“不等式恒成立問題”的教學(xué)再設(shè)計(jì)

洪慧瓊

高三數(shù)學(xué)的兩種主要課型是復(fù)習(xí)課和講評課，解題教學(xué)是其重點(diǎn)，單純的求解應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)榻夥ǖ臄M定及具體實(shí)施，把能力培養(yǎng)置于首位。于是，筆者對一節(jié)“不等式的恒成立問題”的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了反思及再設(shè)計(jì)，并在后續(xù)教學(xué)中進(jìn)行了嘗試，取得了預(yù)期的效果。

一、教學(xué)引入——預(yù)設(shè)練習(xí)，暴露問題

1.設(shè)計(jì)意圖

考慮到學(xué)生已經(jīng)具備一定的解答問題的知識方法，只是尚未系統(tǒng)化。因此，在新的教學(xué)設(shè)計(jì)中，將這節(jié)解題課轉(zhuǎn)變成一節(jié)習(xí)題課，試圖通過對學(xué)生前期解答的分析，來了解學(xué)生的解題思路，對學(xué)生解題中暴露的問題進(jìn)行整理分析，增加學(xué)生的親切感，更能引起重視，幫助學(xué)生由最近發(fā)展區(qū)靠近解題要點(diǎn)。

2.教學(xué)過程

學(xué)生分析預(yù)習(xí)作業(yè)的錯誤原因，交流解題經(jīng)驗(yàn)：

（1）關(guān)于x的不等式（a2+4a-5）x2-2（a+5）x+3>0對一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________。

3.說明與反思

高三教學(xué)中，新課較少，習(xí)題課增加。本課即為一節(jié)有主題的習(xí)題課。然而一部分“懂而不會”的高三學(xué)生，對習(xí)題課極不重視。為解決這一問題，教師需在“備學(xué)生”上多下工夫。本課設(shè)計(jì)以學(xué)生的錯誤引入，讓學(xué)生感受到內(nèi)容的重要性。其中，作業(yè)（1）旨在鞏固學(xué)生對常規(guī)問題的解決及分類討論的能力，讓學(xué)生在自我反思中發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)討論的重要性；作業(yè)（2）則是在學(xué)生的解答中整理多種解法，一方面將解法歸納，另一方面通過解法對比體現(xiàn)解題過程中觀察及思考的重要性。

二、教學(xué)重點(diǎn)

（一）重點(diǎn)突破，以“理”服人

1.設(shè)計(jì)意圖

高三學(xué)生，由于已經(jīng)學(xué)會了高中階段的數(shù)學(xué)知識，一些新的知識方法常常會對其認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生沖擊，導(dǎo)致對新內(nèi)容的吸收較為困難。所以切不能將教學(xué)內(nèi)容強(qiáng)加于學(xué)生，那樣學(xué)生從根本上不能掌握，也使學(xué)生對教師失去了信任。蘇霍姆林斯基曾說：“在人們的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個(gè)發(fā)明者、研究者、探索者，而在孩子的精神世界中，這種需要則特別強(qiáng)烈。”因此，本課在教學(xué)重點(diǎn)環(huán)節(jié)的處理，改變了過去教師傳授講解的生硬方式，而是創(chuàng)設(shè)環(huán)境，給予學(xué)生表達(dá)自己想法的空間，平等地與學(xué)生交流，讓學(xué)生自然過渡到新方法的運(yùn)用中。

2.教學(xué)過程

例1 已知關(guān)于x的不等式（m-m2）4x+2x+1≥0在x∈（-2，-1）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

教師：請問這里要分幾種情況討論？請你把需要討論的情形逐一畫在黑板上。

學(xué)生：（在黑板上畫出了開口向上的三種情況及開口向下的一種情況。）

教師：很好，需要分成四種情況討論。請問你是仍要將此方法進(jìn)行到底，還是愿意再嘗試一下第二種解法？

教師：我們發(fā)現(xiàn)解法二明顯簡便，那么在遇到這類問題時(shí)應(yīng)如何判斷解法的選擇呢？

學(xué)生：這要具體情況具體分析了。比如定義域?yàn)镽，我會先考慮解法一；定義域?yàn)榻o定區(qū)間，討論起來比較復(fù)雜，就試試解法二。

3.說明與反思

此例的求解思路是本課的重點(diǎn)，希望通過對該問題的剖析，使學(xué)生學(xué)會在“弄清問題”之后，如何有效“擬定計(jì)劃”。當(dāng)學(xué)生的第一反應(yīng)是選擇較為復(fù)雜的方法時(shí)，萬萬不能隨意打斷，將預(yù)設(shè)的想法強(qiáng)加于學(xué)生?！缎抡n標(biāo)》中指出：“數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理?！苯處煵荒軒蛯W(xué)生“擬定計(jì)劃”，而應(yīng)教會學(xué)生“擬定計(jì)劃”的能力。所以，用了“仍要......還是愿意......”這樣的語言，給學(xué)生空間去探索發(fā)現(xiàn)，希望做到以“理”服人，使學(xué)生自然地認(rèn)同解法二在此處的優(yōu)勢。試圖借上述例子中最后一個(gè)問題設(shè)計(jì)，培養(yǎng)學(xué)生解題后“回顧反思”的習(xí)慣。解題者通過回顧所完成的解答，重新考慮和檢查結(jié)果及思路，鞏固知識并培養(yǎng)分析能力。

（二）設(shè)計(jì)變式，突破難點(diǎn)

1.設(shè)計(jì)意圖

變式設(shè)計(jì)的目的，一是提高教學(xué)效率，不增加同類型的重復(fù)解題；二是凸顯“恒成立”與“能成立”問題的區(qū)別，迫使學(xué)生對難點(diǎn)進(jìn)行思考。此外，變式中精心設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，使解題中亦蘊(yùn)含另一難點(diǎn)，即等號的取舍問題。力求通過一個(gè)變式，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)難點(diǎn)的共同突破，讓變式的設(shè)置更有效。

2.教學(xué)過程

例1的變式：若關(guān)于x的不等式（m-m2）4x+2x+1≥0在0∈（-2，-1）有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

3.說明與反思

該題是本節(jié)課的難點(diǎn)。教學(xué)中，學(xué)生對于“恒成立”感覺比較直觀，理解問題不大。而“能成立”，一方面容易與“恒成立”混淆，另一方面較為抽象，學(xué)生往往處理不好。所以，教師在此處的處理不能急躁。設(shè)計(jì)中采用變式，節(jié)省難點(diǎn)前的變形環(huán)節(jié)，給學(xué)生時(shí)間去消化難點(diǎn)，并充分考慮另一難點(diǎn)——等號問題。

筆者在這節(jié)高三解題課的教學(xué)中，轉(zhuǎn)變了原有的教學(xué)方式。雖然課堂上沒能完成思考題，使得本課留下了遺憾，但這樣費(fèi)時(shí)費(fèi)力地在“變量難以分離”問題中與各層次學(xué)生進(jìn)行思維上的交流與碰撞，教學(xué)效果中的能力培養(yǎng)證明，這樣做是值得的。一位詩人曾說，“幸福的日子使人聰明”。教師的解題教學(xué)要有意識地營造使學(xué)生不斷進(jìn)取而取得思維成就的環(huán)境，讓學(xué)生不斷在思維成功的幸福中取得良性循環(huán)，越學(xué)越想學(xué)，越學(xué)越靈活，給學(xué)生以“漁”的技能，把能力培養(yǎng)真正落到實(shí)處。無論是哪個(gè)階段的孩子，需要的都是一個(gè)自由和諧、富有個(gè)性、獨(dú)立自主的學(xué)習(xí)生態(tài)環(huán)境，只有在這樣的學(xué)習(xí)環(huán)境中，學(xué)生才能更高效地吸收知識，得到健康的成長。

（作者單位：華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)）endprint

高三數(shù)學(xué)的兩種主要課型是復(fù)習(xí)課和講評課，解題教學(xué)是其重點(diǎn)，單純的求解應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)榻夥ǖ臄M定及具體實(shí)施，把能力培養(yǎng)置于首位。于是，筆者對一節(jié)“不等式的恒成立問題”的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了反思及再設(shè)計(jì)，并在后續(xù)教學(xué)中進(jìn)行了嘗試，取得了預(yù)期的效果。

一、教學(xué)引入——預(yù)設(shè)練習(xí)，暴露問題

1.設(shè)計(jì)意圖

考慮到學(xué)生已經(jīng)具備一定的解答問題的知識方法，只是尚未系統(tǒng)化。因此，在新的教學(xué)設(shè)計(jì)中，將這節(jié)解題課轉(zhuǎn)變成一節(jié)習(xí)題課，試圖通過對學(xué)生前期解答的分析，來了解學(xué)生的解題思路，對學(xué)生解題中暴露的問題進(jìn)行整理分析，增加學(xué)生的親切感，更能引起重視，幫助學(xué)生由最近發(fā)展區(qū)靠近解題要點(diǎn)。

2.教學(xué)過程

學(xué)生分析預(yù)習(xí)作業(yè)的錯誤原因，交流解題經(jīng)驗(yàn)：

（1）關(guān)于x的不等式（a2+4a-5）x2-2（a+5）x+3>0對一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________。

3.說明與反思

高三教學(xué)中，新課較少，習(xí)題課增加。本課即為一節(jié)有主題的習(xí)題課。然而一部分“懂而不會”的高三學(xué)生，對習(xí)題課極不重視。為解決這一問題，教師需在“備學(xué)生”上多下工夫。本課設(shè)計(jì)以學(xué)生的錯誤引入，讓學(xué)生感受到內(nèi)容的重要性。其中，作業(yè)（1）旨在鞏固學(xué)生對常規(guī)問題的解決及分類討論的能力，讓學(xué)生在自我反思中發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)討論的重要性；作業(yè)（2）則是在學(xué)生的解答中整理多種解法，一方面將解法歸納，另一方面通過解法對比體現(xiàn)解題過程中觀察及思考的重要性。

二、教學(xué)重點(diǎn)

（一）重點(diǎn)突破，以“理”服人

1.設(shè)計(jì)意圖

高三學(xué)生，由于已經(jīng)學(xué)會了高中階段的數(shù)學(xué)知識，一些新的知識方法常常會對其認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生沖擊，導(dǎo)致對新內(nèi)容的吸收較為困難。所以切不能將教學(xué)內(nèi)容強(qiáng)加于學(xué)生，那樣學(xué)生從根本上不能掌握，也使學(xué)生對教師失去了信任。蘇霍姆林斯基曾說：“在人們的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個(gè)發(fā)明者、研究者、探索者，而在孩子的精神世界中，這種需要則特別強(qiáng)烈?！币虼?，本課在教學(xué)重點(diǎn)環(huán)節(jié)的處理，改變了過去教師傳授講解的生硬方式，而是創(chuàng)設(shè)環(huán)境，給予學(xué)生表達(dá)自己想法的空間，平等地與學(xué)生交流，讓學(xué)生自然過渡到新方法的運(yùn)用中。

2.教學(xué)過程

例1 已知關(guān)于x的不等式（m-m2）4x+2x+1≥0在x∈（-2，-1）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

教師：請問這里要分幾種情況討論？請你把需要討論的情形逐一畫在黑板上。

學(xué)生：（在黑板上畫出了開口向上的三種情況及開口向下的一種情況。）

教師：很好，需要分成四種情況討論。請問你是仍要將此方法進(jìn)行到底，還是愿意再嘗試一下第二種解法？

教師：我們發(fā)現(xiàn)解法二明顯簡便，那么在遇到這類問題時(shí)應(yīng)如何判斷解法的選擇呢？

學(xué)生：這要具體情況具體分析了。比如定義域?yàn)镽，我會先考慮解法一；定義域?yàn)榻o定區(qū)間，討論起來比較復(fù)雜，就試試解法二。

3.說明與反思

此例的求解思路是本課的重點(diǎn)，希望通過對該問題的剖析，使學(xué)生學(xué)會在“弄清問題”之后，如何有效“擬定計(jì)劃”。當(dāng)學(xué)生的第一反應(yīng)是選擇較為復(fù)雜的方法時(shí)，萬萬不能隨意打斷，將預(yù)設(shè)的想法強(qiáng)加于學(xué)生?！缎抡n標(biāo)》中指出：“數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理?！苯處煵荒軒蛯W(xué)生“擬定計(jì)劃”，而應(yīng)教會學(xué)生“擬定計(jì)劃”的能力。所以，用了“仍要......還是愿意......”這樣的語言，給學(xué)生空間去探索發(fā)現(xiàn)，希望做到以“理”服人，使學(xué)生自然地認(rèn)同解法二在此處的優(yōu)勢。試圖借上述例子中最后一個(gè)問題設(shè)計(jì)，培養(yǎng)學(xué)生解題后“回顧反思”的習(xí)慣。解題者通過回顧所完成的解答，重新考慮和檢查結(jié)果及思路，鞏固知識并培養(yǎng)分析能力。

（二）設(shè)計(jì)變式，突破難點(diǎn)

1.設(shè)計(jì)意圖

變式設(shè)計(jì)的目的，一是提高教學(xué)效率，不增加同類型的重復(fù)解題；二是凸顯“恒成立”與“能成立”問題的區(qū)別，迫使學(xué)生對難點(diǎn)進(jìn)行思考。此外，變式中精心設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，使解題中亦蘊(yùn)含另一難點(diǎn)，即等號的取舍問題。力求通過一個(gè)變式，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)難點(diǎn)的共同突破，讓變式的設(shè)置更有效。

2.教學(xué)過程

例1的變式：若關(guān)于x的不等式（m-m2）4x+2x+1≥0在0∈（-2，-1）有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

3.說明與反思

該題是本節(jié)課的難點(diǎn)。教學(xué)中，學(xué)生對于“恒成立”感覺比較直觀，理解問題不大。而“能成立”，一方面容易與“恒成立”混淆，另一方面較為抽象，學(xué)生往往處理不好。所以，教師在此處的處理不能急躁。設(shè)計(jì)中采用變式，節(jié)省難點(diǎn)前的變形環(huán)節(jié)，給學(xué)生時(shí)間去消化難點(diǎn)，并充分考慮另一難點(diǎn)——等號問題。

筆者在這節(jié)高三解題課的教學(xué)中，轉(zhuǎn)變了原有的教學(xué)方式。雖然課堂上沒能完成思考題，使得本課留下了遺憾，但這樣費(fèi)時(shí)費(fèi)力地在“變量難以分離”問題中與各層次學(xué)生進(jìn)行思維上的交流與碰撞，教學(xué)效果中的能力培養(yǎng)證明，這樣做是值得的。一位詩人曾說，“幸福的日子使人聰明”。教師的解題教學(xué)要有意識地營造使學(xué)生不斷進(jìn)取而取得思維成就的環(huán)境，讓學(xué)生不斷在思維成功的幸福中取得良性循環(huán)，越學(xué)越想學(xué)，越學(xué)越靈活，給學(xué)生以“漁”的技能，把能力培養(yǎng)真正落到實(shí)處。無論是哪個(gè)階段的孩子，需要的都是一個(gè)自由和諧、富有個(gè)性、獨(dú)立自主的學(xué)習(xí)生態(tài)環(huán)境，只有在這樣的學(xué)習(xí)環(huán)境中，學(xué)生才能更高效地吸收知識，得到健康的成長。

（作者單位：華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)）endprint

高三數(shù)學(xué)的兩種主要課型是復(fù)習(xí)課和講評課，解題教學(xué)是其重點(diǎn)，單純的求解應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)榻夥ǖ臄M定及具體實(shí)施，把能力培養(yǎng)置于首位。于是，筆者對一節(jié)“不等式的恒成立問題”的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了反思及再設(shè)計(jì)，并在后續(xù)教學(xué)中進(jìn)行了嘗試，取得了預(yù)期的效果。

一、教學(xué)引入——預(yù)設(shè)練習(xí)，暴露問題

1.設(shè)計(jì)意圖

考慮到學(xué)生已經(jīng)具備一定的解答問題的知識方法，只是尚未系統(tǒng)化。因此，在新的教學(xué)設(shè)計(jì)中，將這節(jié)解題課轉(zhuǎn)變成一節(jié)習(xí)題課，試圖通過對學(xué)生前期解答的分析，來了解學(xué)生的解題思路，對學(xué)生解題中暴露的問題進(jìn)行整理分析，增加學(xué)生的親切感，更能引起重視，幫助學(xué)生由最近發(fā)展區(qū)靠近解題要點(diǎn)。

2.教學(xué)過程

學(xué)生分析預(yù)習(xí)作業(yè)的錯誤原因，交流解題經(jīng)驗(yàn)：

（1）關(guān)于x的不等式（a2+4a-5）x2-2（a+5）x+3>0對一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________。

3.說明與反思

高三教學(xué)中，新課較少，習(xí)題課增加。本課即為一節(jié)有主題的習(xí)題課。然而一部分“懂而不會”的高三學(xué)生，對習(xí)題課極不重視。為解決這一問題，教師需在“備學(xué)生”上多下工夫。本課設(shè)計(jì)以學(xué)生的錯誤引入，讓學(xué)生感受到內(nèi)容的重要性。其中，作業(yè)（1）旨在鞏固學(xué)生對常規(guī)問題的解決及分類討論的能力，讓學(xué)生在自我反思中發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)討論的重要性；作業(yè)（2）則是在學(xué)生的解答中整理多種解法，一方面將解法歸納，另一方面通過解法對比體現(xiàn)解題過程中觀察及思考的重要性。

二、教學(xué)重點(diǎn)

（一）重點(diǎn)突破，以“理”服人

1.設(shè)計(jì)意圖

高三學(xué)生，由于已經(jīng)學(xué)會了高中階段的數(shù)學(xué)知識，一些新的知識方法常常會對其認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生沖擊，導(dǎo)致對新內(nèi)容的吸收較為困難。所以切不能將教學(xué)內(nèi)容強(qiáng)加于學(xué)生，那樣學(xué)生從根本上不能掌握，也使學(xué)生對教師失去了信任。蘇霍姆林斯基曾說：“在人們的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個(gè)發(fā)明者、研究者、探索者，而在孩子的精神世界中，這種需要則特別強(qiáng)烈。”因此，本課在教學(xué)重點(diǎn)環(huán)節(jié)的處理，改變了過去教師傳授講解的生硬方式，而是創(chuàng)設(shè)環(huán)境，給予學(xué)生表達(dá)自己想法的空間，平等地與學(xué)生交流，讓學(xué)生自然過渡到新方法的運(yùn)用中。

2.教學(xué)過程

例1 已知關(guān)于x的不等式（m-m2）4x+2x+1≥0在x∈（-2，-1）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

教師：請問這里要分幾種情況討論？請你把需要討論的情形逐一畫在黑板上。

學(xué)生：（在黑板上畫出了開口向上的三種情況及開口向下的一種情況。）

教師：很好，需要分成四種情況討論。請問你是仍要將此方法進(jìn)行到底，還是愿意再嘗試一下第二種解法？

教師：我們發(fā)現(xiàn)解法二明顯簡便，那么在遇到這類問題時(shí)應(yīng)如何判斷解法的選擇呢？

學(xué)生：這要具體情況具體分析了。比如定義域?yàn)镽，我會先考慮解法一；定義域?yàn)榻o定區(qū)間，討論起來比較復(fù)雜，就試試解法二。

3.說明與反思

此例的求解思路是本課的重點(diǎn)，希望通過對該問題的剖析，使學(xué)生學(xué)會在“弄清問題”之后，如何有效“擬定計(jì)劃”。當(dāng)學(xué)生的第一反應(yīng)是選擇較為復(fù)雜的方法時(shí)，萬萬不能隨意打斷，將預(yù)設(shè)的想法強(qiáng)加于學(xué)生。《新課標(biāo)》中指出：“數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理?！苯處煵荒軒蛯W(xué)生“擬定計(jì)劃”，而應(yīng)教會學(xué)生“擬定計(jì)劃”的能力。所以，用了“仍要......還是愿意......”這樣的語言，給學(xué)生空間去探索發(fā)現(xiàn)，希望做到以“理”服人，使學(xué)生自然地認(rèn)同解法二在此處的優(yōu)勢。試圖借上述例子中最后一個(gè)問題設(shè)計(jì)，培養(yǎng)學(xué)生解題后“回顧反思”的習(xí)慣。解題者通過回顧所完成的解答，重新考慮和檢查結(jié)果及思路，鞏固知識并培養(yǎng)分析能力。

（二）設(shè)計(jì)變式，突破難點(diǎn)

1.設(shè)計(jì)意圖

變式設(shè)計(jì)的目的，一是提高教學(xué)效率，不增加同類型的重復(fù)解題；二是凸顯“恒成立”與“能成立”問題的區(qū)別，迫使學(xué)生對難點(diǎn)進(jìn)行思考。此外，變式中精心設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，使解題中亦蘊(yùn)含另一難點(diǎn)，即等號的取舍問題。力求通過一個(gè)變式，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)難點(diǎn)的共同突破，讓變式的設(shè)置更有效。

2.教學(xué)過程

例1的變式：若關(guān)于x的不等式（m-m2）4x+2x+1≥0在0∈（-2，-1）有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

3.說明與反思

該題是本節(jié)課的難點(diǎn)。教學(xué)中，學(xué)生對于“恒成立”感覺比較直觀，理解問題不大。而“能成立”，一方面容易與“恒成立”混淆，另一方面較為抽象，學(xué)生往往處理不好。所以，教師在此處的處理不能急躁。設(shè)計(jì)中采用變式，節(jié)省難點(diǎn)前的變形環(huán)節(jié)，給學(xué)生時(shí)間去消化難點(diǎn)，并充分考慮另一難點(diǎn)——等號問題。

筆者在這節(jié)高三解題課的教學(xué)中，轉(zhuǎn)變了原有的教學(xué)方式。雖然課堂上沒能完成思考題，使得本課留下了遺憾，但這樣費(fèi)時(shí)費(fèi)力地在“變量難以分離”問題中與各層次學(xué)生進(jìn)行思維上的交流與碰撞，教學(xué)效果中的能力培養(yǎng)證明，這樣做是值得的。一位詩人曾說，“幸福的日子使人聰明”。教師的解題教學(xué)要有意識地營造使學(xué)生不斷進(jìn)取而取得思維成就的環(huán)境，讓學(xué)生不斷在思維成功的幸福中取得良性循環(huán)，越學(xué)越想學(xué)，越學(xué)越靈活，給學(xué)生以“漁”的技能，把能力培養(yǎng)真正落到實(shí)處。無論是哪個(gè)階段的孩子，需要的都是一個(gè)自由和諧、富有個(gè)性、獨(dú)立自主的學(xué)習(xí)生態(tài)環(huán)境，只有在這樣的學(xué)習(xí)環(huán)境中，學(xué)生才能更高效地吸收知識，得到健康的成長。

（作者單位：華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)）endprint