巷道三點收斂觀測法測點布置的復變函數(shù)解析

陳慶發(fā)，鐘瓊英，王 拓

(廣西大學 資源與冶金學院，廣西 南寧530004)

對巖石地下工程穩(wěn)定性進行監(jiān)測與預報，是保證工程設計、施工科學合理和安全生產(chǎn)的重要措施［1］。收斂觀測是一種常用的圍巖位移監(jiān)測方法，這種方法簡單易行，通過測量開挖巷道若干點的相對位移的變化，從而掌握圍巖位移的變形發(fā)展動態(tài)，進而判斷施工的安全程度以及檢驗圍巖是否穩(wěn)定，支護是否合理［2-3］。

在巷道圍巖收斂觀測研究領域，盛建龍［4］采用建立一種神經(jīng)網(wǎng)絡模型的方法對采場巷道進行收斂預測;許夢國等［5］通過對監(jiān)測結果的分析，確定影響巷道收斂的因素，對監(jiān)測結果中出現(xiàn)的一些特殊情況進行分析;付國彬［6］開展了考慮巖石破裂后強度衰減和體積膨脹條件下巷道圍巖位移及收斂觀測技術的研究。這些研究大多是對收斂觀測結果進行分析，未探討觀測點的布置問題。趙同彬［7］曾基于遺傳算法對巷道位移反分析進行了研究，其研究結果對于觀測點布置起到了一定的借鑒作用。本文采用復變函數(shù)的方法探討均質巖體巷道三點收斂觀測法的測點準確布置問題。

1 均質巖體巷道收斂觀測點布置的局限性

文獻［2］指出，均質巖體巷道圍巖收斂觀測一般分為周邊收斂量測和拱頂下沉量測，其測點與測線的布置方案如圖1 所示。

對于均質巖體而言，由于巷道形狀的對稱性，在巷道頂?shù)装逯行狞c處的布點位置無疑是正確的，但巷道兩幫或圓弧段上的觀測點位置，大多由工程師根據(jù)個人經(jīng)驗確定，具有較大的隨機性。這也是很多大型工程無法及時、準確地預測出片幫破壞現(xiàn)象的一個重要原因。

2 觀測點布置的復變函數(shù)解析

圖1 收斂觀測測點測線布置圖Fig.1 Arrangement of points and lines about convergence observation

2.1 復變函數(shù)方法

以復數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復變函數(shù)，而與之相關的理論就是復變函數(shù)理論［8-9］。復變函數(shù)的優(yōu)點在于能夠把復雜的幾何構型單連通域映射為較為簡單的幾何構型單連通域，從而在這個區(qū)域內利用解析函數(shù)的理論和邊界條件確定待求的解析函數(shù)。

20 世紀以來，復變函數(shù)理論被廣泛應用于彈性與彈塑性力學領域，Verruijt［10］采用復變函數(shù)方法分別研究不考慮巖土體自重情形下無襯砌淺埋隧道變形導致的地表變形問題，Strack 等［11］研究了考慮巖土體自重情況下由于隧道構造浮力效應所導致的地表變形問題，蔚立元等［12］利用復變函數(shù)開展了含圓孔半平面體的彈性分析，王立忠等［13］利用復變函數(shù)分析了盾構隧道施工引起的地基變形，呂愛鐘等［14］應用復變函數(shù)方法對地下隧洞進行了詳細的力學分析。

2.2 收斂觀測點形變特征

根據(jù)文獻［2］的分析，巷道兩幫或圓弧段上收斂觀測點應當具有豎直方向位移為零而水平方向位移最大的形變特征，確定巷道兩幫或圓弧段上收斂觀測點位置即是尋找滿足上述形變的特征點。

為避免重力作用帶來的不必要干擾，理論分析過程中將圍巖重力分量忽略，僅考慮原巖地應力條件下的巖體開挖。

2.3 收斂觀測點在復數(shù)平面上的位置

式中，Ck(k=0，1，2，3，…，n)取決于巷道斷面形狀，文獻［15］給出了Ck的確定方法。

設Aj為巷道周邊任意一點，其坐標為(rj，αj)，在單位圓上相應的映射點為Bj，Bj的極坐標為(1，βj)。

巷道斷面內水平方向收斂觀測點是巷道兩幫豎直位移為零的點，即u=0。同時，所需找的點在巷道的邊界上，巷道周邊對應于ξ 平面上ρ=1 的邊界，則可知EE=0，F(xiàn)F=0。

這樣，式(1)可簡化為:

即:

將AA、PP、UU、SS 分別代入式(4)，可得:

根據(jù)地下隧洞力學分析的復變函數(shù)方法，在解決實際問題時，只要n ≥4 計算得到巷道邊界位移與實際位移相差較小，且n 取4 以及取4 以上相差不大，因此，在保證精確的情況下選取n=4 可保證計算方便。

在n 取4 時，式(4)可以化為:

運用三角函數(shù)二倍角以及三倍角公式可將式(6)化為:

將cosθ 看作一整體，可用解一元四次方程的費拉里方法來計算cosθ，這里只需求其實數(shù)根。

令a=8D，b=4C，c=2B-8D，d=A-3，e=D-B，則式(7)求解過程如下:

選取方程的解中值在(-1，1)范圍內的值為cosθ 的值。

在ξ 平面cosθ 以及sinθ 求出之后，且巷道的邊界上ρ=1，則收斂觀測點在ξ 平面上的位置就很明確了，其極坐標可表示為(1，θ)。

2.4 收斂點在直角平面坐標系的位置

尋找到實際巷道上的點，需將ξ 復數(shù)平面上的點轉化到z 直角平面上。根據(jù)復變函數(shù)的分析方法，其轉換公式為:

式中，ξ=cosθ+isinθ。

將公式(8)展開，可得:

在z 平面的x 坐標(豎直方向坐標)即是式(9)右邊的虛部，即:

在z 平面的y 坐標(水平方向的坐標)即是式(9)右邊的實部，即:

所尋找的巷道收斂觀測點位于巷道的兩幫及或圓弧段上，在極坐標系中，θ 值取值區(qū)間為［30°，150°］，K 值取值區(qū)間為［-0.87 ～+0.87］，省去K 的高次方，簡化后的x，y 值如下:

其次，根據(jù)復變函數(shù)分析原理，確定出直角坐標系的原點位置，如圖2 所示。圖中h1=h2，x 軸為巷道的中心對稱軸。

求出巷道兩幫或圓弧段收斂點的豎軸坐標后，對應于巷道兩幫或圓弧段的點即為所求收斂點，即圖2 中的M1、M2兩點。

圖2 直角坐標系原點與觀測點Fig.2 The origin of rectangular coordinate system and observation points

以巷道底板為起點，換算成觀測點高度，即為:

式中，H 為巷道高度。

3 討 論

①依據(jù)平面應變問題的假設條件，巷道的軸向必須為主應力方向，對于軸向不是主應力方向，需進行坐標換算后再進行求解。

②巷道復變函數(shù)豎直位移分量的公式中n 取4，誤差精度已滿足日常巖石工程收斂觀測技術要求，對于其他形狀的巷道，如需要更加精確計算，還需對誤差進一步分析研究。

③工程中采用本文理論研究成果，還需根據(jù)地應力參數(shù)和巷道形狀參數(shù)，對觀測點坐標值進行編程求解出具體位置。

4 結 語

本文采用復變函數(shù)的方法，通過對均質巖體巷道三點收斂觀測點布置，巷道兩幫與圓弧段豎直方向的位移進行解析，確定出豎向位移為零而水平位移最大的形變特征點，從而解決了三點收斂觀測法測點準確布置的理論依據(jù)問題。

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