試論命題間推出關(guān)系在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

黃新文

數(shù)學(xué)是一門(mén)與日常生活結(jié)合緊密的學(xué)科，掌握其基本技能是當(dāng)代社會(huì)對(duì)公民的基本要求.而中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)作為培養(yǎng)數(shù)學(xué)基本技能的關(guān)鍵階段，地位至關(guān)重要.相關(guān)教育人員一直非常注重其教學(xué)研究，然而效果一直不理想，呈現(xiàn)出一種尷尬的兩極分化現(xiàn)象.經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期教學(xué)實(shí)踐的總結(jié)，筆者得出將命題間推出關(guān)系應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)，能夠有效提升其效率.

一、命題間推出關(guān)系在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位

（一）中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)命題間推出關(guān)系的需求

從數(shù)學(xué)特點(diǎn)來(lái)看，數(shù)學(xué)是一個(gè)邏輯性、抽象性極高的應(yīng)用學(xué)科.其教學(xué)重點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化能力、邏輯能力.使其能夠進(jìn)行科學(xué)的推導(dǎo)，并且能夠進(jìn)行基礎(chǔ)計(jì)算與應(yīng)用.轉(zhuǎn)化能力、推導(dǎo)能力和應(yīng)用能力并無(wú)矛盾，是貫穿于一條主線的整體，共榮共存、彼此促進(jìn)而命題間推出關(guān)系，又是推導(dǎo)能力的具體體現(xiàn)，其重要性不容小覷.

從數(shù)學(xué)理論上講，命題間推出關(guān)系，是最基本的推導(dǎo)能力，為構(gòu)建數(shù)學(xué)理論起到了極大的推動(dòng)作用.幾乎任何一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，都是依靠在實(shí)際或已知理論中應(yīng)用命題間推出關(guān)系而得出的.這說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)的汲取需要應(yīng)用到該關(guān)系.

從初學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程上講，推理過(guò)程，是領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)精華的有效步驟，直接決定著一個(gè)學(xué)生能否有效進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí).做好推理，有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)能力，讓學(xué)生能夠在日常生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題.

（二）誤用命題間推出關(guān)系所導(dǎo)致的各種問(wèn)題淺析

數(shù)學(xué)的語(yǔ)言包括文字、符號(hào)和圖形，三者之間相互聯(lián)系相互作用，是推導(dǎo)的基本要素.常見(jiàn)的問(wèn)題均是因?yàn)闆](méi)有合理利用三者之間或內(nèi)部的推導(dǎo)關(guān)系所致.主要有：

第一，未正確掌握?qǐng)D形與文字間的推導(dǎo)關(guān)系.實(shí)際教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生在代數(shù)上表現(xiàn)出相當(dāng)高的水平，但到了解決幾何問(wèn)題的時(shí)候，卻“狗咬刺猬”——難以下口.這一方面歸因于學(xué)生對(duì)幾何圖形本身的命題未準(zhǔn)確理解；另一方面更歸因于學(xué)生對(duì)從幾何命題推出代數(shù)命題的能力不夠.

第二，未正確掌握文字內(nèi)部的推導(dǎo)關(guān)系.例如，不少學(xué)生在進(jìn)行方程根的正負(fù)判斷時(shí)，往往會(huì)忽略方程有實(shí)根這個(gè)判定條件.這顯然就是因?yàn)閷W(xué)生未能掌握文字內(nèi)部的推導(dǎo)關(guān)系所致.

二、應(yīng)用命題間推出關(guān)系提升中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)效率

首先，師生雙方均應(yīng)正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的三個(gè)分支，做好三類命題間的相互及內(nèi)部推出關(guān)系引導(dǎo).一方面，我們可以經(jīng)常引用符號(hào)來(lái)表達(dá)文字類定律.如平行線內(nèi)角互補(bǔ)，可直接表示為AB∥CD∠1+∠2=180°.另一方面，在教學(xué)過(guò)程中，重視易錯(cuò)位置的教導(dǎo)，防止學(xué)生出現(xiàn)內(nèi)部推導(dǎo)關(guān)系認(rèn)識(shí)不清的狀況.如前面所述，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)判定方程根的正負(fù)需要重點(diǎn)檢查方程在結(jié)果題設(shè)內(nèi)有沒(méi)有實(shí)根.

其次，在教學(xué)過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)推導(dǎo)的重要性.通過(guò)強(qiáng)調(diào)，能夠使學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)推出關(guān)系的重要性.要實(shí)現(xiàn)這一策略，必須在教學(xué)過(guò)程中引入推導(dǎo).在解決問(wèn)題的過(guò)程中，不強(qiáng)調(diào)直接得出結(jié)論，而是從已知條件中得出中間結(jié)論，從中間結(jié)論得出另一個(gè)中間結(jié)論，以此逐步逼近最終結(jié)論.可以用下圖來(lái)表示這個(gè)過(guò)程.該方案的實(shí)際應(yīng)用可以有多種類型，比較成功的一點(diǎn)就是設(shè)計(jì)考核問(wèn)題的時(shí)候，設(shè)計(jì)多個(gè)小問(wèn)題，發(fā)散學(xué)生的思維，再通過(guò)一個(gè)最終問(wèn)題解決問(wèn)題.

再次，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所掌握的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)化總結(jié)，理清命題間、命題內(nèi)部的推出關(guān)系，掌握數(shù)學(xué)的“暗線”.例如，三角形全等的推導(dǎo)有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”等多個(gè)基本定理，這幾個(gè)定理之間就存在著并列的“暗線”聯(lián)系，學(xué)生對(duì)其準(zhǔn)確掌握之后，在解決相關(guān)集合問(wèn)題時(shí)，必定更加得心應(yīng)手.

最后，命題間推出關(guān)系的應(yīng)用還應(yīng)該源于課本而超出課本，使學(xué)生充分領(lǐng)悟該內(nèi)在關(guān)系的價(jià)值，為其今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).例如，幾何問(wèn)題從平面發(fā)展至立體，乃至于無(wú)法以圖形直接表示的超三維幾何問(wèn)題，就是由基本幾何命題推出的，講解這一點(diǎn)，無(wú)疑能打好學(xué)生的立體幾何基礎(chǔ).

總之，從上面的討論中不難看出，命題間推出關(guān)系在中學(xué)數(shù)學(xué)，乃至于數(shù)學(xué)整體教學(xué)中，都具有相當(dāng)大的作用，這個(gè)作用不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)特點(diǎn)、理論上，更體現(xiàn)在學(xué)習(xí)過(guò)程中，只有準(zhǔn)確掌握該關(guān)系，才能讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí).為此，我們可以指導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的三個(gè)語(yǔ)言分支，并強(qiáng)化推導(dǎo)關(guān)系在課堂教學(xué)中的比例，協(xié)助學(xué)生做好知識(shí)總結(jié)，并將推出關(guān)系深化，以此來(lái)實(shí)現(xiàn)高效教學(xué).

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）endprint

數(shù)學(xué)是一門(mén)與日常生活結(jié)合緊密的學(xué)科，掌握其基本技能是當(dāng)代社會(huì)對(duì)公民的基本要求.而中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)作為培養(yǎng)數(shù)學(xué)基本技能的關(guān)鍵階段，地位至關(guān)重要.相關(guān)教育人員一直非常注重其教學(xué)研究，然而效果一直不理想，呈現(xiàn)出一種尷尬的兩極分化現(xiàn)象.經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期教學(xué)實(shí)踐的總結(jié)，筆者得出將命題間推出關(guān)系應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)，能夠有效提升其效率.

一、命題間推出關(guān)系在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位

（一）中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)命題間推出關(guān)系的需求

從數(shù)學(xué)特點(diǎn)來(lái)看，數(shù)學(xué)是一個(gè)邏輯性、抽象性極高的應(yīng)用學(xué)科.其教學(xué)重點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化能力、邏輯能力.使其能夠進(jìn)行科學(xué)的推導(dǎo)，并且能夠進(jìn)行基礎(chǔ)計(jì)算與應(yīng)用.轉(zhuǎn)化能力、推導(dǎo)能力和應(yīng)用能力并無(wú)矛盾，是貫穿于一條主線的整體，共榮共存、彼此促進(jìn)而命題間推出關(guān)系，又是推導(dǎo)能力的具體體現(xiàn)，其重要性不容小覷.

從數(shù)學(xué)理論上講，命題間推出關(guān)系，是最基本的推導(dǎo)能力，為構(gòu)建數(shù)學(xué)理論起到了極大的推動(dòng)作用.幾乎任何一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，都是依靠在實(shí)際或已知理論中應(yīng)用命題間推出關(guān)系而得出的.這說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)的汲取需要應(yīng)用到該關(guān)系.

從初學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程上講，推理過(guò)程，是領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)精華的有效步驟，直接決定著一個(gè)學(xué)生能否有效進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí).做好推理，有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)能力，讓學(xué)生能夠在日常生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題.

（二）誤用命題間推出關(guān)系所導(dǎo)致的各種問(wèn)題淺析

數(shù)學(xué)的語(yǔ)言包括文字、符號(hào)和圖形，三者之間相互聯(lián)系相互作用，是推導(dǎo)的基本要素.常見(jiàn)的問(wèn)題均是因?yàn)闆](méi)有合理利用三者之間或內(nèi)部的推導(dǎo)關(guān)系所致.主要有：

第一，未正確掌握?qǐng)D形與文字間的推導(dǎo)關(guān)系.實(shí)際教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生在代數(shù)上表現(xiàn)出相當(dāng)高的水平，但到了解決幾何問(wèn)題的時(shí)候，卻“狗咬刺猬”——難以下口.這一方面歸因于學(xué)生對(duì)幾何圖形本身的命題未準(zhǔn)確理解；另一方面更歸因于學(xué)生對(duì)從幾何命題推出代數(shù)命題的能力不夠.

第二，未正確掌握文字內(nèi)部的推導(dǎo)關(guān)系.例如，不少學(xué)生在進(jìn)行方程根的正負(fù)判斷時(shí)，往往會(huì)忽略方程有實(shí)根這個(gè)判定條件.這顯然就是因?yàn)閷W(xué)生未能掌握文字內(nèi)部的推導(dǎo)關(guān)系所致.

二、應(yīng)用命題間推出關(guān)系提升中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)效率

首先，師生雙方均應(yīng)正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的三個(gè)分支，做好三類命題間的相互及內(nèi)部推出關(guān)系引導(dǎo).一方面，我們可以經(jīng)常引用符號(hào)來(lái)表達(dá)文字類定律.如平行線內(nèi)角互補(bǔ)，可直接表示為AB∥CD∠1+∠2=180°.另一方面，在教學(xué)過(guò)程中，重視易錯(cuò)位置的教導(dǎo)，防止學(xué)生出現(xiàn)內(nèi)部推導(dǎo)關(guān)系認(rèn)識(shí)不清的狀況.如前面所述，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)判定方程根的正負(fù)需要重點(diǎn)檢查方程在結(jié)果題設(shè)內(nèi)有沒(méi)有實(shí)根.

其次，在教學(xué)過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)推導(dǎo)的重要性.通過(guò)強(qiáng)調(diào)，能夠使學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)推出關(guān)系的重要性.要實(shí)現(xiàn)這一策略，必須在教學(xué)過(guò)程中引入推導(dǎo).在解決問(wèn)題的過(guò)程中，不強(qiáng)調(diào)直接得出結(jié)論，而是從已知條件中得出中間結(jié)論，從中間結(jié)論得出另一個(gè)中間結(jié)論，以此逐步逼近最終結(jié)論.可以用下圖來(lái)表示這個(gè)過(guò)程.該方案的實(shí)際應(yīng)用可以有多種類型，比較成功的一點(diǎn)就是設(shè)計(jì)考核問(wèn)題的時(shí)候，設(shè)計(jì)多個(gè)小問(wèn)題，發(fā)散學(xué)生的思維，再通過(guò)一個(gè)最終問(wèn)題解決問(wèn)題.

再次，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所掌握的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)化總結(jié)，理清命題間、命題內(nèi)部的推出關(guān)系，掌握數(shù)學(xué)的“暗線”.例如，三角形全等的推導(dǎo)有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”等多個(gè)基本定理，這幾個(gè)定理之間就存在著并列的“暗線”聯(lián)系，學(xué)生對(duì)其準(zhǔn)確掌握之后，在解決相關(guān)集合問(wèn)題時(shí)，必定更加得心應(yīng)手.

最后，命題間推出關(guān)系的應(yīng)用還應(yīng)該源于課本而超出課本，使學(xué)生充分領(lǐng)悟該內(nèi)在關(guān)系的價(jià)值，為其今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).例如，幾何問(wèn)題從平面發(fā)展至立體，乃至于無(wú)法以圖形直接表示的超三維幾何問(wèn)題，就是由基本幾何命題推出的，講解這一點(diǎn)，無(wú)疑能打好學(xué)生的立體幾何基礎(chǔ).

總之，從上面的討論中不難看出，命題間推出關(guān)系在中學(xué)數(shù)學(xué)，乃至于數(shù)學(xué)整體教學(xué)中，都具有相當(dāng)大的作用，這個(gè)作用不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)特點(diǎn)、理論上，更體現(xiàn)在學(xué)習(xí)過(guò)程中，只有準(zhǔn)確掌握該關(guān)系，才能讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí).為此，我們可以指導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的三個(gè)語(yǔ)言分支，并強(qiáng)化推導(dǎo)關(guān)系在課堂教學(xué)中的比例，協(xié)助學(xué)生做好知識(shí)總結(jié)，并將推出關(guān)系深化，以此來(lái)實(shí)現(xiàn)高效教學(xué).

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）endprint

數(shù)學(xué)是一門(mén)與日常生活結(jié)合緊密的學(xué)科，掌握其基本技能是當(dāng)代社會(huì)對(duì)公民的基本要求.而中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)作為培養(yǎng)數(shù)學(xué)基本技能的關(guān)鍵階段，地位至關(guān)重要.相關(guān)教育人員一直非常注重其教學(xué)研究，然而效果一直不理想，呈現(xiàn)出一種尷尬的兩極分化現(xiàn)象.經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期教學(xué)實(shí)踐的總結(jié)，筆者得出將命題間推出關(guān)系應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)，能夠有效提升其效率.

一、命題間推出關(guān)系在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位

（一）中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)命題間推出關(guān)系的需求

從數(shù)學(xué)特點(diǎn)來(lái)看，數(shù)學(xué)是一個(gè)邏輯性、抽象性極高的應(yīng)用學(xué)科.其教學(xué)重點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化能力、邏輯能力.使其能夠進(jìn)行科學(xué)的推導(dǎo)，并且能夠進(jìn)行基礎(chǔ)計(jì)算與應(yīng)用.轉(zhuǎn)化能力、推導(dǎo)能力和應(yīng)用能力并無(wú)矛盾，是貫穿于一條主線的整體，共榮共存、彼此促進(jìn)而命題間推出關(guān)系，又是推導(dǎo)能力的具體體現(xiàn)，其重要性不容小覷.

從數(shù)學(xué)理論上講，命題間推出關(guān)系，是最基本的推導(dǎo)能力，為構(gòu)建數(shù)學(xué)理論起到了極大的推動(dòng)作用.幾乎任何一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，都是依靠在實(shí)際或已知理論中應(yīng)用命題間推出關(guān)系而得出的.這說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)的汲取需要應(yīng)用到該關(guān)系.

從初學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程上講，推理過(guò)程，是領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)精華的有效步驟，直接決定著一個(gè)學(xué)生能否有效進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí).做好推理，有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)能力，讓學(xué)生能夠在日常生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題.

（二）誤用命題間推出關(guān)系所導(dǎo)致的各種問(wèn)題淺析

數(shù)學(xué)的語(yǔ)言包括文字、符號(hào)和圖形，三者之間相互聯(lián)系相互作用，是推導(dǎo)的基本要素.常見(jiàn)的問(wèn)題均是因?yàn)闆](méi)有合理利用三者之間或內(nèi)部的推導(dǎo)關(guān)系所致.主要有：

第一，未正確掌握?qǐng)D形與文字間的推導(dǎo)關(guān)系.實(shí)際教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生在代數(shù)上表現(xiàn)出相當(dāng)高的水平，但到了解決幾何問(wèn)題的時(shí)候，卻“狗咬刺猬”——難以下口.這一方面歸因于學(xué)生對(duì)幾何圖形本身的命題未準(zhǔn)確理解；另一方面更歸因于學(xué)生對(duì)從幾何命題推出代數(shù)命題的能力不夠.

第二，未正確掌握文字內(nèi)部的推導(dǎo)關(guān)系.例如，不少學(xué)生在進(jìn)行方程根的正負(fù)判斷時(shí)，往往會(huì)忽略方程有實(shí)根這個(gè)判定條件.這顯然就是因?yàn)閷W(xué)生未能掌握文字內(nèi)部的推導(dǎo)關(guān)系所致.

二、應(yīng)用命題間推出關(guān)系提升中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)效率

首先，師生雙方均應(yīng)正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的三個(gè)分支，做好三類命題間的相互及內(nèi)部推出關(guān)系引導(dǎo).一方面，我們可以經(jīng)常引用符號(hào)來(lái)表達(dá)文字類定律.如平行線內(nèi)角互補(bǔ)，可直接表示為AB∥CD∠1+∠2=180°.另一方面，在教學(xué)過(guò)程中，重視易錯(cuò)位置的教導(dǎo)，防止學(xué)生出現(xiàn)內(nèi)部推導(dǎo)關(guān)系認(rèn)識(shí)不清的狀況.如前面所述，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)判定方程根的正負(fù)需要重點(diǎn)檢查方程在結(jié)果題設(shè)內(nèi)有沒(méi)有實(shí)根.

其次，在教學(xué)過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)推導(dǎo)的重要性.通過(guò)強(qiáng)調(diào)，能夠使學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)推出關(guān)系的重要性.要實(shí)現(xiàn)這一策略，必須在教學(xué)過(guò)程中引入推導(dǎo).在解決問(wèn)題的過(guò)程中，不強(qiáng)調(diào)直接得出結(jié)論，而是從已知條件中得出中間結(jié)論，從中間結(jié)論得出另一個(gè)中間結(jié)論，以此逐步逼近最終結(jié)論.可以用下圖來(lái)表示這個(gè)過(guò)程.該方案的實(shí)際應(yīng)用可以有多種類型，比較成功的一點(diǎn)就是設(shè)計(jì)考核問(wèn)題的時(shí)候，設(shè)計(jì)多個(gè)小問(wèn)題，發(fā)散學(xué)生的思維，再通過(guò)一個(gè)最終問(wèn)題解決問(wèn)題.

再次，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所掌握的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)化總結(jié)，理清命題間、命題內(nèi)部的推出關(guān)系，掌握數(shù)學(xué)的“暗線”.例如，三角形全等的推導(dǎo)有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”等多個(gè)基本定理，這幾個(gè)定理之間就存在著并列的“暗線”聯(lián)系，學(xué)生對(duì)其準(zhǔn)確掌握之后，在解決相關(guān)集合問(wèn)題時(shí)，必定更加得心應(yīng)手.

最后，命題間推出關(guān)系的應(yīng)用還應(yīng)該源于課本而超出課本，使學(xué)生充分領(lǐng)悟該內(nèi)在關(guān)系的價(jià)值，為其今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).例如，幾何問(wèn)題從平面發(fā)展至立體，乃至于無(wú)法以圖形直接表示的超三維幾何問(wèn)題，就是由基本幾何命題推出的，講解這一點(diǎn)，無(wú)疑能打好學(xué)生的立體幾何基礎(chǔ).

總之，從上面的討論中不難看出，命題間推出關(guān)系在中學(xué)數(shù)學(xué)，乃至于數(shù)學(xué)整體教學(xué)中，都具有相當(dāng)大的作用，這個(gè)作用不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)特點(diǎn)、理論上，更體現(xiàn)在學(xué)習(xí)過(guò)程中，只有準(zhǔn)確掌握該關(guān)系，才能讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí).為此，我們可以指導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的三個(gè)語(yǔ)言分支，并強(qiáng)化推導(dǎo)關(guān)系在課堂教學(xué)中的比例，協(xié)助學(xué)生做好知識(shí)總結(jié)，并將推出關(guān)系深化，以此來(lái)實(shí)現(xiàn)高效教學(xué).

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）endprint