《指數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)》的圖形計算器教學(xué)設(shè)計

朱謙友

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)（1）》（蘇教版）《2.2.2指數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)》。根據(jù)我所任教的學(xué)生的實際情況，我將這部分劃分為兩節(jié)課（探究概念圖像及其性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用），這是第一節(jié)課“探究概念圖像及其性質(zhì)”。 指數(shù)函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)之一，作為常見函數(shù)，它不僅是今后學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的基礎(chǔ)，同時在生活及生產(chǎn)實際中也有著廣泛的應(yīng)用，所以指數(shù)函數(shù)應(yīng)重點研究，對知識起到了承上啟下的作用。

二、學(xué)生學(xué)情分析

指數(shù)函數(shù)是在學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念，基本掌握了函數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進行研究的，是學(xué)生對函數(shù)概念及性質(zhì)的第一次應(yīng)用。教材在之前的學(xué)習(xí)中給出了兩個實際例子（古蓮子的年代問題和炭14的衰減問題），已經(jīng)讓學(xué)生感受到指數(shù)函數(shù)的實際背景，但這兩個例子背景對于學(xué)生來說有些陌生。本節(jié)課先設(shè)計一個看似簡單的問題，通過超出想象的結(jié)果激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的興趣和欲望。進一步研究指數(shù)函數(shù)，以及指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，可以進一步深化學(xué)生對函數(shù)概念的理解與認識，使學(xué)生得到較系統(tǒng)的函數(shù)知識和研究函數(shù)的方法，同時也為今后進一步熟悉函數(shù)的性質(zhì)和作用，研究對數(shù)函數(shù)及等比數(shù)列的性質(zhì)打下堅實的基礎(chǔ)。

三、設(shè)計思想

（一）函數(shù)及其圖像在高中數(shù)學(xué)中占有很重要的位置。如何突破這個既重要又抽象的內(nèi)容，其實質(zhì)就是將抽象的符號語言與直觀的圖像語言有機結(jié)合起來，通過具有一定思考價值的問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，維持持久的好奇心。本節(jié)課，力圖讓學(xué)生從不同角度研究函數(shù)，對函數(shù)進行全方位研究，并通過對比總結(jié)得到研究的方法，讓學(xué)生體會這種的研究方法，以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究中。

（二）結(jié)合參加我校組織的市級課題《高中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的實踐研究》的研究，在本課教學(xué)中我努力實踐以下兩點。

1.在課堂活動中，利用圖形計算器幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，通過同伴合作、自主探究培養(yǎng)學(xué)生積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式。

2.在教學(xué)過程中努力做到生生對話、師生對話，并且在對話之后重視體會、總結(jié)、反思，力圖在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)的方法。

（三）通過圖形計算器與學(xué)生的課堂活動，通過學(xué)生自我動手、自我實驗，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性和生動性。

四、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)任教班級學(xué)生的實際情況，本節(jié)課我確定的教學(xué)目標(biāo)是：

知識與能力：通過實際問題了解指數(shù)函數(shù)的實際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念;掌握指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)，并能解決簡單的數(shù)學(xué)問題。

過程與方法：通過觀察圖像，分析、歸納、總結(jié)，自主構(gòu)建指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。體會數(shù)形結(jié)合和分類討論思想及從特殊到一般等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法 ，增強識圖用圖的能力，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力。

情感態(tài)度與價值觀：在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，使學(xué)生獲得研究函數(shù)的規(guī)律和方法;通過圖形計算器的運用，培養(yǎng)學(xué)生自我動手、自我實驗、合作交流的意識，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察、用于探索的良好習(xí)慣和嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

五、教學(xué)重點與難點

教學(xué)重點：指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)。

教學(xué)難點：對底數(shù)的分類，如何由圖像、解析式歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

六、教學(xué)策略分析

（一）本節(jié)是指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)概念課，以學(xué)生為主體，注重學(xué)法指導(dǎo)，重視新舊知識的契合，關(guān)注知識的類比，學(xué)習(xí)方法的遷移。

（二）抓住學(xué)生的好奇心，將娛樂“計算米?！迸c數(shù)學(xué)有機結(jié)合在一起，利用圖形計算器，通過學(xué)生自我動手、自我實驗，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性和生動性。

（三）通過讓學(xué)生給函數(shù)命名，舉幾個指數(shù)函數(shù)例子這個小環(huán)節(jié)，增強學(xué)生對指數(shù)函數(shù)本質(zhì)的理解，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，概念的得出可謂“潤物細無聲”。

（四）在研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時，通過提問的方法，讓學(xué)生明白研究函數(shù)可以從圖像和解析式這兩個不同的角度進行出發(fā)，將學(xué)生的注意力引向本節(jié)的第二個知識點——圖像及其性質(zhì)。設(shè)計中將學(xué)生進行分組，通過學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí)，側(cè)重對解析式、作圖像探索。學(xué)生的上臺報告，老師借助圖形計算器的直觀圖形，以形助數(shù)，以數(shù)定形，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法，收到了較好的研究效果。

七、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題。

師：如果讓1號同學(xué)準(zhǔn)備2粒米，2號同學(xué)準(zhǔn)備4粒米，3號同學(xué)準(zhǔn)備6粒米，4號同學(xué)準(zhǔn)備8粒米，5號同學(xué)準(zhǔn)備10粒米……按這樣的規(guī)律，51號同學(xué)該準(zhǔn)備多少米？

學(xué)生回答后教師公布事先估算的數(shù)據(jù)：51號同學(xué)該準(zhǔn)備102粒米，大約5克重。

師：如果改成讓1號同學(xué)準(zhǔn)備2粒米，2號同學(xué)準(zhǔn)備4粒米，3號同學(xué)準(zhǔn)備8粒米，4號同學(xué)準(zhǔn)備16粒米，5號同學(xué)準(zhǔn)備32粒米……按這樣的規(guī)律，51號同學(xué)該準(zhǔn)備多少米？

師：大家能否估計一下，51號同學(xué)該準(zhǔn)備的米有多重？

教師公布事先估算的數(shù)據(jù)：51號同學(xué)所需準(zhǔn)備的大米約重1.2億噸。

師：1.2億噸是一個什么概念？根據(jù)2007年9月13日美國農(nóng)業(yè)部發(fā)布的最新數(shù)據(jù)顯示，2007—2008年度我國大米產(chǎn)量預(yù)計為1.27億噸。這就是說51號同學(xué)所需準(zhǔn)備的大米相當(dāng)于2007—2008年度我國全年的大米產(chǎn)量。

【設(shè)計意圖：用一個看似簡單的實例，為引出指數(shù)函數(shù)的概念做好準(zhǔn)備;同時通過與一次函數(shù)的對比讓學(xué)生感受指數(shù)函數(shù)的爆炸增長，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的興趣和欲望?！?/p>

在以上兩個問題中，每位同學(xué)所需準(zhǔn)備的米粒數(shù)用y表示，每位同學(xué)的座號數(shù)用x表示，y與x之間的關(guān)系分別是什么？

學(xué)生很容易得出y=2x（x∈N■）和y=2■（x∈N■）.

（二）師生互動，探究新知。

1.指數(shù)函數(shù)的定義

師：其實，在本章開頭的問題2中，也有一個與y=2■類似的關(guān)系式y(tǒng)=1.073■（x∈N■，x≤20）

（1）讓學(xué)生思考討論以下問題（問題逐個給出）（約3分鐘）。

①y=2■（x∈N■）和y=1.073■（x∈N■，x≤20）這兩個解析式有什么共同特征？

②它們能否構(gòu)成函數(shù)？

③是我們學(xué)過的哪個函數(shù)？如果不是，你能否根據(jù)該函數(shù)的特征給它起個恰當(dāng)?shù)拿郑?/p>

【設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生從具體問題、實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型。學(xué)生對比已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，發(fā)現(xiàn)y=2■，y=1.073■是一個新的函數(shù)模型，再讓學(xué)生給這個新的函數(shù)命名，由此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?！?/p>

引導(dǎo)學(xué)生觀察，兩個函數(shù)中，底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是自變量。

師：如果可以用字母代替其中的底數(shù)，那么上述兩式就可以表示成y=a■的形式。自變量在指數(shù)位置，所以我們把它稱作指數(shù)函數(shù)。

（2）讓學(xué)生討論并給出指數(shù)函數(shù)的定義（約6分鐘）。

對于底數(shù)的分類，可將問題分解為：

①若a<0會有什么問題？（如a=-2，x=■則在實數(shù)范圍內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)值不存在。）

②若a=0會有什么問題？（對于x≤0，a■都無意義）

③若a=1又會怎么樣？（1■無論x取何值，它總是1，對它沒有研究的必要。）

師：為了避免上述各種情況的發(fā)生，所以規(guī)定a>0且a≠1.

在這里要注意生生之間、師生之間的對話。

【設(shè)計意圖 ：①對指數(shù)函數(shù)中底數(shù)限制條件的討論可以引導(dǎo)學(xué)生研究一個函數(shù)應(yīng)注意它的實際意義和研究價值;②討論出a>0，且a≠1也為下面研究性質(zhì)時對底數(shù)的分類做準(zhǔn)備。】

接下來教師可以問學(xué)生是否明確了指數(shù)函數(shù)的定義，能否寫出一兩個指數(shù)函數(shù)？教師也在黑板上寫出一些解析式讓學(xué)生判斷，如y=2×3■，y=3■，y=-2■。

【設(shè)計意圖 ：加深學(xué)生對指數(shù)函數(shù)定義和呈現(xiàn)形式的理解?！?/p>

2.指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

（1）提出兩個問題（約3分鐘）。

①目前研究函數(shù)一般可以包括哪些方面？

【設(shè)計意圖：讓學(xué)生在研究指數(shù)函數(shù)時有明確的目標(biāo)：函數(shù)三個要素（對應(yīng)法則、定義域、值域）和函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性）。

②研究函數(shù)（比如今天的指數(shù)函數(shù)）可以怎么研究？用什么方法、從什么角度研究？】

可以從圖像和解析式這兩個不同的角度進行研究;可以從具體的函數(shù)入手（即底數(shù)取一些數(shù)值）;當(dāng)然也可以用列表法研究函數(shù)，只是今天我們所學(xué)的函數(shù)用列表法不易得出此函數(shù)的性質(zhì)，可見具體問題要選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM行研究才能事半功倍。還可以借助一些數(shù)學(xué)思想方法思考。

【設(shè)計意圖：①讓學(xué)生知道圖像法不是研究函數(shù)的唯一方法，由此引導(dǎo)學(xué)生可以從圖像和解析式（包括列表）不同的角度對函數(shù)進行研究;

②對學(xué)生進行數(shù)學(xué)思想方法（從一般到特殊再到一般、數(shù)形結(jié)合、分類討論）的有機滲透?！?/p>

（2）分組活動，合作學(xué)習(xí)（約8分鐘）。

師：好，下面我們就從圖像和解析式這兩個不同的角度對指數(shù)函數(shù)進行研究。

①讓學(xué)生分為兩大組，一組從解析式的角度入手（不畫圖）研究指數(shù)函數(shù)，一組借助圖形計算器的操作從圖像的角度入手研究指數(shù)函數(shù)。

②每一大組再分為若干合作小組（建議4人一小組）。

③每組都將研究所得到的結(jié)論或成果寫出來以便交流。

【學(xué)情預(yù)設(shè)：考慮到各組的水平可能有所不同，教師應(yīng)巡視，對個別組可做適當(dāng)指導(dǎo)?！?/p>

【設(shè)計意圖：通過自主探索、合作學(xué)習(xí)不僅讓學(xué)生充當(dāng)學(xué)習(xí)的主人，更可加深對所得到結(jié)論的理解?！?/p>

（3）交流、總結(jié)（約10～12分鐘）。

教師在巡視過程中應(yīng)關(guān)注各組的研究情況，此時可選一些有代表性的小組上臺展示研究成果，并對比從兩個角度入手研究的結(jié)果。

教師可根據(jù)上課的實際情況對學(xué)生發(fā)現(xiàn)、得出的結(jié)論進行適當(dāng)?shù)狞c評或要求學(xué)生分析。

師：各組除了研究過定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性外，還是否得到一些有價值的副產(chǎn)品呢？（如：過定點（0，1），y=a■與y=（■）■的圖像關(guān)于y軸對稱）

師：下面我們開一個成果展示會！y=2■，y=10■，y=（■）■，y=（■）■.

【設(shè)計意圖： ①函數(shù)的表示法有三種：列表法、圖像法、解析法，通過這個活動，讓學(xué)生知道研究一個具體的函數(shù)可以也應(yīng)該從多個角度入手，從圖像角度研究只是能直觀地看出函數(shù)的一些性質(zhì)，而具體的性質(zhì)還是要通過對解析式的論證;特別是定義域、值域更是可以直接從解析式中得到的。

②讓學(xué)生上臺匯報研究成果，讓學(xué)生有種成就感，同時還可訓(xùn)練其對數(shù)學(xué)問題的分析和表達能力，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

③對指數(shù)函數(shù)的底數(shù)進行分類是本課的一個難點，讓學(xué)生在討論中自己解決分類問題使該難點的突破顯得自然?！?/p>

師：從圖像入手我們很容易看出函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，以及過定點（0，1），但定義域、值域卻不可確定;從解析式（結(jié)合列表）可以很容易得出函數(shù)的定義域、值域，但對底數(shù)的分類卻很難想到。

教師通過圖形計算器中“動態(tài)圖”模塊，改變參數(shù)a的值，追蹤y=a■的圖像，在變化過程中，讓全體學(xué)生進一步觀察指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律。

師生共同總結(jié)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，教師可以邊總結(jié)邊板書。

（三）鞏固訓(xùn)練。

例1：已知指數(shù)函數(shù)f（x）=a■（a>0，且a≠1）的圖像經(jīng)過點（3，π），求f（0），f（1），f（-3）的值。

【設(shè)計意圖：通過本題加深學(xué)生對指數(shù)函數(shù)的理解。】

師：根據(jù)本題，你能說出確定一個指數(shù)函數(shù)需要什么條件嗎？

師：從方程思想來看，求指數(shù)函數(shù)就是確定底數(shù)，因此只要一個條件。

【設(shè)計意圖：讓學(xué)生明確底數(shù)是確定指數(shù)函數(shù)的要素，同時向?qū)W生滲透方程的思想?！?/p>

例2：（1）同時畫出y=2■、y=（■）■與y=3■和y=（■）■的大致圖像，觀察并思考y=a■和y=（■）■圖像之間的一般結(jié)論？

學(xué)生活動：通過學(xué)生利用圖形計算器進行探索研究，歸納出結(jié)論。

（2）同時畫出y=2■、y=2■、y=2■的圖像，思考它們圖像間的關(guān)系？

【設(shè)計意圖：①讓學(xué)生再一次感受圖形的美，直觀感受圖形之間的聯(lián)系（也可以從解析式角度進行）。

②突出數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢，強調(diào)各種研究數(shù)學(xué)的方法之間的聯(lián)系，相互作用，才能融會貫通。】

（四）提升總結(jié)。

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對指數(shù)函數(shù)有什么認識？你有什么收獲？

【設(shè)計意圖：①讓學(xué)生再一次復(fù)習(xí)對函數(shù)的研究方法（可以從也應(yīng)該從多個角度進行），讓學(xué)生體會本課的研究方法，以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究中。

②總結(jié)本節(jié)課中所用到的數(shù)學(xué)思想方法。

③強調(diào)各種研究數(shù)學(xué)的方法之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，相互作用，才能融會貫通?！?/p>

（五）作業(yè)：課本59頁習(xí)題2.1A組第5題。

八、教學(xué)反思

（一）本節(jié)課改變了以往常見的函數(shù)研究方法，讓學(xué)生從不同的角度研究函數(shù)，對函數(shù)進行全方位的研究，不僅是通過對比總結(jié)得到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，更重要的是讓學(xué)生體會到對函數(shù)的研究方法，以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究中，教師可以真正做到“授之以漁”而非“授之以魚”。

（二）在教學(xué)中借助圖形計算器可以彌補傳統(tǒng)教學(xué)在直觀感、立體感和動態(tài)感方面的不足，可以很容易地化解教學(xué)難點、突破教學(xué)重點、提高課堂教學(xué)效率，本課使用圖形計算器可以動態(tài)地演示出指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的動態(tài)過程，讓學(xué)生自我動手、自我實驗，直觀觀察底數(shù)對指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，進而讓學(xué)生自己得到指數(shù)函數(shù)圖像的規(guī)律與特點。既使學(xué)生學(xué)到了知識，又培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，增強了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性和生動性。

（三）在教學(xué)過程中不斷向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在活動中感受數(shù)學(xué)思想方法之美、體會數(shù)學(xué)思想方法之重要，部分學(xué)生還能自覺地運用這些數(shù)學(xué)思想方法分析、思考問題。