引入結點度的線/面拓撲關系細分方法與應用

周曉光，陳 斐，，陳 軍

1.中南大學地球科學與信息物理學院，湖南 長沙410083；2.國家基礎地理信息中心，北京100036

1 引 言

線/面實體間存在多種拓撲關系，這些關系在空間數(shù)據(jù)建模、分析、查詢、更新與質量控制中起著重要作用。如圖1所示的線狀道路與面狀河流間的沖突檢測中，一般認為道路與河流應為分離關系，如果相交，則可能存在沖突。圖1（a）中彎曲河流（灰色面）與道路（黑色線）間存在4個交，各個交的細分情況又彼此不同：圖1（b）道路穿越河流，圖1（c）道路完全落入河流，圖1（d）道路部分落入河流，圖1（e）道路接觸河流。上述4種線面拓撲關系細分情況對應著不同的處理方法：圖1（b）所示的沖突一般將穿越路段用橋梁替代；圖1（c）可能是由于該道路目標位置信息或編碼信息存在錯誤；圖1（d）在數(shù)據(jù)質量控制時，要對落入河流的路段進行檢測，如果該路段在容差允許范圍內應該將其剪切掉；圖1（e）可能是測量誤差所致，一般對接觸路段簡單移位即可。

圖1 線狀道路與面狀河流間的細分拓撲關系Fig.1 Examples of the refined topological intersection types between lines（roads）and polygons（rivers）

從圖1可看出，一條河流可能與多條道路有交，也可能與一條道路存在多個不同的交。在空間數(shù)據(jù)沖突檢測與處理中，需要檢測出每一個線/面交，并區(qū)分交的細分類型，然后根據(jù)細分類型采取不同的處理方法。

近年來，多位學者在二維空間目標拓撲關系的描述與計算方面開展了大量的研究工作，取得了豐富的研究成果，主要包括基本拓撲關系模型和細分拓撲關系模型兩大類。基本拓撲關系模型用若干個特定變量的不同取值來區(qū)分二元目標間的相離、相接、相交、包含、相等基本拓撲關系類型，代表性模型包括四元組模型［1］，九元組模型［2］，基 于 維 數(shù) 擴 展 的 九 元 組 模 型［3－4］，基 于Voronoi圖的 V9I模型［5－6］，使用目標整體及其Voronoi區(qū)域的VW 方法［7］，基于目標整體交、差結果的歐拉數(shù)的 E－WID 方法［8－12］，基于目標整體的空間邏輯的RCC方法［13－15］等。上述基本拓撲關系模型無法精確區(qū)分如圖1所示的線/面目標間存在多個交的細分類型，難以滿足數(shù)據(jù)質量檢查與處理的應用需求。

為此，多位學者發(fā)展了通過交的順序、類型等分量表達目標間精確拓撲關系的細分拓撲關系模型。在面/面細分拓撲關系方面，文獻［16—17］提出基于邊界/邊界交的細分模型；文獻［8］提出基于目標整體交、差結果的歐拉數(shù)的E－WID模型；文獻［18］提出一種空間拓撲關系進行定量描述的方法。在線/線細分拓撲關系方面，文獻［4］提出一種基于線目標整體交的順序、共線性、類型、連接方向的細分方法。另外，多位學者探索了不確定線/面目標間的拓撲關系問題［20－21］等，但在線/面細分拓撲關系模型研究方面成果有限。

在現(xiàn)有文獻中線/面細分拓撲關系的研究成果主要包括文獻［22］提出的一種通過線目標整體與面目標邊界交的基本拓撲關系來區(qū)分線/面目標間細分拓撲關系的方法。該方法將線/面基本拓撲關系定義為“一條線和一個面邊界相交為0或1次的關系”。根據(jù)該定義他們通過枚舉方法得到了16種基本拓撲關系（包括相離，2種交點類型和13種交線類型，交線類型中又包括3種對稱交線類型，因此實質為10種交線類型）。但是上述16種線/面基本拓撲關系不包括最常見的穿越關系（即一條線和一個面的邊界交于兩個點的關系，如圖1（b）所示），不符合人們的認知習慣。且根據(jù)上述定義，基本交線的劃分不具有唯一性，如圖2中的P1—P2、P3—P4必須被打斷，其基本交線可劃為P1—A1、A1—P2、P2—P3、P3—A2、A2—P4、P4—P5、P5—P6，也可分為P1—A1、A1—B1、B1—A2、A2—B2、B2—P6，或P1—A1、A1—P3、P3—A2、A2—P5、P5—P6等。此外，文獻［19］提出一種線/面拓撲關系的組合推理方法，推導出了97種線/面拓撲關系組合類型；文獻［23］提出了一種用拓撲和度量分量矩陣對線/面關系進行細分描述和計算的方法；這些方法沒有明確定義包含多個交的線面關系中每個交的細分類型與描述方法，因此難以指導線/面目標間的沖突檢測與處理。

圖2 現(xiàn)有線/面基本交線劃分非唯一性Fig.2 An example of non－uniqueness of the line/polygon intersection segment

空間目標間的拓撲關系是客觀存在的，理論上線/面目標間可存在無數(shù)個交，各個交的類型又可能不一樣，因此具有多個交的線/面拓撲關系的組合類型可能是無窮的。人們對拓撲關系的認識是由粗到細、由宏觀到微觀、由淺入深，具有層次性。在宏觀層面對拓撲關系的描述往往包括兩目標是否有交、有幾個交、交的維數(shù)如何、交集對兩目標的作用效果如何等；而微觀層次對拓撲關系的描述則詳細到每個交的具體情況，但目前尚缺少符合認知習慣的線/面拓撲關系層次模型。

本文在基于目標整體交、差結果的歐拉數(shù)的E－WID層次模型［8－10］的基礎上，引入結點度來區(qū)分線/面交的細分拓撲關系類型，提出一種基于結點度的線/面拓撲關系細分方法。

2 結點度的引入

E－WID層次模型如式（1）、式（2）所示，能夠計算基礎拓撲關系和部分細分拓撲關系。在粗分層次采用式（1）所示目標整體交、差結果的維數(shù)和歐拉數(shù)來描述兩目標是否有交、交的個數(shù)、維數(shù)及交對兩目標的分割效果；在細分層次上，則通過式（2）所示每個交的維數(shù)、類型及順序來表達目標間拓撲關系的細分情況

式（1）中，A、B分別表示面和線，符號“∩”、“＼”分別表示交、差運算，A∩B、A＼B、B＼A分別表示A與B的3種集合運算與fE分別表示運算結果的維數(shù)與歐拉數(shù)，其中A∩B的運算結果可能包括空、純點、純線和點/線混合情況；B＼A的運算結果可能為空集或線集，A＼B的運算結果一般為面集。因此的取值范圍為｛－1、0、1、2、3｝，分別表示結果為空（?）、0維（點）、1維（線）、2維（面）、0維點和1維線組合情況等。fE表示結果的歐拉數(shù)。

式（2）中，Ni（N1，N2，…，Nm）表示交的編號；Di（D1，D2，…，Dm）表示交的維數(shù)；Ti（T1，T2，…，Tm）表示交的類型［8］。式（2）通過單元交的順序與類型來區(qū)分兩者的細分拓撲關系。

在拓撲學中，兩個閉集的差可能為開集。一般認為GIS中的拓撲為應用拓撲，空間目標為封閉目標（閉集），其交、差運算結果集合中的目標仍為封閉目標（閉集）。圖3說明本文線/面目標整體交、差運算操作的結果。設圖3（a）為面目標A與線目標B的拓撲關系，則A∩B、A＼B、B＼A的結果分別如圖3（b）、圖3（c）、圖3（d）所示。

圖3 面目標A與線目標B間交、差集合操作的定義Fig.3 The definitions of the two set operations（intersection and difference）between polygon Aand line B

式（2）中的0維交點的類型易于區(qū)分。如圖4所示，設A、B為待求拓撲關系的面和線目標，IP表示A、B的交點。IP僅包括在端點相交和在中間點相交兩種類型，通過fE（B＼IP）的值即可區(qū)分。fE（B＼IP）＝1，交點為B的端點；fE（B＼IP）＝2，交點為B的中間點。

圖4 線/面交點類型定義Fig.4 The definition of the topological intersection point types

交線的情況則復雜得多，當交線多次穿越面時（圖2），單元交線的定義就存在異議。圖2中，設A為一湖泊，B為志愿者的行車軌跡。若將行車軌跡繪制為道路，根據(jù)經(jīng)驗，P1—P2、P3—P4可能為跨湖橋梁；P2—P3、P4—P5可能為沿湖道路，P5—P6可能為碼頭等，都可能為獨立單元。可將A、B的交集打斷為P1—P2、P2—P3、P3—P4、P4—P5、P5—P65段單元交線。這些單元交線或完全位于面的內部，或完全位于面的邊界上，或端點位于面的邊界上、其余點全位于面的內部。為了保障基本交線的唯一性，本文對線/面單元交線定義如下：

定義：線/面單元交線為完全位于面的內部，或完全位于面的邊界上，或僅有1—2個端點位于面的邊界上其余點全在面的內部的連續(xù)線段，線/面交線與面目標邊界的交點必為單元交線的端點。

此外，即使參照面/面二維交細分類型區(qū)分方法，采用兩目標與某個交的差的歐拉數(shù)來區(qū)分該交的細分類型［8］，即如IL為A、B的某個單元交線，則可通過A、B與該交線IL的差的歐拉數(shù)，即fE（A＼IL）和fE（B＼IL）的取值來區(qū)分該交線的細分類型。但該方法不能區(qū)分如圖5所示的兩對單元交線圖5（a）和圖5（b）及圖5（c）和圖5（d）的類型。

圖5 fE（A＼IL）和fE（B＼IL）的取值不能區(qū)分的單元交線類型Fig.5 The undistinguishable units intersection segment using fE（A＼IL）and fE（B＼IL）

仔細分析圖5中的（a）與（b）及（c）與（d）這兩對單元交線，發(fā)現(xiàn)盡管交線對A、B的分割效果完全相同，即fE（A＼IL）和fE（B＼IL）的取值完全相同，但其端點連通狀況完全不同。在拓撲學和圖論中有一個反映結點連通狀況的指標——結點的度（或次）。

拓撲學將平面圖定義為：圖G是由點集V和邊集E構成的集合，記為G＝（V，E），其中點集和邊集分別表示為：V＝｛v1，v1，…，vn｝，vi也稱為頂點、端點或結點；E＝｛e1，e1，…，en｝，ei可以是邊（沒有方向），也可以是弧（有方向）。

與點vi關聯(lián)的邊數(shù)稱為該點的度（或次），記為deg（v）。其中度為0（deg（v）＝0）的點為孤立點；度為1（deg（v）＝1）的點為懸掛點（即線段端點）；度為2（deg（v）＝2）的點為線段中間點；度大于或等于3（deg（v）≥3）的點為結點［24－25］。如圖6所示，圖6（a）中的交線端點P1、P2的度分別為1和3；圖6（b）中的交線端點P1、P2的度均為2；圖6（c）中的交線端點P1、P2的度分別為2和3；圖6（d）中的交線端點P1、P2的度分別為1和4。

圖6 用結點度區(qū)分圖5所示的單元交線類型Fig.6 Discriminating the unit intersection segment using node－degree

由此可見，在線/面交中引入結點的度（或次）有助于判斷線/面單元交線的細分類型。另外，引入結點度后不難發(fā)現(xiàn)，盡管線/面交點類型可通過fE（B＼IP）的值來區(qū)分，但用交點度來區(qū)分更為簡單、直接，設交點為P，deg（P）＝3，則P為B的端點；deg（P）＝4，P為B的中間點。因此，本文采用結點度來區(qū)分線/面交點、交線的細分類型。在E－WID模型的式（2）中引入結點度來區(qū)分線/面交的細分類型：設交線的兩個端點為P1、P2，則交線類型ti可用（deg（P1），deg（P2））來區(qū)分；設交點為P，交點的類型ti可用（deg（P））來區(qū)分。

3 基于結點度的線/面單元交線類型細分

引入結點度后，線/面單元交線的兩個端點P1、P2的度分別包括｛1，2，3，4｝4種可能取值，共包括16種可能組合情況。剔除其中無意義及對稱的取值，可得到8種有意義的端點度組合情況，即單元交線端點度分別為（1，1）、（1，3）、（1，4）、（2，2）、（2，3）、（3，3）、（3，4）、（4，4）。

這一方法可以完全區(qū)分端點度組合為（1，1）、（2，2）的基本交線，而端點度包含3與4的基本交線仍然不能被詳細區(qū)分。例如，端點度為（1，3）、（2，3）、（1，4）的基本交線包含圖7（a）與圖7（b）、圖7（c）與圖7（d）、圖7（e）與圖7（f）3組不同的細分拓撲類型。觀察分析得出3組之間的差異，主要是由度為3或4的端點引起的。圖7（a）與圖7（b）的差異是交線端點P2是否是線目標B的端點，圖7（c）與圖7（d）、圖7（e）與圖7（f）中的差異是與P2相連的線段在多邊形A的內部還是外部。究其原因，度為3或4的端點既可能是線的端點，又可能存在相連線段，而相連線段與面的拓撲關系又存在多種情況，這些都導致了端點度包含3與4的基本交線更加復雜，而度為1或2的端點通常都是線目標的端點，不存在相連線段，所以度為（1，1）、（2，2）的基本交線具有唯一性。

因此，為了進一步區(qū)分采用端點度仍不能區(qū)分的基本交線類型，需要對存在度大于等于3的端點的交線類型進一步細分。本文根據(jù)此類交線是為線目標的端點還是中間點來進一步細分。如該點為線目標端點，則B中不存在與之相連的線段，用“null”表示；如該點為線目標中間點，則B中存在相連線段，相連線段與面目標A的拓撲關系仍存在在內部（interior）、在外部（exterior）或在邊界上（on－boundary）3種類型。

圖7 用結點度仍不能區(qū)分的單元交線類型舉例Fig.7 Examples of the undistinguishable unit intersection segment using node－degree

因此本文在8種有意義的交線端點度組合情況的基礎上，對度為3和4的交線端點再次細分，用null、on－boundary、interior、exterior分別表示不存在相連線段、相連線段位于面的邊界、內部和外部4種情況，組合得到有實際意義的21種線/面單元交線類型，如圖8所示。

圖8 21種有意義的線/面單元交線類型Fig.8 21refined topological intersection types between lines and polygons

4 比較分析與含多個交的線/面細分拓撲關系層次描述舉例

將圖8所示的21種有意義的線/面單元交線類型與文獻［22］的定義線/面基本拓撲關系（后文稱為現(xiàn)有方法）比較不難發(fā)現(xiàn)，兩種方法主要存在如下3點區(qū)別：

（1）基本拓撲關系（單元交線）定義不同：現(xiàn)有方法將線/面基本拓撲關系定義為“一條線和一個面邊界相交為0或1次的關系”；本文將線/面單元交線定義為“完全位于面的內部，或完全位于面的邊界上，或僅有端點位于面的邊界上其余點全在面內部的連續(xù)線段”。根據(jù)上述定義，前一種方法的基本拓撲關系不包含最常見的穿越關系，且基本交線劃分具有非唯一性。本文單元交線包含穿越交線，且單元交線劃分具有唯一性，符合人們的認知習慣。

（2）在區(qū)分能力方面，本文基于結點度的線/面單元交線包括圖8所示的21種類型，其中包含了現(xiàn)有方法所定義的10種基本交線類型，更豐富了兩端點都在面的邊界上的穿越交線類型。

（3）在描述方法方面，基于結點度的線/面單元交線可通過交線端點的結點度和null、onboundary、interior、exterior 4個謂詞來區(qū)分，現(xiàn)有方法通過定義基本交線順序號來區(qū)分，不便于交流。

從上述分析可看出，本文方法與現(xiàn)有方法相比，在基本交線類型的定義、區(qū)分能力與描述方法方面都具有明顯優(yōu)勢。下面舉例說明含多個交的復雜線/面拓撲關系的層次描述方法。

采用式（1）、式（2）所示的E－WID層次模型、圖8所示的21種線/面單元交線類型和上述交點類型可以詳細表達出簡單線/面目標之間的任意復雜拓撲關系。下面以圖9為例來說明詳細描述方法。圖9（a）、圖9（b）都包含5個交，交的維數(shù)都包含0維點和1維線，A＼B和B＼A的維數(shù)和歐拉數(shù)都相同，因此R1所示的6元組完全相同。但圖9（a）、（b）中的2、3、4所示3個交的類型卻不一樣，用結點度和“null、on－boundary、interior、exterior”（分別簡寫為N，D，I，E）4個謂詞可將這些交點、交線類型完全區(qū)分開來。

圖9 本文方法區(qū)分復雜線/面細分拓撲關系示例Fig.9 Examples of refined complex line/polygon topological relations distinguished by the proposed model

5 線/面細分拓撲關系應用舉例

為了驗證本文線/面拓撲關系細分模型與方法的有效性，以線狀道路與面狀河流為例分析了21種線/面單元交線與2種交點類型的可能沖突類型及相應處理方法（可包含多種），發(fā)展了一套基于細分拓撲關系的沖突檢測與自動（半自動）化處理規(guī)則。采用自動檢測沖突類型、根據(jù)沖突類型提供人機交互選擇自動修正處理方法的模式，在課題組已開發(fā)出的增量采編原型系統(tǒng)上，用Visual Studio 2008的C＃編程開發(fā)了線/面拓撲關系的細分計算與基于細分關系的道路、面狀河流沖突檢測與處理原型系統(tǒng)，并用如圖10所示的實際數(shù)據(jù)驗證了其有效性。

圖10是一幅從OpenStreetMap（OSM）上下載的老撾萬象地區(qū)的道路與水系地形圖（圖1（a）為圖10紅色方框的局部放大圖）。圖中紫色線狀實體為道路，藍色面狀實體為面狀水體。用本文方法檢測出兩個圖層存在的圖8中的a類交4個、c類交1個、d類交15個、g類交1個、j類交1個、o類交9個、p類交12個、t類交2個。試驗證明本文方法能夠提高沖突檢測與處理效率。

圖10 基于結點度的線/面細分拓撲關系應用Fig.10 An applied example of node－degree based line/polygon topological relationship refinement model

6 結論與討論

線/面細分拓撲關系在空間數(shù)據(jù)更新、質量檢查與分析應用中具有重要作用，但現(xiàn)有的線/面細分拓撲關系模型在基本交線定義、區(qū)分能力與描述方法等方面都存在不足。本文針對上述問題，在基于目標整體交、差結果的歐拉數(shù)的E－WID層次模型的基礎上，引入結點度來區(qū)分線/面交的細分拓撲關系類型，提出了一種基于結點度的線/面拓撲關系細分方法。該方法以單元交線的端點度為基礎，結合線目標在度為3和4的交線端點處是否有相連線段、相連線段位于多邊形的邊界上、內部和外部（分別用null、on－boundary、interior、exterior表示）4個謂詞，推導出21種線/面單元交線類型。通過比較分析本文方法與現(xiàn)有方法，闡明了本文方法在單元交線劃分、區(qū)分能力與描述方法等方面都優(yōu)于現(xiàn)有方法。舉例說明了在E－WID層次模型下用21種線/面單元交線類型和基于結點度的交點類型詳細描述簡單線/面目標之間任意復雜拓撲關系的方法，最后以實際數(shù)據(jù)驗證了本文方法在空間數(shù)據(jù)質量檢查與處理中的有效性。

應該說明的是，本文基于結點度的線/面拓撲關系細分方法是對基于目標整體交、差結果的歐拉數(shù)的E－WID層次模型的補充和發(fā)展。另外，交線端點的度同樣可用來描述線目標間單元交線的細分類型。由于E－WID層次模型和本文基于結點度的交線細分方法中所用的集合操作（交、差）和拓撲不變量（歐拉數(shù)和結點度）都可用于三維空間，因此基于目標整體交、差結果的歐拉數(shù)和結點度的三維拓撲關系模型將是本文的后續(xù)研究工作。

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