淺談在分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的解決問題教學(xué)中如何解決“單位1”

趙永恒

【摘 要】分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的解決問題是小學(xué)高年級數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重點教學(xué)內(nèi)容。

【關(guān)鍵詞】已知乘未知除；多加少減；量率對應(yīng)

在西師版六年級數(shù)學(xué)的分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的解決問題教學(xué)中，找單位“1”這類型的題目是學(xué)生常遇到的難點問題，教會學(xué)生如何正確解答這類題就顯得十分重要。只有在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生找準(zhǔn)單位“1”，相關(guān)的問題就會迎刃而解。解答時一定要讀準(zhǔn)題目的關(guān)鍵詞或關(guān)鍵句，找準(zhǔn)單位“1”，然后根據(jù)題意，采用“已知乘未知除，多加少減，量率對應(yīng)”，有關(guān)單位“1”的解決問題，就會輕松應(yīng)對。筆者認(rèn)為可以從以下幾方面進(jìn)行具體教學(xué)：

一、怎么找準(zhǔn)單位“1”

1.抓“關(guān)鍵詞”

分?jǐn)?shù)應(yīng)用題常常出現(xiàn)一些比較熟悉的關(guān)鍵詞，如“是”、“比”、“占”、“相當(dāng)于”……一般這些關(guān)鍵詞后面的數(shù)量就是單位“1”的量，這樣學(xué)生就可以抓住這些關(guān)鍵詞很快找出單位“1”。

例如，甲是乙的3/4。在這關(guān)鍵句中，很明顯是以乙為標(biāo)準(zhǔn)，甲和乙相比較，也就是說乙是單位“1”。

又如，數(shù)學(xué)書的數(shù)量相當(dāng)于英語書的數(shù)量5/2倍。那么“相當(dāng)于”后面的“英語書的數(shù)量”就是標(biāo)準(zhǔn)量，也就是單位“1”。

男老師占女老師的八分之三，女老師是單位 “1”。三好學(xué)生是全班學(xué)生的八分之一，全班學(xué)生是單位“1”。

再如，六年級學(xué)生比五年級學(xué)生多 1/3，五年級學(xué)生是單位“1”。

2.理解局部和整體的關(guān)系

所有的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題都有關(guān)鍵詞嗎？并不是這樣，這時沒有關(guān)鍵詞怎么辦呢？在同一整體中，部分?jǐn)?shù)和總數(shù)作比較關(guān)系時，部分?jǐn)?shù)通常作為比較量。而總數(shù)則作為標(biāo)準(zhǔn)量，也就是單位“1”。

例如，小張家有30千克面粉，吃了2/7，吃了多少千克？很容易看出，小張家面粉的“總面粉的重量”是總數(shù)，“吃掉的面粉量”是部分?jǐn)?shù)，所以30千克面粉就是單位“1”。由此可看出解答這類分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時，如果我們找準(zhǔn)部分?jǐn)?shù)和總數(shù)，那么很容易確定單位“1”了。

3.對關(guān)鍵句理解消化，找出原來的量

如果我們遇到既沒關(guān)鍵詞，又沒總數(shù)作為單位“1”，這個時候又怎么辦呢？這類分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的單位“1”也不難找，只要找出關(guān)鍵句，理解關(guān)鍵句解題就好辦了。

例如，水結(jié)成冰后體積增加了1/11，冰融化成水后，體積減少了1/10。像這樣的水和冰兩種數(shù)量到底誰作為單位“1”？兩句關(guān)鍵句的單位“1”是不是相同呢？用上面講過的兩種方法不容易找出單位“1”。其實我們只要看，原來的數(shù)量是誰？這個原來的數(shù)量就是單位“1”！例如水結(jié)成冰，原來的數(shù)量就是水，那么水的體積就是單位“1”；冰融化成水，原來的數(shù)量是冰，所以冰的體積就是單位“1”。

二、對單位“1”的巧用

1.已知乘未知除

找準(zhǔn)單位“1”后，看看單位“1”所代表的數(shù)量，已知還是未知。單位“1”所代表的數(shù)量已知就用乘法，單位“1”所代表的數(shù)量未知，就用除法。都是數(shù)量在前，分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)在后。

例如，

（1）桃樹是蘋果樹的1/3，桃樹有90棵，蘋果樹有多少棵？

（2）桃樹是蘋果樹的1/3，蘋果樹有90棵，桃樹有多少棵？

這兩道題中，非常明顯，單位“1”都 是蘋果樹，而（1）題中的單位“1” 蘋果樹未知，所以就用90除以1/3得270棵；而（2）題中的單位“1” 蘋果樹已知，所以就用90乘以1/3得30棵。

2.多加少減

找準(zhǔn)單位“1”后，比單位“1”所代表的數(shù)量多就用1加多的分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)； 比單位“1”所代表的數(shù)量少就用1減少的分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)；再用“已知乘未知除”的妙法，就能輕而易舉的解決這類問題。

例如，

（1）榮昌縣大建中心校六年級同學(xué)開展摘瓜社會實踐活動，共摘了南瓜600個，摘的冬瓜比南瓜多1/3，這次活動共摘冬瓜多少個？

（2）榮昌縣大建中心校六年級同學(xué)開展摘瓜社會實踐活動，共摘了南瓜600個，摘的冬瓜比南瓜少1/3，這次活動共摘冬瓜多少個？

（3）榮昌縣大建中心校六年級同學(xué)開展摘瓜社會實踐活動，共摘了南瓜600個，摘的南瓜比冬瓜多1/3，這次活動共摘冬瓜多少個？

（4）榮昌縣大建中心校六年級同學(xué)開展摘瓜社會實踐活動，共摘了南瓜600個，摘的南瓜比冬瓜少1/3，這次活動共摘冬瓜多少個？

對于這四道題，（1）題“多1/3”就是“1加1/3”， 南瓜是單位“1”， 已知，用乘法，所以列式為：600×（1+1/3）；（2）題“少1/3”就是“1減1/3”， 南瓜是單位“1”， 已知，用乘法，所以列式為：600×（1-1/3）；（3）題“多1/3”就是“1加1/3”， 冬瓜是單位“1”， 未知，用除法，所以列式為：600 ÷（1+1/3）； （4）題“少1/3”就是“1減1/3”， 冬瓜是單位“1”，未知，用除法，所以列式為：600 ÷（1-1/3）。

妙法一、二結(jié)合，問題就是這樣簡單。

3.量率對應(yīng)

學(xué)生在解答復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時，常因量率不對應(yīng)而導(dǎo)致出錯。我們所說的“量率對應(yīng)”，就是在部分?jǐn)?shù)和總數(shù)的關(guān)系中，部分?jǐn)?shù)的數(shù)量，一定要與表示部分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)相對應(yīng)。然后，用數(shù)量初一分率，就可以了，這就是量率對應(yīng)原則。運(yùn)用這個原則，解題思路非常清晰，解題方法非常簡便，學(xué)生非常容易理解、掌握。

例如，

（1）一桶油，用去它的3/5，用去了18千克，這桶油重多少千克？

這里的單位“1”是一桶油，用去的部分用分?jǐn)?shù)表示是3/5，用數(shù)量表示是18千克，它們是表示對應(yīng)的相同的一部分，將就用“量”除以“率”。列式：18÷3/5=30（千克）。

（2）六年級二班參加興趣小組的人數(shù)占全班人數(shù)的40%，有30名同學(xué)沒有參加，開學(xué)后又有18名同學(xué)參加了興趣小組，現(xiàn)在參加興趣小組的人數(shù)占全班的百分之幾？endprint

題中告訴我們原來參加興趣小組的人數(shù)占全班人數(shù)的40%，而30人沒有參加，由此我們就可以求出原來沒有參加興趣小組人數(shù)占全班的（1-40%），根據(jù)已知的量和對應(yīng)的分率，那就可以求出全班人數(shù)，我們迎來了“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的喜人結(jié)果，那問題的解決就輕而易舉了。其實，本題的突破口還是圍繞著求總?cè)藬?shù)來展開的，那我們就要能注重量與對應(yīng)分率的探求。

解答：30÷（1-40%）

=50（人） ……全班人數(shù)

50-30+18=38（人） ……現(xiàn)在參加興趣小組人數(shù)

38÷50=76%

答：現(xiàn)在參加興趣小組的人數(shù)占全班的76%。

有一袋面粉，第一周吃了60%，第二周吃了15千克，還剩9千克，這袋面粉原重多少千克？

這里的單位“1”是一袋面粉的整體。60%這個“率”，既不與“15千克”對應(yīng)，也不與“9千克”對應(yīng)，更不與它們的和對應(yīng)。只能找“15千克”與“9千克”的和相對應(yīng)的“率”，

就是單位“1”減去吃了的60%。根據(jù)“量率對應(yīng)”原則，列式應(yīng)該是：（15+9）÷（1-60%）=60（千克）

4.工程問題

在工作總量不是具體數(shù)量的問題中，常常把工作總量看作單位“1”，用單位“1”除以完成全部工作的時間，表示工作效率。緊緊抓住工作時間、工作效率、工作總量之間的關(guān)系來解題，既方便又準(zhǔn)確。

例如：（1）一批零件，王師傅做要20天，徒弟做要30天，師徒合做要多少天？

這里是把工作總量“做一批零件”看作單位“1”， 王師傅的工作效率就是1/20，徒弟的工作效率就是1/30，效率和就是1/20+1/30。根據(jù)“工作總量÷工作效率=工作時間”，列式應(yīng)為：1÷（1/20+1/30）=12（天）

又比如：（2）一條公路，甲工程隊單獨修，需要8天完成；乙工程隊單獨修需要12天完成，兩隊合修4天后，剩下的任務(wù)由甲工程隊單獨修，還要幾天完成？

這里是把工作總量“修一條公路”看作單位“1”， 甲的工作效率就是1/8，乙的工作效率就是1/12，效率和就是1/8+1/12，但是剩下的工作量已經(jīng)不是單位“1”全部，而是剩下的部分，1-4×（1/8+1/12），故列式為：[1-4×（1/8+1/12）]÷1/8=4/3（天）

分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算解決問題種類繁多，正確找準(zhǔn)單位“1”，是解答分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題的關(guān)鍵，從關(guān)鍵句中找準(zhǔn)單位“1”問題就解決了一半，我覺得除了從以上這些方面進(jìn)行考慮外，還要對各類題型進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，做到具體問題具體分析，讓學(xué)生真正理解掌握。

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)出版社《可以這樣教數(shù)學(xué)》

[2]人民教育出版社《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》endprint