xù)復(fù)利法的荒謬性，而不是相反，所以，該書(shū)此段的論述不成立。

5.認(rèn)為連續(xù)復(fù)利“可在實(shí)際中被用作那種轉(zhuǎn)換非常頻繁（例如按日計(jì)）的利息的近似”

例41996年上?？萍汲霭嫔绯霭娴摹独⒗碚摗罚ㄓ⑽姆g本）中把刻畫(huà)資金總額A（t）隨時(shí)間t而增長(zhǎng)的關(guān)系A(chǔ)′（t）A（t）=λ中的λ稱作利息效力。年利率r與年利息效力λ間的關(guān)系是該書(shū)（第30、31頁(yè)）敘述說(shuō)“利息效力是一種有用的概念化手段。它使復(fù)利金額的連續(xù)增長(zhǎng)類似于自然科學(xué)中的增長(zhǎng)函數(shù)。從理論上說(shuō)，利息最基本的度量就是利息效力，但在實(shí)際上，實(shí)質(zhì)和名義利率與貼現(xiàn)率用得更頻繁，因?yàn)樗鼈兏?jiǎn)單，對(duì)于多數(shù)人來(lái)說(shuō)更易理解，而且大多數(shù)金融業(yè)務(wù)包含的是離散過(guò)程而非連續(xù)過(guò)程。這并不是說(shuō)利息效力沒(méi)有實(shí)際意義。除掉它是一種有用的概念化及分析工具以外，它還可在實(shí)際中被用作那種轉(zhuǎn)換非常頻繁（例如按日計(jì)）的利息的近似?！?/p>

這里的問(wèn)題是：并不是利息效力“使復(fù)利金額的連續(xù)增長(zhǎng)類似自然科學(xué)中的增長(zhǎng)函數(shù)”，復(fù)利公式（1）本身就是“使復(fù)利金額的連續(xù)增長(zhǎng)類似自然科學(xué)中的增長(zhǎng)函數(shù)”。

說(shuō)利息效力“還可在實(shí)際中被用作那種轉(zhuǎn)換非常頻繁（例如按日計(jì)）的利息的近似”也是不對(duì)的。例如，當(dāng)年利率是10%時(shí)，用A（t）=A0（1+10%）t作“那種轉(zhuǎn)換非常頻率（例如按日計(jì)）的利息的近似”和計(jì)算都是對(duì)的；用A（t）=A0eλt=A0etlnI1+10%=A0（1+10%）t去作“那種轉(zhuǎn)換非常頻率（例如按日計(jì)）的利息的近似”和計(jì)算，這實(shí)際上還是普通復(fù)利，這與利息效力或連續(xù)復(fù)利無(wú)關(guān)；而用A（t）=A0e0.1t=A0（1+10.517%）t去作“那種轉(zhuǎn)換非常頻繁（例如按日計(jì)）的利息的近似”則是不對(duì)的。總之，這段論述不成立。

6.應(yīng)用連續(xù)復(fù)利求等額支付問(wèn)題

例52007年清華大學(xué)出版社出版的《工程經(jīng)濟(jì)學(xué)》（英文第13版翻譯本）有如下例題：

“例4-26連續(xù)復(fù)利和年度等額支付

假設(shè)有個(gè)人目前貸款1000美元，采用名義利率是20%的連續(xù)復(fù)利（m=∞）。計(jì)算他在10年里每年等額償還的金額為多少？

解：利用公式A=P（A/P，r%，N）

但因?yàn)楦戒浿袥](méi)有列出連續(xù)復(fù)利的（A/P）系數(shù)，所以我們用附錄D（見(jiàn)該書(shū)564頁(yè)—本文注）中列表的（P/A）的倒數(shù)來(lái)替代：

A=P×1（P/A，20%，10）=1000×13.9054=256（美元）

在離散復(fù)利（m=1）的情況下，同樣是這個(gè)例子的年度等值是：

A=P（A/P，20%，10）=1000×0.2385=238（美元）”

從這里的解答看，設(shè)置此題是要讓讀者理解離散復(fù)利與連續(xù)復(fù)利在應(yīng)用上的差別。問(wèn)題是，e20%=1+22.14%，“采用名義利率是20%的連續(xù)復(fù)利”就是采用22.14%利率計(jì)算，利率20%與22.14%當(dāng)然是有差別的。給出“采用名義利率是的連續(xù)復(fù)利（m=∞）”作為解決問(wèn)題的條件，除去將年利率提20%高到了22.14%外，沒(méi)能表達(dá)出任何別的意義。

其它如1980年John WiIey出版的《EssentiaI Mathe matics for Economists》利用連續(xù)復(fù)利推導(dǎo)出了資金流現(xiàn)值計(jì)算公式，2011年機(jī)械工業(yè)出版社出版的《期權(quán)與期貨市場(chǎng)基本原理》（英文第7版翻譯本）將連續(xù)復(fù)利應(yīng)用到二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型、B-S期權(quán)定價(jià)模型，對(duì)于連續(xù)復(fù)利的這些錯(cuò)誤應(yīng)用，文已有詳細(xì)論述，可以斷言，若還有其它關(guān)于連續(xù)復(fù)利的應(yīng)用，那一定也是不對(duì)的。我國(guó)高校出版的教材關(guān)于連續(xù)復(fù)利的講授也都是不對(duì)的。

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