基于T5單元的體積不可壓縮問題光滑有限元法

王思照，張儀萍

（1.浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院，浙江杭州310058；2.浙江省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院，浙江杭州310002）

基于T5單元的體積不可壓縮問題光滑有限元法

王思照1，2，張儀萍1

（1.浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院，浙江杭州310058；2.浙江省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院，浙江杭州310002）

提出5節(jié)點(diǎn)的四面體單元（T5），將無(wú)網(wǎng)格法的面積權(quán)重應(yīng)變光滑法和光滑有限元法應(yīng)用于該5節(jié)點(diǎn)四面體單元，提出用于解決三維體積不可壓縮線彈性體的算法：基于節(jié)點(diǎn)光滑域的選擇性體積權(quán)重應(yīng)變光滑模型（T5-p NVW/NVW）.數(shù)值算例顯示，四節(jié)點(diǎn)四面體單元采用基于節(jié)點(diǎn)的光滑有限元法（T4-NS）無(wú)法完美解決體積鎖定，相比于T4-NS法，利用提出的T5-p NVW/NVW模型能夠較精確地解決體積鎖定問題，并完美解決應(yīng)力的棋盤式波動(dòng).

體積鎖定；體積權(quán)重應(yīng)變光滑；5節(jié)點(diǎn)的四面體單元（T5）；αFEM；壓力波動(dòng)

體積鎖定是有限元分析的一個(gè)難點(diǎn)，它是指當(dāng)處理材料不可壓縮問題時(shí)（即當(dāng)材料泊松比趨于0.5或體積模量與切變模量比趨于無(wú)窮時(shí)），有限元方程的位移解出現(xiàn)病態(tài)和棋盤式的壓力解[1-3].自有限元發(fā)展以來(lái)，諸多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究，其中頗具代表性的解決方案有：一致降階積分法[4-7]、B-bar法[2]、u/p混合元法[2，8]、平均節(jié)點(diǎn)壓力法[9-12]等.

為了提高有限元法三角單元的計(jì)算效率，Liu等[13-17]結(jié)合了無(wú)網(wǎng)格法的應(yīng)變光滑法[18-20]，提出一系列基于不同積分子域的光滑有限元法，包括：基于單元子域的CS-FEM[13]、基于邊域的ES-FEM[21]、基于節(jié)點(diǎn)光滑域的NS-FEM[22]、基于三維面域的FS-FEM[23]（三維四面體單元）等.其中，采用一個(gè)光滑子單元域的CS-FEM具有免于鎖定的特性，該特性類似于采用一點(diǎn)高斯積分的FEM，雖然能夠得到較精確的位移解，但是存在額外零能模態(tài)和不均勻的壓力分布等缺陷.基于光滑子單元域的選擇性積分法（selective cell-based SFEM）[24-25]雖然能夠解決體積鎖定和額外的零能模態(tài)，但其解鎖本質(zhì)是基于一個(gè)單元子域的光滑有限元法（CS-FEM），無(wú)法解決壓力解的波動(dòng)問題；另一個(gè)天然的免于體積鎖定的光滑算法是NS-FEM[26-27]，不存在額外的零能模態(tài)，無(wú)法解決壓力的棋盤式分布，當(dāng)采用較規(guī)則網(wǎng)格時(shí)，采用該算法能夠給出問題的應(yīng)變能上限.還有一些光滑算法包括：αFEM[28-29]和基于不同光滑域的選擇性算法（a domain-based selective scheme）[21]均基于NS法的解鎖本質(zhì)，無(wú)法解決壓力的棋盤式波動(dòng).

Nguyen-Xuan等[30]研究指出NS-FEM的解鎖特性不完美，通過二維模態(tài)分析[1-2，31-33]發(fā)現(xiàn)，NSFEM法采用三角單元并無(wú)法解決沙漏模態(tài)，在解決一些對(duì)約束條件較苛刻的體積不可壓縮問題時(shí)，NS-FEM法的解鎖特性不徹底，既無(wú)法解決壓力的波動(dòng)，而且會(huì)出現(xiàn)位移解的不精確.Nguyen-Xuan 等[30]通過在FEM法的三角單元內(nèi)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)并采用氣泡型形函數(shù)[34]（bubble function），結(jié)合ESFEM法提出bES-FEM[30]法用于解決二維體積鎖定問題，能夠較有效地解決體積鎖定和壓力的棋盤式振蕩.Wu等[35-37]提出一種新型的ME-FEM的無(wú)網(wǎng)格四面體單元，用于解決體積鎖定問題，能夠較好地解決壓力波動(dòng)，但該單元使用的隱式形函數(shù)對(duì)于簡(jiǎn)單問題的計(jì)算效率沒有有限元法高.Zhang等[38]提出基于5節(jié)點(diǎn)的四邊形單元和9節(jié)點(diǎn)的六面體單元，用于解決二維和三維體積不可壓縮問題，均較好地解決了體積鎖定，獲得了較精確的位移解和壓力解.

本文通過在四面體單元（T4）內(nèi)部增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，采用氣泡型形函數(shù)（bubble function）構(gòu)造出一種5節(jié)點(diǎn)四面體單元（T5）.基于該T5單元，結(jié)合無(wú)網(wǎng)格法的面積權(quán)重應(yīng)變光滑技術(shù)和NS-FEM法，提出一種解決體積鎖定的算法，用于解決普遍算法中無(wú)法解決的應(yīng)力波動(dòng)問題.本文提出的T5-p NVW/NVW模型具有αFEM的特點(diǎn)，能夠調(diào)節(jié)偏斜應(yīng)變能以達(dá)到提高解的準(zhǔn)確性的目的，通過一系列數(shù)值算例檢驗(yàn)了該單元在解決體積不可壓縮問題時(shí)的效能.

1 5節(jié)點(diǎn)四面體單元（T5）

考慮一個(gè)四面體單元[39-41]，中心加一節(jié)點(diǎn)，第5節(jié)點(diǎn)形函數(shù)為

其中，xe（i）、ye（i）、ze（i）為四面體單元各角點(diǎn)的坐標(biāo)值.T5單元其他4個(gè)節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)為

2 基于節(jié)點(diǎn)光滑域的體積權(quán)重應(yīng)變光滑法（T5-NVW）

問題域ΩNVW的劃分是基于節(jié)點(diǎn)的，通過將第5節(jié)點(diǎn)與各個(gè)邊中點(diǎn)和面中心點(diǎn)相連，將T5單元?jiǎng)澐譃?個(gè)部分（見圖1），每個(gè)部分占用一個(gè)角節(jié)點(diǎn)，因此各個(gè)節(jié)點(diǎn)光滑域?yàn)榕c相同節(jié)點(diǎn)k相鄰的所有部分的合集.基于節(jié)點(diǎn)的應(yīng)變光滑域有3類，包括內(nèi)部節(jié)點(diǎn)光滑域、邊節(jié)點(diǎn)光滑域和角節(jié)點(diǎn)光滑域.典型的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)光滑域k的光滑域體積為

基于節(jié)點(diǎn)k的應(yīng)變光滑算子為

式中：dI為節(jié)點(diǎn)I的位移列向量，I為與節(jié)點(diǎn)k的光滑域相關(guān)的所有節(jié)點(diǎn)，uh（x）為位移向量表示光滑后的應(yīng)變位移算子）為光滑的應(yīng)變位移矩陣，

圖1 基于節(jié)點(diǎn)的體積權(quán)重應(yīng)變光滑域（T5-Nv W）Fig.1 Illustration of node-based volume-weighted strain smoothing domain for T5-NVW

其中

總體剛度矩陣為

其中，nNVW為節(jié)點(diǎn)單元域總數(shù).

3 基于不同積分域的選擇性積分法（T5-p NVW/NVW）

將三維線彈性問題材料矩陣D[21-22]分解為與形變和體積相關(guān)兩部分D1和D2.其中，μ=E/[2×（1+ν）]為切變模量，與D1相關(guān)；λ=2νμ/（1-2ν）為體積模量，與D2相關(guān).對(duì)于三維問題，材料矩陣分解為

T5-p NVW/NVW模型的剛度矩陣為

4 算例分析

4.1 三維懸臂梁

考慮一個(gè)一端固支頂部受均布荷載的三維懸臂梁例子，用于比較分析本文所提方法在解決體積鎖定問題的精確性.如圖2所示，懸臂梁尺寸為5×1×1，頂部受均布荷載的合力f=1，泊松比ν=0.499 999 9，彈性模量E=1000.

圖2 頂部受均布荷載的三維懸臂梁幾何尺寸及5節(jié)點(diǎn)四面體單元網(wǎng)格劃分Fig.2 Domain discretization using five-node tetrahedral element for three-dimensional cantilever beam subjected to uniform pressure at top

為了分析解的準(zhǔn)確性，本文加入4節(jié)點(diǎn)四面體單元（T4）采用NS-FEM法進(jìn)行比較分析.對(duì)于模型T5-p NVW/NVW，參數(shù)p的確定如圖3所示.圖中，Een為應(yīng)變能.采用3套網(wǎng)格（具有相同的劃分比例5∶1∶1）計(jì)算問題應(yīng)變能，根據(jù)αFEM法的計(jì)算原理可知，3條曲線的交點(diǎn)即為問題的估計(jì)最佳應(yīng)變能Een≈0.038 5，對(duì)應(yīng)最優(yōu)參數(shù)p=0.288.從確定參數(shù)p的3套曲線圖可以看出，參數(shù)p在定義域（0，1]范圍變化時(shí)，只是進(jìn)行應(yīng)變能的微調(diào)搜索過程，未出現(xiàn)由“體積鎖定”引起的應(yīng)變能無(wú)界狀態(tài)（突變巨大且無(wú)界），這證明參數(shù)p對(duì)是否發(fā)生“體積鎖定”沒有任何影響.如表1所示為當(dāng)網(wǎng)格劃分精細(xì)時(shí)，三維懸臂梁應(yīng)變能的收斂趨勢(shì).可見，相比于T4-NS法，T5-p NVW/NVW（p=0.288）模型能夠較快地找到精確應(yīng)變能解.如表2所示為三維懸臂梁頂部端節(jié)點(diǎn)A（見圖2）的z向位移uz（八節(jié)點(diǎn)六面體單元采用選擇性降階積分H8-SRI，計(jì)算得出參考值為uz=-0.19，其中負(fù)號(hào)表示方向?yàn)閦軸負(fù)方向，采用網(wǎng)格為100×20×20），T5-p NVW/NVW（p=0.288）相對(duì)于T4-NS法[22]得到較精確的位移解.如圖4所示為當(dāng)ν=0.499 999 9，位移放大倍數(shù)為5時(shí)，三維懸臂梁的位移圖及壓力云圖.圖4顯示T5-p NVW/NVW模型和T4-NS法在解決體積鎖定問題時(shí)，均能夠獲得較準(zhǔn)確的位移解.從壓力云圖可以發(fā)現(xiàn)，T4-NS在端部的壓力偏高，T5-p NVW/NVW模型的壓力解比T4-NS法更光滑.

圖3 頂部受均布荷載的三維懸臂梁的參數(shù)p的確定（T5-p Nv W/Nv W）Fig.3 Parameter determination of three-dimensional cantilever beam subjected to uniform pressure at top for T5-p NVW/NVW

4.2 三維沖壓?jiǎn)栴}

考慮一三維沖壓（punch）問題，尺寸及網(wǎng)格劃分如圖5所示，E=1000.頂部1/4區(qū)域受z向位移uz=-0.03.

表1 頂部受均布荷載的三維懸臂梁應(yīng)變能（網(wǎng)格i≡i×10×2×2×6）Tab.1 Strain energy obtained using different methods for three-dimensional cantilever beam subjected to uniform pressure at top（mesh i represents i×10×2×2×6）

表2 頂部受均布荷載的三維懸臂梁節(jié)點(diǎn)A處的z向位移uz（網(wǎng)格i≡i×10×2×2×6）Tab.2 Tip deflection at point A obtained using different methods for three-dimensional cantilever beam subjected to uniform pressure at top（mesh i represents i×10×2×2×6）

圖6采用均勻10×10×5×6網(wǎng)格，比較分析T4-CS/NS法和T5-CS/NVW模型（為了方便對(duì)比分析，T5-p NVW/NVW模型參數(shù)直接采用p=1，因此退化為T5-CS/NVW法；由于T4-NS法的計(jì)算結(jié)果波動(dòng)較大，采用T4-CS/NS法進(jìn)行比較，T4-CS/NS法為采用基于T4單元的CS-FEM計(jì)算偏斜應(yīng)變能，NS-FEM計(jì)算體積應(yīng)變能）在材料近似不可壓縮問題下的位移變形圖和壓力云圖的光滑度.由圖6（a）、（b）可知，當(dāng)泊松比為0.49時(shí)，采用2種方法均能夠得到位移解，不存在壓力波動(dòng).當(dāng)泊松比為0.499 999 9時(shí)（趨于0.5），T4-CS/NS法在處理體積鎖定問題時(shí)無(wú)法得到精確的位移解，頂部位移變形圖（見圖6（c））不如T5-CS/NVW法光滑（見圖6（d）），還出現(xiàn)了應(yīng)力的不均勻波動(dòng)現(xiàn)象；相比于T4-CS/NS法，T5-CS/NVW模型得到了較準(zhǔn)確的位移解和光滑的壓力解.

5 結(jié) 論

（1）本文基于無(wú)網(wǎng)格ME法和基于節(jié)點(diǎn)的NSFEM法，提出應(yīng)用于有限元法的T5單元，給出相應(yīng)的顯式形函數(shù).

（2）結(jié)合無(wú)網(wǎng)格法的面積權(quán)重應(yīng)變光滑法與光滑有限元法的CS法和NS法，提出基于節(jié)點(diǎn)光滑域的三維選擇性體積權(quán)重應(yīng)變光滑模型（T5-p NVW/NVW）.數(shù)值算例顯示，采用該模型能夠很好地解決體積鎖定問題引起的位移解不準(zhǔn)確和棋盤式壓力波動(dòng).

（3）T5-p NVW/NVW具有類似αFEM的功能，通過參數(shù)p來(lái)調(diào)整系統(tǒng)的剛度使其更加接近系統(tǒng)的真實(shí)剛度，從而提高T5-p NVW/NVW法的解的準(zhǔn)確性.參數(shù)p的確定至少需要2套網(wǎng)格，在一定程度上降低了計(jì)算效率，高效、簡(jiǎn)便地確定參數(shù)p是下一步研究的重點(diǎn).采用高效準(zhǔn)確的FS-FEM法、三維ES-FEM法或其他算法代替p NVW計(jì)算偏斜應(yīng)變能是一種選擇.p的調(diào)節(jié)與體積鎖定沒有任何關(guān)系，p在定義域（0，1]內(nèi)變化均對(duì)是否發(fā)生“體積鎖定”沒有任何影響.實(shí)際工程問題時(shí)，可以直接采用T5-CS/NAW計(jì)算，不需要確定p，也可以滿足工程要求.如果需要提高精度，在網(wǎng)格、載荷、結(jié)構(gòu)的幾何形式確定之后，可以采用本文方法確定參數(shù)p.

圖4 頂部受均布荷載的三維懸臂梁位移變形圖及壓力云圖Fig.4 Deformation and distribution of pressure for three-dimensional cantilever beam subjected to uniform pressure at top

圖5 三維沖壓?jiǎn)栴}的幾何尺寸及T5單元網(wǎng)格劃分Fig.5 Domain discretization using five-node tetrahedral element for three-dimensional punch problem

圖6 三維沖壓?jiǎn)栴}位移變形圖（放大倍數(shù)為50）及壓力云圖Fig.6 Deformation and distribution of pressure for three-dimensional punch problem in compressible and nearly incompressible case

（4）本文提出的T5單元采用三維四面體網(wǎng)格，適用于進(jìn)一步研究大變形及網(wǎng)格極不規(guī)則的問題.

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Nearly incompressible linear elasticity using five-node tetrahedral element based on smoothed finite element method

WANG Si-zhao1，2，ZHANG Yi-ping1

（1.College of Civil Engineering and Architecture，Zhejiang University，Hangzhou 310058，China；2.Zhejiang Design Institute of Water Conservancy and Hydroelectric Power，Hangzhou 310002，China）

A new five-node tetrahedral element（T5）was proposed.The area-weighted strain smoothing technique and the smoothed finite element method were introduced into T5 element.A volumetric lockingfree scheme for three-dimensional tetrahedral meshes was proposed，which is the node-based selective domain-based strain smoothing scheme（T5-p NVW/NVW）.The benchmark numerical examples show that the proposed method can solve the volumetric locking and the pressure oscillation compared to the node-based smoothed FEM using the four-node tetrahedral element（T4-NS）.

volumetric locking；volume-weighted strain smoothing；five-node tetrahedral element（T5）；αFEM；pressure oscillation

TB115；O 343

A

1008-973X（2015）10-1967-07

2014-08-21. 浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版）網(wǎng)址：www.journals.zju.edu.cn/eng

浙江省科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)資助項(xiàng)目（2010R50037）.

王思照（1989—），男，碩士生，從事軟土地基處理及有限元數(shù)值計(jì)算等的研究.ORCID：0000-0003-3091-026X.

E-mail：21212076@zju.edu.cn

張儀萍，男，教授.ORCID：0000-0001-8537-8181.E-mail：zhangyiping@zju.edu.cn