基于樣條有限點(diǎn)法的壓電功能梯度板的動(dòng)力分析

黃 君，莫春美，李雙蓓，3

(1.桂林理工大學(xué)南寧分校 土木與測(cè)繪工程系，廣西 南寧530001;2.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，廣西 南寧530004;3.廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧530004)

功能梯度材料(Functionally Graded Materials，簡(jiǎn)稱FGMs)是由兩種或兩種以上材料組分在特定方向上按一定函數(shù)分布而得到的材料。這種近期發(fā)展起來的新型復(fù)合材料因具有其組分材料的優(yōu)良特性，并且材料組分間無明顯分界，可避免應(yīng)力集中，廣泛應(yīng)用于對(duì)強(qiáng)度和熱緩解性能同時(shí)有要求的領(lǐng)域［1］。而將FGM 構(gòu)件與壓電材料結(jié)合向智能化結(jié)構(gòu)發(fā)展是相關(guān)領(lǐng)域的主要研究趨勢(shì)。

目前已有很多關(guān)于壓電FGM 板振動(dòng)特性的研究。Behjat 等［2］，Xia 等［3］分別基于有限元法和解析法研究了壓電FGM 板幾何非線性自由振動(dòng)問題。黃小林等［4］、Yang 等［5］和Shen 等［6］分別基于Reddy高階剪切變形理論采用解析法對(duì)熱環(huán)境下壓電FGM 板的自由振動(dòng)和動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了分析，研究結(jié)果表明，熱荷載對(duì)FGM 板的振動(dòng)特性影響顯著。劉瑋等［7］基于經(jīng)典板理論，采用解析法研究了電場(chǎng)強(qiáng)度和材料組分等對(duì)壓電FGM 薄板的振動(dòng)特性的影響。Fakhari 等［8］基于高階剪切變形理論采用有限元法研究了壓電FGM 板在熱環(huán)境中的非線性自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)。但目前考慮壓電非線性效應(yīng)影響的研究還較少。Joshi［9］對(duì)壓電材料的本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)壓電材料在強(qiáng)電場(chǎng)作用下表現(xiàn)出電致非線性特性。Kapuria 等［10］考慮電致非線性本構(gòu)關(guān)系，采用有限單元法研究了強(qiáng)電場(chǎng)作用下壓電層合板的靜力問題。李雙蓓等［11-12］基于經(jīng)典板理論，采用里茲法研究了強(qiáng)電場(chǎng)下的壓電層合板彎曲問題，采用樣條有限點(diǎn)法研究了強(qiáng)電場(chǎng)作用下壓電FGM 板的自由振等動(dòng)問題，研究表明，強(qiáng)電場(chǎng)作用下電致非線性影響顯著不可忽視，而正壓電效應(yīng)的影響微小。由于功能梯度板多應(yīng)用于熱環(huán)境下，本文在文獻(xiàn)［12］的研究基礎(chǔ)上，基于高階剪切變形理論，考慮熱環(huán)境對(duì)FGM 材料參數(shù)影響及溫度在壓電FGM 板厚度方向的傳導(dǎo)問題，并將溫差和電場(chǎng)對(duì)板自振頻率的影響以中面薄膜力形式進(jìn)行考慮，更深入地探討強(qiáng)電場(chǎng)作用下的電致非線性效應(yīng)對(duì)壓電功能梯度板的動(dòng)力特性的影響。

1 基本理論

本文研究的是兩面貼有等厚壓電層的FGM 板，如圖1所示。假設(shè)壓電層與FGM 基層之間的粘結(jié)層很薄，其厚度忽略不計(jì)。

1.1 材料的熱物參數(shù)及溫度場(chǎng)

假設(shè)FGM 板的材料組分沿厚度按冪函數(shù)形式連續(xù)變化，則與溫度相關(guān)的物性參數(shù)可表示為

其中，P 是與坐標(biāo)和溫度相關(guān)的材料參數(shù)，包括彈性模量E、密度ρ、熱膨脹系數(shù)α;下標(biāo)m、c 分別表示金屬和陶瓷材料;若只考慮溫度沿板厚方向變化，T=T(z)由熱傳導(dǎo)方程、熱邊界條件和邊界連續(xù)條件共同確定［13］;k 為FGM 板的材料梯度指數(shù);hf為FGM 板的厚度;P0、P-1、P1，P2，P3是與溫度有關(guān)的系數(shù)，由試驗(yàn)得到。本文不考慮熱傳導(dǎo)系數(shù)κ 隨溫度的變化。由于溫度對(duì)泊松比μ 的影響很小，設(shè)為常數(shù)。

圖1 壓電FGM 板結(jié)構(gòu)及樣條離散圖Fig.1 The spline discretization model of piezoelectric FGM plate

1.2 本構(gòu)關(guān)系

熱環(huán)境中考慮熱機(jī)耦合的FGM 板的本構(gòu)關(guān)系為

壓電材料的電致非線性本構(gòu)方程為［9］

其中，σp為壓電層的應(yīng)力列陣;Cp為壓電層的剛度折減后的彈性系數(shù)矩陣;為考慮了電致彈性效應(yīng)和電致伸縮效應(yīng)的壓電非線性項(xiàng);Dz為電位移;eT=CpdT為壓電應(yīng)力常數(shù)矩陣，其中，d是壓電應(yīng)變常數(shù)矩陣;e3=Cpd3為電致彈性系數(shù)矩陣，其中，d3是電致彈性柔順系數(shù)矩陣;b=Cpm 為電致伸縮系數(shù)矢量，其中，m 是電致伸縮柔順系數(shù)矢量;Ez為施加給壓電片的電場(chǎng)強(qiáng)度。

1.3 樣條有限點(diǎn)法離散化

將壓電FGM 板沿x 方向均勻劃分進(jìn)行樣條離散化，如圖1 所示。采用三次B 樣條函數(shù)構(gòu)造壓電FMG 板幾何中面的位移函數(shù)為

采用Reddy 高階剪切變形理論，板內(nèi)任意點(diǎn)的位移和應(yīng)變的樣條離散化矩陣表示為:

式中，u1=［u v w θxθy］T為板內(nèi)任意點(diǎn)的位移和中面轉(zhuǎn)角向量;為應(yīng)變列陣;N 表示位移形函數(shù);B 是應(yīng)變形函數(shù)。其中，

1.4 熱環(huán)境中強(qiáng)電場(chǎng)作用下的動(dòng)力方程

考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響，板的瞬時(shí)總勢(shì)能泛函表達(dá)式參見文獻(xiàn)［15］寫出。本文忽略正壓電效應(yīng)，則熱環(huán)境中強(qiáng)電場(chǎng)作用下，將溫差和電場(chǎng)產(chǎn)生的薄膜力在中面應(yīng)變上做的功加入到板的瞬時(shí)總勢(shì)能泛函中，用下式計(jì)算:

其中，εN=［w，xw，y］T表示中面應(yīng)變;NP、NT分別表示電場(chǎng)和溫差引起的中面薄膜力，由下式計(jì)算:

將功能梯度材料的本構(gòu)關(guān)系式(3)、式(4)和壓電材料的本構(gòu)關(guān)系式(6)代入式(19)，并進(jìn)行樣條離散化，得到

其中，Ωf、ΩP1、ΩP2、Ω 分別表示FGM 層、上下壓電層體積及壓電FGM 板的總體積;S 為板面面積;mf、mp是密度矩陣;cf、cp為阻尼矩陣;f 為體力為機(jī)械面荷載。具體表示式為

其中，ρi為體積密度;Ji表示單位體積轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ci表示阻尼系數(shù);fx、fy、fz分別為沿x、y、z 方向的體力;分別為沿x、y、z 方向的面力;為繞x、y 方向的力矩。

由瞬時(shí)變分原理可得

則不考慮阻尼和外力影響的自由振動(dòng)方程為

1.5 樣條有限點(diǎn)法邊界處理

以邊界條件為四邊固支為例進(jìn)行說明。四邊固支的邊界條件如下:

為了滿足板y 方向兩對(duì)邊的位移邊界條件，振型函數(shù)取為

2 數(shù)值分析

2.1 驗(yàn)證分析

將本文樣條有限點(diǎn)法的線性解與文獻(xiàn)［8］的有限單元法的線性解進(jìn)行對(duì)比，板件尺寸及材料參數(shù)見文獻(xiàn)［8］。四邊固支(CCCC)的情況下，分別對(duì)比溫度變化和電場(chǎng)單獨(dú)作用時(shí)的自振頻率λ，結(jié)果見表1 所示。頻率系數(shù)λ 與自振頻率ω 的轉(zhuǎn)換表達(dá)式為:

表1 給出了3 種情況下樣條有限點(diǎn)法和有限單元法的對(duì)比結(jié)果。第一種是常溫且不加電場(chǎng)的情況;第二種是板單面升溫不加電場(chǎng)的情況;第三種是常溫且兩片壓電層都加了200V 電壓的情況?？梢? 種情況下本文解與文獻(xiàn)解偏差最大只有1%，吻合得很好，說明本文建立的樣條有限點(diǎn)法動(dòng)力模型正確可靠。從計(jì)算收斂情況來看，樣條有限點(diǎn)法取N=10，r=2 時(shí)就已經(jīng)收斂，且有較高的精度，此時(shí)的自由度是130，而有限元法的自由度是500，可見樣條有限點(diǎn)法的計(jì)算效率較高。

表1 四邊固支壓電FGM 板在溫度變化和電場(chǎng)作用下的一階自振頻率Tab.1 The natural frequency of fully clamped piezoelectric FGM plate under different thermal and electric conditions

2.2 壓電FGM 板自振頻率的壓電線性解與非線性解的對(duì)比分析

本算例取板的長(zhǎng)寬a=b=0.6 m，F(xiàn)GM 層厚度hf=3 mm，壓電層厚度hp=0.1 mm。FGM 和壓電材料參數(shù)見表2，其中，F(xiàn)GM 梯度指數(shù)k=5。不同邊界條件和不同電場(chǎng)下，討論壓電FGM 板的自振頻率壓電線性解與非線性解的偏差情況。

表2 FGM 和壓電材料參數(shù)表Tab.2 The material parameters of FGM and piezoelectric material

由圖2 知，4 種頻率解都隨電場(chǎng)增大而增大。其中，四邊簡(jiǎn)支(SSSS)板的頻率增大比四邊固支(CCCC)板的大，可見，壓電FGM 板的邊界約束越弱，其自振頻率受電場(chǎng)影響越大，也越容易用電場(chǎng)進(jìn)行振動(dòng)控制。隨電場(chǎng)增大，兩種約束形式的線性解與非線性解的偏差都增大，且四邊固支邊界的偏差要大于四邊簡(jiǎn)支邊界，可見，強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度作用下采用壓電線性本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算會(huì)產(chǎn)生較大誤差，壓電材料的電致伸縮效應(yīng)和電致彈性效應(yīng)不可忽略，應(yīng)考慮采用電致非線性本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算分析。同時(shí)表明壓電FGM 板的邊界約束越強(qiáng)，電致非線性效應(yīng)對(duì)其自振頻率的影響越大。由圖2 還可以看到，非線性解曲線都比線性解曲線平緩，可從電致非線性本構(gòu)關(guān)系式(6)解釋這一現(xiàn)象。壓電線性項(xiàng)eTEz計(jì)算中以幾何剛度H起作用，由式(24)和式(38)知，電場(chǎng)為負(fù)時(shí)會(huì)減小板的剛度，為正時(shí)增大剛度。由計(jì)算過程發(fā)現(xiàn)，非線性項(xiàng)e3εEz和項(xiàng)的數(shù)量級(jí)一般很小，可以忽略其影響;e3Ez在計(jì)算中起到修正剛度的作用，當(dāng)電場(chǎng)為負(fù)時(shí)增大彈性剛度，反之為正時(shí)減小板的彈性剛度，且與電場(chǎng)強(qiáng)度Ez成正比關(guān)系，電場(chǎng)越大其修正作用越大，與線性項(xiàng)的影響剛好相反。

2.3 振動(dòng)控制分析

取四邊簡(jiǎn)支的壓電FGM 板，板長(zhǎng)寬為a=b=0.2 m，F(xiàn)GM 層厚度hf=1.5 mm，壓電層厚度hp=0.1 mm，其中，F(xiàn)GM 材料參數(shù)同“2.1 節(jié)”，壓電材料參數(shù)見表2。討論2000 V/mm 的強(qiáng)電場(chǎng)對(duì)k=0 的均質(zhì)板和k=2 的FGM 板自振頻率的控制情況，其中的溫度環(huán)境是板下面為恒溫300 K，上面溫度變化300 ～310 K。同“2.2 節(jié)”，本算例采用頻率系數(shù)進(jìn)行討論。

表3 給出了不同溫度環(huán)境中電場(chǎng)對(duì)均質(zhì)板和FGM 板的自振頻率控制情況?？梢钥吹?，隨溫度升高，均質(zhì)板和FGM 板的自振頻率均有減小，且電場(chǎng)對(duì)頻率的控制率增大。這是由于溫度升高，材料的彈性模量減小，且有溫度薄膜力的作用，降低了板的剛度，從而使得頻率減小?？梢姡瑴囟仍礁?，板的彈模越小，越容易通過施加電場(chǎng)對(duì)FGM 板進(jìn)行振動(dòng)控制。

圖2 壓電線性和非線性自振頻率對(duì)比圖Fig.2 Compare of linear and nonlinear natural frequencies

表3 強(qiáng)電場(chǎng)對(duì)熱環(huán)境中的壓電FGM 板自振頻率的控制效果Tab.3 The control effect of strong electric field to the natural frequency of piezoelectricFGM plate in thermal environment

3 結(jié) 語

本文基于壓電材料的電致非線性本構(gòu)關(guān)系，以薄膜力形式考慮電場(chǎng)和溫度產(chǎn)生的縱向力的影響，建立了熱環(huán)境中強(qiáng)電場(chǎng)作用下壓電FGM 板的樣條有限點(diǎn)法自由振動(dòng)分析模型。采用該模型進(jìn)行算例分析，將樣條有限點(diǎn)法的線性解與有限元法的線性解進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文模型正確可靠。本文方法計(jì)算精度好，效率高。對(duì)比分析了強(qiáng)電場(chǎng)作用下，在壓電本構(gòu)關(guān)系中考慮電致伸縮效應(yīng)和電致彈性效應(yīng)與否對(duì)板振動(dòng)特性的影響，結(jié)果表明:正電場(chǎng)作用下壓電線性解大于非線性解，而負(fù)電場(chǎng)下線性解小于非線性解;隨著電場(chǎng)增大，線性解與非線性解的偏差增大;邊界約束越強(qiáng)，壓電非線性效應(yīng)對(duì)板的自振頻率的影響越大。最后研究了熱環(huán)境中強(qiáng)電場(chǎng)對(duì)壓電FGM 板的振動(dòng)控制情況，研究發(fā)現(xiàn)，溫度升高，材料彈模減小，電場(chǎng)控制效果變好。

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