淺談數(shù)學(xué)期望與經(jīng)濟(jì)決策的關(guān)系及其應(yīng)用

劉迪佳

（渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121000）

0 引言

任何一個(gè)學(xué)科或領(lǐng)域的發(fā)展都離不開數(shù)學(xué)這一重要工具的支持。改革開放以來，我國(guó)經(jīng)濟(jì)取得了高速發(fā)展，社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域都取得了長(zhǎng)足進(jìn)步。在此過程中，數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的地位越來越重要，所發(fā)揮出的作用也愈來愈大。在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，能夠作出科學(xué)而高效的決策，與數(shù)學(xué)是密不可分的，這其中數(shù)學(xué)期望值就發(fā)揮出了重要的作用?；诖?，本文即對(duì)數(shù)學(xué)期望值與經(jīng)濟(jì)決策的關(guān)系作一簡(jiǎn)單分析，并從實(shí)際例子出發(fā)，闡述了數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用過程。

1 數(shù)學(xué)期望的概念

概率論是數(shù)學(xué)的重要組成部分，它通過對(duì)事物的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析來掌握事物的變化規(guī)律。數(shù)學(xué)期望是概率論中的概念，又稱均值或數(shù)學(xué)期望值。在概率論中，通過求解隨機(jī)變量分布函數(shù)，來從統(tǒng)計(jì)上描述隨機(jī)變量的變化特征。如離散型隨機(jī)變量的期望值為每次試驗(yàn)中隨機(jī)變量的出現(xiàn)概率及其結(jié)果的綜合。數(shù)學(xué)期望反映的是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)特征，它代表的是隨機(jī)變量在總體取值中的平均水平。根據(jù)隨機(jī)變量的取值規(guī)律，數(shù)學(xué)期望分為了連續(xù)性和離散型兩種。

1.1 連續(xù)型

如果隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（x）可表示成一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)f（x）的積分，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。若隨機(jī)變量X的概率密度為函數(shù)F（x），且有 絕對(duì)收斂，則將這個(gè)積分值稱為X的數(shù)學(xué)期望。

1.2 離散型

如果隨機(jī)變量的取值是有限個(gè)或至多可列個(gè)值，則這個(gè)變量稱為離散型隨機(jī)變量。若離散型隨機(jī)變量X的取值為xi時(shí)的概率為pi，且其積的和是絕對(duì)收斂的，那么這個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望即為E（X）=。

如果對(duì)象是隨機(jī)變量函數(shù)，即隨機(jī)變量是ε，為離散型隨機(jī)變量，η=g（ε）為隨機(jī)變量函數(shù)，且為連續(xù)實(shí)函數(shù)，其概率值的分布為p（ε=xi）=pi（i=1，2，3......），若存在絕對(duì)收斂級(jí)數(shù) ，則將這個(gè)級(jí)數(shù)成為隨機(jī)變量函數(shù) η =g（ε）的數(shù)學(xué)期望，記為 。

2 數(shù)學(xué)期望與經(jīng)濟(jì)決策的關(guān)系

2.1 數(shù)學(xué)期望為經(jīng)濟(jì)決策提供了工具

作為經(jīng)濟(jì)活動(dòng)主體的企業(yè)，在其從事的各項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的過程中，常常需要企業(yè)管理者在各類條件和選擇中作出決策，對(duì)于一些簡(jiǎn)單問題，僅僅需要企業(yè)管理者憑借經(jīng)驗(yàn)或企業(yè)的經(jīng)營(yíng)情況來確定決策。

但在面對(duì)一些復(fù)雜的情況時(shí)，卻需要企業(yè)管理者基于大量的數(shù)據(jù)來進(jìn)行縝密的分析和研究后作出決策，而數(shù)學(xué)期望則可以為企業(yè)的管理者提供數(shù)學(xué)分析的工具，來幫助企業(yè)計(jì)算數(shù)據(jù)進(jìn)而得出答案，幫助管理者作出相應(yīng)的決策。

2.2 數(shù)學(xué)期望提高了經(jīng)濟(jì)決策的效率

企業(yè)管理者在管理企業(yè)的過程中，大多數(shù)時(shí)候所面對(duì)的是復(fù)雜的問題，需要管理者對(duì)企業(yè)的宏觀經(jīng)營(yíng)情況和微觀情況進(jìn)行了解和把握，不僅需要耗費(fèi)大量的時(shí)間，而且也需要管理者投入較多的精力去思考和判斷，這就使得在一些決策確定后已經(jīng)耽誤了市場(chǎng)先機(jī)，使企業(yè)陷入被動(dòng)。

而將數(shù)學(xué)期望的方法引入到企業(yè)的決策中來，則能夠通過數(shù)學(xué)計(jì)算，甚至計(jì)算機(jī)輔助工具，高效地得出數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果，進(jìn)而幫助企業(yè)管理者確定方案，極大地提高了決策的效率。

2.3 數(shù)學(xué)期望促進(jìn)了經(jīng)濟(jì)決策的科學(xué)性

知識(shí)來源于人類的實(shí)踐活動(dòng)，是人類對(duì)事物規(guī)律的科學(xué)認(rèn)識(shí)，而反過來通過在實(shí)踐中運(yùn)用知識(shí)，又能能動(dòng)地改造客觀的世界，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科來說，其最大的價(jià)值就是運(yùn)用事物的規(guī)律來幫助人們提高實(shí)踐活動(dòng)的科學(xué)性。

在現(xiàn)實(shí)生活中，企業(yè)管理者常常是在感性思考和分析的基礎(chǔ)上作出決策，這就使得一些決策在執(zhí)行的時(shí)候，往往出現(xiàn)很多的不合理性，由此導(dǎo)致決策失誤，影響企業(yè)的正常運(yùn)營(yíng)，而將數(shù)學(xué)期望的方法引入到?jīng)Q策的過程之中，則可以使企業(yè)管理者基于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)上，得出科學(xué)、準(zhǔn)確的結(jié)果，進(jìn)而依據(jù)計(jì)算結(jié)果做出相應(yīng)的決策，大大地實(shí)現(xiàn)了科學(xué)決策、理性決策。

3 數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用步驟

將數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用通常需要經(jīng)過以下幾個(gè)步驟：

第一，確定要決策的目標(biāo)。將需要分析得出的目標(biāo)結(jié)果選定，進(jìn)而綜合各方面的因素，在相關(guān)條件的約束下，選定出多種可行的備選方案。

第二，分析因素，計(jì)算概率。對(duì)各個(gè)備選方案中可能對(duì)目標(biāo)結(jié)果產(chǎn)生影響的可控性因素和不可控因素進(jìn)行全面分析，將不可控因素進(jìn)行羅列，而后通過數(shù)學(xué)方法來計(jì)算各種不可控因素的出現(xiàn)概率。

第三，預(yù)測(cè)收益值。在得出各個(gè)不可控人為因素概率的基礎(chǔ)上，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法來預(yù)測(cè)各個(gè)備選方案在實(shí)際的環(huán)境中可能取得的收益值，并將收益值和相應(yīng)的概率進(jìn)行對(duì)應(yīng)、列表，進(jìn)而得出基于預(yù)測(cè)收益值和概率值的直觀收益矩陣表。

第四，計(jì)算期望，確定最佳方案。以直觀的收益矩陣表為數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式分別計(jì)算各方案的期望收益值，進(jìn)而通過比較計(jì)算得出的結(jié)果來確定最佳的決策方案，并在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中依照最佳的決策方案執(zhí)行。

4 數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)決策中應(yīng)用的案例

在實(shí)際的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)期望值與經(jīng)濟(jì)決策有著諸多聯(lián)系，如上文所述，數(shù)學(xué)期望值的求解不僅為經(jīng)濟(jì)決策提供了方法和參考的工具，更提高了經(jīng)濟(jì)決策的效率、促進(jìn)了經(jīng)濟(jì)決策的科學(xué)性。例如在幫助企業(yè)制定最佳的產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃、輔助超市確定最優(yōu)的貨品進(jìn)貨數(shù)量、計(jì)算企業(yè)的最大化利潤(rùn)等等問題中，數(shù)學(xué)期望的方法發(fā)揮出了重要的作用。下面即通過實(shí)際的例子來闡述數(shù)學(xué)期望值在經(jīng)濟(jì)決策中的運(yùn)用。

4.1 數(shù)學(xué)期望在企業(yè)選擇最佳生產(chǎn)量中的應(yīng)用

在生產(chǎn)類型企業(yè)之中，企業(yè)經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查和分析后，一般會(huì)作出多種生產(chǎn)方案和計(jì)劃，進(jìn)而依據(jù)市場(chǎng)需求的未來趨勢(shì)和客戶訂單量確定企業(yè)自身的產(chǎn)品生產(chǎn)量。企業(yè)能否科學(xué)準(zhǔn)確地確定最優(yōu)的生產(chǎn)方案，將直接關(guān)系著企業(yè)的生產(chǎn)成本和經(jīng)營(yíng)收益。因此，企業(yè)管理者常常利用數(shù)學(xué)期望的方法來分析不同的生產(chǎn)方案，依據(jù)數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果來比較各個(gè)方案的收益或損失，進(jìn)而確定最佳生產(chǎn)量的方案。

例如：在某運(yùn)動(dòng)鞋生產(chǎn)企業(yè)中，企業(yè)管理者為了確定企業(yè)在未來5年內(nèi)各個(gè)款式運(yùn)動(dòng)鞋的生產(chǎn)數(shù)量，以便及早地安排生產(chǎn)線和材料供給，企業(yè)管理者根據(jù)過去的銷售統(tǒng)計(jì)資料，以及企業(yè)對(duì)于未來市場(chǎng)的預(yù)測(cè)，得出未來企業(yè)的運(yùn)動(dòng)鞋實(shí)現(xiàn)銷量上漲、銷量穩(wěn)定、銷量下滑的概率分別為0.3、0.5、0.2。如果企業(yè)將生產(chǎn)量分為大批量（500萬雙）、中等批量（400萬雙）、小批量（300萬雙）3個(gè)批量進(jìn)行投產(chǎn)，則每種批量在未來5年的銷量走勢(shì)的益損值分別為：大批量（18、12、-4）；中等批量（10、15、10）；小批量（6、8、8）。 試問企業(yè)該選擇哪種生產(chǎn)方案？

分析求解過程：在這個(gè)案例中，對(duì)于每個(gè)生產(chǎn)批量總的益損值我們未知，但可以通過求解數(shù)學(xué)期望的方法求得，為此，可以設(shè)大批量、中等批量和小批量的益損值分別為x1，x2，x3，則其數(shù)學(xué)期望分別為：E（x1）=10.6，E（x2）=12.5，E（x3）=7.4，通過對(duì)三種生產(chǎn)批量的期望值進(jìn)行比較可以得出，企業(yè)選擇中批量進(jìn)行投產(chǎn)最為科學(xué)。

4.2 數(shù)學(xué)期望在超市確定最優(yōu)庫存量中的應(yīng)用

某超市在國(guó)慶期間要上架一款進(jìn)口的應(yīng)季水果，現(xiàn)該款水果的進(jìn)貨價(jià)為65元/kg，超市的售價(jià)為70元/kg，根據(jù)超市的銷售規(guī)則，如果該款水果供大于求，則容易導(dǎo)致水果過期，需要及時(shí)削價(jià)20%進(jìn)行處理；如果該款水果銷售出現(xiàn)供不應(yīng)求現(xiàn)象，則超市將會(huì)被處以10元/kg的罰款?，F(xiàn)已知消費(fèi)者對(duì)于該款水果的購(gòu)買需求量為X，其在[20000，80000]這一區(qū)間服從均勻分布，試問，在國(guó)慶期間，超市應(yīng)該如何確定該款水果的庫存量，以實(shí)現(xiàn)銷售利潤(rùn)的最大化？

分析求解過程：從該案例可以得知，求解的對(duì)象為超市對(duì)于該款水果的庫存量，可以設(shè)庫存量為M，消費(fèi)則的需求量為X，則超市的利潤(rùn)函數(shù)為：

需求量X的密度函數(shù)為：

由此可得期望利潤(rùn)為：

由此，當(dāng)超市的該款水果庫存量為57500kg時(shí)，超市將獲得最大期望利潤(rùn)。

5 結(jié)語

數(shù)學(xué)期望的方法在經(jīng)濟(jì)決策中還有很多的應(yīng)用，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，越來越多的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)將需要借助數(shù)學(xué)工具來求解最優(yōu)化的結(jié)果，但需要注意的是，通過數(shù)學(xué)期望的方法來求得的結(jié)果應(yīng)當(dāng)作為企業(yè)管理者進(jìn)行決策的一項(xiàng)參考，在實(shí)際的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，企業(yè)管理者仍應(yīng)當(dāng)綜合考慮市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)、政策變化等多種因素，只有在辯證且全面地權(quán)衡利弊之后，才能作出有利于企業(yè)發(fā)展的決策。

［1］熊建華.概率論在幾個(gè)經(jīng)濟(jì)生活問題上的應(yīng)用[J].價(jià)值工程,2014(35).

［2］拉窮.數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)便應(yīng)用[J].價(jià)值工程,2014(35).

［3］姚明方.數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)及決策中的重要性及其運(yùn)用[J].才智,2014(25).