利用GOCE模擬觀測反演重力場的Torus法

劉煥玲，文漢江，徐新禹，朱廣彬

1.武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北 武漢430079；2.中國測繪科學(xué)研究院地理空間信息工程國家測繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100830；3.國家測繪地理信息局衛(wèi)星測繪應(yīng)用中心，北京101300

1 引 言

2009年3月17日，歐空局成功發(fā)射了GOCE（Gravity field and steady－state Ocean Circulation Explorer）衛(wèi)星，旨在探測高精度高分辨率的地球重力場和穩(wěn)態(tài)海洋環(huán)流，具體目標(biāo)為：利用衛(wèi)星引力梯度數(shù)據(jù)和衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星（satellite－satellite tracking，SST）數(shù)據(jù)分別以1mGal和1～2cm的精度恢復(fù)地球重力異常和大地水準(zhǔn)面，同時(shí)要求空間分辨率達(dá)到100km，即重力場模型至少為200階次［1－2］。2013年10月，GOCE 衛(wèi)星結(jié)束使命，共測得約42個(gè)月的衛(wèi)星引力梯度數(shù)據(jù)。利用該類數(shù)據(jù)反演地球重力場模型的方法大致可分為3類：直接法、空域法和時(shí)域法［3－5］。直接法利用衛(wèi)星位置處觀測值與球諧系數(shù)的嚴(yán)密數(shù)學(xué)關(guān)系式進(jìn)行解算。空域法將觀測值看作是衛(wèi)星位置的函數(shù)，可直接利用最小二乘法求解球諧系數(shù)，也可將觀測值歸算并內(nèi)插成平均軌道球面上的均勻格網(wǎng)值，進(jìn)而利用解析法等方法進(jìn)行解算。時(shí)域法將觀測值看作是沿軌時(shí)間序列，按解算方法的不同，又可分為時(shí)間域時(shí)域法和頻率域時(shí)域法，前者直接通過沿軌觀測值與球諧系數(shù)的線性關(guān)系利用最小二乘法進(jìn)行解算，而后者又稱半解析法，即SA（semianalytical）方法［6］，根據(jù)觀測值與集總系數(shù)的關(guān)系式，通過1D－FFT或2D－FFT技術(shù)得到頻域內(nèi)的集總系數(shù)，再根據(jù)集總系數(shù)與球諧系數(shù)的線性關(guān)系用塊對角最小二乘法解算球諧系數(shù)，2D－FFT對應(yīng)的SA 方法稱為 Torus方法［6－7］。

國內(nèi)外學(xué)者對如何利用SA方法解算地球重力場模型進(jìn)行了大量研究，快速傅里葉技術(shù)和塊對角最小二乘法的使用極大地提高了計(jì)算效率。對于利用1D－FFT的SA方法解算地球重力場模型已有大量相關(guān)研究，所用數(shù)據(jù)為GOCE引力梯度數(shù)據(jù)和SST 數(shù)據(jù)［8－11］。而對于利用 Torus方法解算模型的研究中，所用數(shù)據(jù)為模擬的GOCE軌道數(shù)據(jù)、衛(wèi)星引力梯度數(shù)據(jù)和SST數(shù)據(jù)，利用模擬引力梯度數(shù)據(jù)恢復(fù)模型的最高階次為120，受格網(wǎng)化誤差的影響，利用模擬GOCE衛(wèi)星引力梯度分量Vzz解算模型的精度優(yōu)于Vxx、Vyy分量的解算結(jié)果。Torus方法的解算精度與直接法相當(dāng)，但Torus方法所需時(shí)間僅為直接法的1%［12］。

本文介紹了利用衛(wèi)星引力梯度數(shù)據(jù)反演地球重力場模型的Torus法的理論和算法，利用GOCE實(shí)測軌道數(shù)據(jù)模擬無噪聲和含白噪聲情況下的衛(wèi)星引力梯度數(shù)據(jù)，分析Torus方法解算地球重力場模型的精度，極空白、歸算誤差、格網(wǎng)化誤差以及白噪聲等對結(jié)果的影響。

2 求解地球重力場模型的Torus方法

根據(jù)衛(wèi)星軌道攝動(dòng)理論，局部軌道坐標(biāo)系（local orbit reference frame，LORF）下引力位與衛(wèi)星6個(gè)軌道根數(shù)之間的關(guān)系可表示為［13］

式中，a為衛(wèi)星軌道長半軸；I為軌道傾角；u為升交角距，u＝ω＋M，ω和M分別為近地點(diǎn)角距和平近點(diǎn)角；Λ為升交點(diǎn)經(jīng)度，Λ＝Ω－θG，其中Ω為升交點(diǎn)赤經(jīng)，θG為格林尼治恒星時(shí)角；μ為地心引力常數(shù)，即萬有引力常數(shù)與地球質(zhì)量的乘積；R為地球平均半徑；n、m為球諧函數(shù)的階和次，第3個(gè)加和下標(biāo)中的［2］表示k的變化步長為2。（I）和Gnkq（e）分別為正規(guī)化的傾角函數(shù)和偏心率函數(shù)，e為偏心率，ψmkq為u、Λ和M的函數(shù)，Ψmkq＝ku＋mΛ＋qM。球諧系數(shù)αnm和βnm隨n－m的奇偶性取不同的值，具體關(guān)系如下

對于e≈0的近圓軌道，式（1）可以簡化為［4，13－15］

式中，r為地心向徑；ψmk＝ku＋mΛ，此時(shí)，u＝ω＋f，f為真近點(diǎn)角。

式（4）中級數(shù)求和的n應(yīng)取至無窮大，但實(shí)際計(jì)算中常截止到某最高階N。經(jīng)過符號代換，式（4）可寫為［6］

式中，Amk、Bmk為集總系數(shù)，是轉(zhuǎn)換系數(shù)和球諧系數(shù)（αnm和βnm）的線性組合

轉(zhuǎn)換系數(shù)建立了球諧系數(shù)與集總系數(shù)的線性關(guān)系。6個(gè)引力梯度分量對應(yīng)的轉(zhuǎn)換系數(shù)如下［6］

式（5）是SA方法的基本表達(dá)式，是傅里葉級數(shù)的形式，集總系數(shù)Amk和Bmk為傅里葉系數(shù)。SA方法要求使用名義軌道上的觀測值，名義軌道具有3個(gè)特點(diǎn)：軌道為圓形、軌道傾角為常量、軌道受J2項(xiàng)影響而長周期進(jìn)動(dòng)［6－7］，同時(shí)，為便于FFT快速計(jì)算，要求等間隔采樣的觀測值。式（5）中變量u和Λ分別為定義在兩個(gè)不同方向的圓周，其變化范圍均為［0，2π），這兩個(gè)圓周可形成一個(gè)封閉的圓環(huán)，若觀測值均勻分布在該圓環(huán)面上，則可以利用2D－FFT方法解算集總系數(shù)，因此D－FFT對應(yīng)的SA方法稱為Torus方法。

采用Torus方法由GOCE沿軌衛(wèi)星引力梯度觀測值確定地球重力場模型的流程如圖1所示，其中ai表示第i次迭代的集總系數(shù)，Ki＋1為第i次迭代后的球諧系數(shù)。

圖1 利用Torus方法解算GOCE衛(wèi)星重力場模型的流程Fig.1 Flow chart for GOCE satellite gravity field determination using Torus approach

3 試驗(yàn)與分析

選擇2009年11月01日至2009年12月31日，共61d（GOCE衛(wèi)星軌道重復(fù)周期）的SST＿PRD＿2數(shù)據(jù)產(chǎn)品，該產(chǎn)品提供了地固系（earth－fixed reference frame，EFRF）下采樣間隔為10s的簡化動(dòng)力學(xué)軌道，計(jì)算6個(gè)軌道根數(shù)［13，16－17］，確定名義軌道的高度r0＝6 637.655km和傾角I0＝96.628°。由于在地球重力場模型解算中，引力梯度分量Vzz的影響較大，所以僅以該分量為例。

3.1 名義軌道格網(wǎng)引力梯度模擬數(shù)據(jù)

為驗(yàn)證無誤差情況下Torus方法反演地球重力場模型的精度，分別利用EGM2008模型［18］的前60、80、90、110、150和200階次系數(shù)，采用2D－FFT方法由式（5）計(jì)算名義軌道格網(wǎng)點(diǎn)的引力梯度分量Vzz。

利用2D－FFT方法和按次排列的塊對角最小二乘法求解地球重力場模型系數(shù)，并計(jì)算模型的階誤差［19］，如圖2所示，其中60、110、200階模型的球諧系數(shù)誤差譜如圖3所示。僅從階誤差曲線來看，60階模型的階誤差小于10－21，而200階模型的階誤差達(dá)10－16，且隨著模型最高階次的增大，階誤差有增大的趨勢，且階誤差呈現(xiàn)奇偶性的差異。圖3中橫軸中心對應(yīng)的次為0，左右兩邊分別表示ˉSnm和ˉCnm的誤差譜。圖左右兩邊基本對稱，說明同階次的ˉCnm和ˉSnm的誤差基本一致。另外，較大的誤差集中在低次項(xiàng)系數(shù)，這主要是受GOCE任務(wù)極空白的影響［20］，且極空白的影響隨著最高階次的增大而增大，這是導(dǎo)致模型階誤差隨著最高階增加而增大的主要原因。從200階重力場模型的誤差譜可以看出，盡管受到極空白的影響，球諧系數(shù)誤差均小于10－16，說明當(dāng)觀測值滿足Torus方法的理論要求時(shí)可以完全恢復(fù)重力場模型。

圖2 不同階次模型的階誤差比較Fig.2 Comparisons of degree error among different models

圖3 最高階為60、110和200的模型誤差譜Fig.3 Error spectrum of models with maximum degree 60，110and 200

3.2 無誤差的沿軌GOCE衛(wèi)星引力梯度模擬觀測值

Torus方法要求使用圓環(huán)面均勻格網(wǎng)點(diǎn)的觀測值，而GOCE衛(wèi)星的軌道并非圓形，且傾角也不是常數(shù)，為了分析在GOCE衛(wèi)星實(shí)測軌道情況下Torus方法解算地球重力場的能力，利用EGM2008模型前200階次的系數(shù)模擬了局部軌道坐標(biāo)系下的沿軌衛(wèi)星引力梯度分量Vzz，將其作為實(shí)際觀測值，以驗(yàn)證方法的正確性和嚴(yán)密性。

為滿足Torus方法的要求，GOCE衛(wèi)星的沿軌引力梯度觀測值應(yīng)歸算并內(nèi)插至名義軌道的格網(wǎng)點(diǎn)。設(shè)點(diǎn)P為GOCE衛(wèi)星軌道上的任意一點(diǎn)，其軌道高度和傾角分別為h和I，Pt為名義軌道上的點(diǎn)，其軌道高度和傾角分別為常數(shù)h0、I0。利用泰勒級數(shù)展開可以得到Pt點(diǎn)處的引力梯度分量Vij（h0，I0）為［12］

式中，Vij（h，I）為P點(diǎn)的引力梯度分量，下標(biāo)ij表示局部軌道坐標(biāo)系下引力梯度張量的6個(gè)分量（xx，xy，xz，yy，yz，zz），式（8）中引力梯度分量在軌道高度和傾角方向的改正量可以利用式（5）求偏導(dǎo)得到。

表1給出僅考慮引力梯度分量Vzz的情況下61d軌道對應(yīng)的式（8）中6項(xiàng)偏導(dǎo)分量的STD以及它們與Vzz分量的比值。其中，關(guān)于h的偏導(dǎo)分量較大，一階偏導(dǎo)分量達(dá)9.746E，占Vzz分量的3.580×10－3，二階偏導(dǎo)分量達(dá)26.84mE，與Vzz分量的比值為9.681×10－6，三階偏導(dǎo)分量小于1mE；關(guān)于I的偏導(dǎo)分量較小，其中一階偏導(dǎo)分量最大，為1.352mE，僅占Vzz分量的4.969×10－7，二階偏導(dǎo)分量和交叉偏導(dǎo)分量更小。相對于GOCE衛(wèi)星引力梯度分量Vzz中的噪聲而言，軌道高度方向三階以上的偏導(dǎo)分量，以及軌道傾角三階及三階以上的分量均可忽略。

表1 6項(xiàng)關(guān)于h和I的偏導(dǎo)改正量的大小以及與Vzz分量的比值Tab.1 Six derivatives and their percentage of Vzzwith respect to hand I

利用Kriging方法將歸算后的離散Vzz分量內(nèi)插至格網(wǎng)點(diǎn)，其中，半變異函數(shù)模型選用球狀模型，搜索半徑為1°。利用模型 EGM2008前200階次的系數(shù)采用2D－FFT方法模擬格網(wǎng)點(diǎn)的引力梯度值，并計(jì)算格網(wǎng)點(diǎn)引力梯度的差值，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表2，格網(wǎng)點(diǎn)引力梯度差值反映了歸算誤差和格網(wǎng)化誤差的影響，由表2可知Vzz的誤差約為0.110mE，與GOCE衛(wèi)星重力梯度儀精度指標(biāo)（5mE）相比，歸算和格網(wǎng)化的精度滿足要求。

表2 格網(wǎng)點(diǎn)的衛(wèi)星引力梯度觀測值與模擬值的差異Tab.2 Difference between the gridded GOCE satellite gradiometry observations and the simulations E

為了消除歸算誤差并減小格網(wǎng)化誤差，本文選擇EGM96為參考模型，并利用其前200階次的球諧系數(shù)模擬了局部軌道坐標(biāo)系下的沿軌引力梯度參考值（僅指Vzz分量），將殘差格網(wǎng)化，并利用2D－FFT和按次排列的塊對角最小二乘法求解球諧系數(shù)改正量，對參考模型進(jìn)行改正，并將改正后的重力場模型作為新的參考模型進(jìn)行迭代。

3次迭代后，除小于10次的球諧系數(shù)受極空白的影響改正量較大外，其他系數(shù)的改正量小于10－12。圖4和圖5分別顯示了模型的誤差階中值和誤差譜，受低次系數(shù)誤差較大的影響，低階部分的誤差階中值也較大。

圖4 無噪聲情況下模型階中值Fig.4 Degree median of models from simulated noise－free data

圖5 無噪聲情況下模型誤差譜Fig.5 Error spectrum of models from simulated noise－free data

為了分析Torus方法解算模型在不同階的大地水準(zhǔn)面精度，利用式（9）和（10）計(jì)算模型的大地水準(zhǔn)面階誤差和累積誤差

圖6給出了EGM2008模型的大地水準(zhǔn)面信號、無噪聲時(shí)Torus方法解算的重力場模型相對于EGM2008的大地水準(zhǔn)面階誤差和累積誤差。由于次小于10的系數(shù)受極空白影響較大，所以在計(jì)算大地水準(zhǔn)面階誤差和累積誤差時(shí)未考慮低次部分。在格網(wǎng)化誤差的影響下，隨著階的增大，大地水準(zhǔn)面階誤差有增大的趨勢，200階時(shí)階誤差達(dá)到最大值，為0.022mm，累積誤差為0.099mm，遠(yuǎn)小于EGM2008模型的大地水準(zhǔn)面信號。另外，相對于GOCE任務(wù)對大地水準(zhǔn)面的精度要求（1～2cm），格網(wǎng)化誤差基本可以忽略。

圖6 無噪聲情況下模型的大地水準(zhǔn)面階誤差和累積誤差Fig.6 Degree and cumulative geoid error of models from simulated noise－free data

3.3 有誤差的沿軌GOCE衛(wèi)星引力梯度模擬觀測值

為探究含白噪聲時(shí)Torus方法解算地球重力場模型的精度，按照GOCE衛(wèi)星任務(wù)的設(shè)計(jì)要求［1］，在模擬數(shù)據(jù)中加入了功率譜密度為5mE/Hz1/2的白噪聲，然后解算位系數(shù)，需要注意的是，利用無誤差的模擬觀測值解算地球重力場模型時(shí)，迭代可以減小格網(wǎng)化的影響，但當(dāng)觀測值中含5mE/Hz1/2白噪聲時(shí)，噪聲遠(yuǎn)大于格網(wǎng)化誤差，所以不需要迭代。為了與Torus方法的解算結(jié)果作比較，利用相同觀測數(shù)據(jù)，采用空域最小二乘法解算地球重力場模型［21］，圖7顯示了兩種方法解算模型的誤差譜，相比空域最小二乘法，Torus方法受極空白影響相對更大，模型解算的精度略低，特別是140階以內(nèi)，空域最小二乘法的精度明顯更高。與無噪聲的結(jié)果相比，含白噪聲時(shí)誤差大了3～4個(gè)數(shù)量級，同時(shí)，極空白影響的范圍變大，主要是次小于13的系數(shù)誤差較大，誤差隨著階的增大而變大。

圖7 觀測值中含白噪聲時(shí)模型誤差譜Fig.7 Error spectrum of models from observations with white noise

為了進(jìn)一步比較兩種方法的解算精度，分別利用式（9）和式（10）計(jì)算大地水準(zhǔn)面階誤差和累積誤差，其中mmin＝13，計(jì)算結(jié)果見圖8，隨著階的增大，兩種方法解算模型的階誤差和累積誤差不斷增大，Torus方法和空域最小二乘法解算模型的累積誤差曲線分別在約193階和196階處與EGM2008模型曲線相交。受格網(wǎng)化誤差和極空白的影響，Torus方法的大地水準(zhǔn)面階誤差和累積誤差略大于空域最小二乘法，140階以內(nèi)尤為明顯，這與圖7有良好的一致性。Torus模型的階誤差和累積誤差的最大值分別為1.58cm和6.37cm，而空域最小二乘法對應(yīng)的最大值分別為1.45cm和5.55cm。但就計(jì)算效率而言，利用空域最小二乘法解算200階重力場模型，使用106個(gè)CPU同時(shí)計(jì)算，所需時(shí)間約為9.4h，而由于采用了2D－FFT技術(shù)和按次排列的塊對角最小二乘法，使用1個(gè)CPU的情況下，Torus方法僅需要51min，計(jì)算效率大大提高。

目前發(fā)布的GOCE衛(wèi)星重力場模型中，go＿cons＿gcf＿2＿dir＿r1（直接法）和go＿cons＿gcf＿2＿tim＿r1（時(shí)域法）均聯(lián)合采用71d（2009－11－01—2010－01－11）的實(shí)測GOCE衛(wèi)星引力梯度數(shù)據(jù)和衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星數(shù)據(jù)［5］，不考慮次小于13的系數(shù)，計(jì)算兩個(gè)第1代模型的大地水準(zhǔn)面階誤差和累積誤差，結(jié)果見圖8，200階時(shí)，直接解和時(shí)域解的大地水準(zhǔn)面階誤差分別為1.06cm、2.63cm，累積誤差分別為7.00cm、12.27cm。

圖8 觀測值中含白噪聲時(shí)模型的大地水準(zhǔn)面階誤差和累積誤差Fig.8 Degree and cumulative geoid error of models from observations with white noise

4 結(jié) 論

本文在介紹Torus方法解算地球重力場模型的基本原理和方法步驟的基礎(chǔ)上，利用GOCE衛(wèi)星實(shí)測軌道和EGM2008模型，分別模擬了名義軌道上的格網(wǎng)引力梯度值、實(shí)測軌道上無誤差和含5mE/Hz1/2白噪聲的GOCE衛(wèi)星引力梯度觀測值，利用這3類數(shù)據(jù)分別解算了200階次地球重力場模型，分析了無誤差、受格網(wǎng)化誤差影響以及觀測值中含白噪聲3種情況下模型的精度，結(jié)果表明在無誤差的情況下，Torus方法解算模型的精度較高，受極空白的影響，低次項(xiàng)系數(shù)誤差較大，且隨著模型最高階次的增大，階誤差有增大的趨勢。200階模型低階項(xiàng)的階誤差優(yōu)于10－16，隨著階的增大，階誤差減小，200階時(shí)，階誤差僅10－21；觀測值中不含白噪聲的情況下，迭代3次后，受極空白和格網(wǎng)化誤差的影響，次小于10的系數(shù)誤差較大，階中值達(dá)10－10。在不考慮低次系數(shù)的情況下，大地水準(zhǔn)面階誤差隨著階的增大而增大，200階時(shí)，階誤差為0.022mm，累積誤差為0.099mm。觀測值中含有5mE/Hz1/2白噪聲時(shí)，解算模型比無噪聲模型的精度差了3～4個(gè)數(shù)量級。模型的大地水準(zhǔn)面階誤差和累積誤差（未考慮次小于13的系數(shù)）隨著階的增大而增大，200階時(shí)，兩種誤差分別為1.58cm和6.37cm，而空域最小二乘解的誤差分別為1.45cm和5.55cm，受格網(wǎng)化誤差和極空白的影響，Torus方法的誤差略大于空域最小二乘法的誤差，但由于在Torus方法的解算過程中采用了2D－FFT技術(shù)和按次排列的塊對角最小二乘法，在計(jì)算效率方面，Torus方法明顯占優(yōu)。

模擬表明利用Torus方法可以高精度地恢復(fù)地球重力場，為利用GOCE引力梯度觀測值反演地球重力場模型提供了一種獨(dú)立有效的方法，由于采用了二維快速傅里葉技術(shù)和塊對角最小二乘法，極大地提高了解算效率。但受極空白的影響，重力場模型低次項(xiàng)的精度較差，可采用Kaula正則化等方法［22－24］解決。另外，GOCE衛(wèi)星實(shí)測引力梯度數(shù)據(jù)中存在有色噪聲，可采用移動(dòng)恢復(fù)法或維納濾波方法［5，25］進(jìn)行處理。為滿足Torus方法的要求，需將梯度儀坐標(biāo)系下的衛(wèi)星引力梯度觀測值轉(zhuǎn)換至局部軌道坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)換過程中低精度分量會影響高精度分量的精度，可利用先驗(yàn)?zāi)Ｐ突虻庥?jì)算的觀測值代替低精度分量，以減小坐標(biāo)轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的影響。

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