具有時(shí)滯的兩種群Lotka-Volterra 合作系統(tǒng)的穩(wěn)定性

陳曉英， 韓榮玉

(1. 福州大學(xué)至誠(chéng)學(xué)院 計(jì)算機(jī)工程系，福建 福州350002;2. 福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建福州350108)

1 引 言

經(jīng)典的兩種群Lotka-Volterra 合作系統(tǒng)可以表示為

由文獻(xiàn)［1－2］，對(duì)該系統(tǒng)而言，條件

足以保證系統(tǒng)(1)存在唯一的全局吸引的正平衡點(diǎn)。

近來(lái)，許多學(xué)者對(duì)合作系統(tǒng)的持久性及穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了研究，讀者可參考文獻(xiàn)［3－6］及其引文文獻(xiàn)?？紤]到現(xiàn)實(shí)的生物數(shù)學(xué)模型不可避免地都要受到歷史狀態(tài)的影響，LIN Suqing，LU Zhengyi［3］考慮了具有時(shí)滯的合作系統(tǒng)，研究了如下模型:

其中ri，ai，aij，τij(i，j = 1，2)均為常數(shù)，且ai＞0，τij≥0(i，j = 1，2)，考慮條件:

文中旨在發(fā)展文獻(xiàn)［8－9］的研究技巧，通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov 泛函，得到保證系統(tǒng)正平衡點(diǎn)全局吸引的充分性條件，所得結(jié)果補(bǔ)充和完善了前人的結(jié)果。

2 主要結(jié)果

基于系統(tǒng)的生態(tài)學(xué)意義，文中恒設(shè)系統(tǒng)(2)滿足如下初始條件:

式中，φi(s)(i = 1，2)是［－ τ，0］上的連續(xù)函數(shù)，τ =max{τij:i，j = 1，2}。

引理1 系統(tǒng)(2)滿足初始條件(3)的解x1(t)＞0，x2(t)＞0(t ≥0)。

證

作為L(zhǎng)IN Suqing，LU Zhengyi［3］定理2.2 的直接推論，關(guān)于系統(tǒng)(2)的持久性，有

引理2 若條件(C2)成立，系統(tǒng)(2)，(3)是持久的，即存在與系統(tǒng)的解無(wú)關(guān)的正常數(shù)m 和M 使得系統(tǒng)(2)的任一正解均滿足:

下面，考慮條件

證 構(gòu)造Lyapunov 函數(shù):

沿著系統(tǒng)(2)～(3)的解計(jì)算V1(t)的導(dǎo)數(shù)，有

令

計(jì)算V2(t)的導(dǎo)數(shù)，有

令

計(jì)算V3(t)的導(dǎo)數(shù)，有

定義

由式(5)，(6)，(7)可知，有

取

由條件H 則有

其中

由式(9)可知，有

令t →+ ∞，有

也就是有

注 定理表明，條件(H)足以保證系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)的全局吸引的，注意到，條件(H)蘊(yùn)含了條件(C1)和(C2)，文中結(jié)果是對(duì)已有結(jié)果LIN Suqing，LU Zhengyi［3］的補(bǔ)充和完善。

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