微平面模型模擬ASR作用下混凝土力學(xué)行為

段 安，張大偉，ALNAGGAR Mohammed

（1.浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院，浙江杭州310058；2.美國西北大學(xué)土木與環(huán)境工程學(xué)院，埃文斯頓60208）

微平面模型模擬ASR作用下混凝土力學(xué)行為

段 安1，張大偉1，ALNAGGAR Mohammed2

（1.浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院，浙江杭州310058；2.美國西北大學(xué)土木與環(huán)境工程學(xué)院，埃文斯頓60208）

為了準(zhǔn)確模擬發(fā)生堿-硅酸反應(yīng)（ASR）的混凝土結(jié)構(gòu)的復(fù)雜受力行為，在最新一代微平面理論的基礎(chǔ)上，提出適于分析ASR作用下混凝土力學(xué)行為的微平面模型.修改了微平面應(yīng)力邊界和法向模量表達(dá)式，引入應(yīng)力效應(yīng)函數(shù)來模擬應(yīng)力對ASR膨脹應(yīng)變的影響.開發(fā)相應(yīng)的動力顯式算法，完成了該算法在有限元程序ABAQUS中的集成.對ASR作用下的混凝土試件力學(xué)性能和變形試驗(yàn)進(jìn)行模擬可知，計(jì)算值與試驗(yàn)值吻合良好，驗(yàn)證了該模型的有效性.

微平面理論；堿-硅酸反應(yīng)（ASR）；混凝土；ABAQUS

堿-硅酸反應(yīng)（alkali-silica reaction，ASR）是混凝土結(jié)構(gòu)劣化的主要原因之一[1].ASR是指水泥中的堿與骨料中的活性氧化硅成分反應(yīng)，產(chǎn)生堿一硅酸鹽凝膠.該凝膠具有強(qiáng)烈的吸水性，吸水后膨脹，從而引發(fā)混凝土開裂破壞.

現(xiàn)有對ASR作用下混凝土結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析大都基于張量形式的宏觀本構(gòu)模型[2-3].近年來提出的微平面理論[4-6]直接在微平面上建立矢量形式的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，概念清晰，能夠描述混凝土的各種復(fù)雜受力行為，相對于傳統(tǒng)宏觀本構(gòu)模型具有很大的優(yōu)勢[5-7].微平面理論最初由Zdeněk P.Ba?ant及其合作者于上世紀(jì)80年代提出[4]，經(jīng)過30多年的研究，Ba?ant及其研究團(tuán)隊(duì)已逐步完善了這一理論，使之從最初僅適用于描述受拉開裂的第一代模型（M1），發(fā)展成為現(xiàn)在能夠分析各種復(fù)雜受力行為的第七代微平面模型[5-6]——M7.目前，微平面模型因其獨(dú)有的優(yōu)越性和通用性，被廣泛運(yùn)用于混凝土結(jié)構(gòu)的斷裂、沖擊、長期變形等各種復(fù)雜問題的數(shù)值分析當(dāng)中[5-6].為了驗(yàn)證該微觀本構(gòu)模型是否適用于ASR作用下混凝土結(jié)構(gòu)的受力分析，本文在微平面理論M7的基礎(chǔ)上，引入ASR效應(yīng)影響，提出適于分析ASR作用下混凝土力學(xué)行為的微平面模型.

1 第七代微平面理論計(jì)算流程與算法

混凝土作為一種非均勻的多相材料，骨料與水泥膠體之間的交界面是一個薄弱環(huán)節(jié)，在很大程度上直接影響混凝土的受力和變形性能.微平面理論基于混凝土的這種微觀結(jié)構(gòu)特性，把存在于骨料和水泥石之間的各個方向交界面定義為微平面（見圖1（a）），并在各微平面上建立矢量形式的本構(gòu)關(guān)系.微平面模型的計(jì)算流程（見圖2）如下：取出材料的一個微元體，將其視為由一系列微平面按一定排布方式組成（見圖1（b））.

1）根據(jù)動態(tài)約束，將宏觀應(yīng)變εij投影轉(zhuǎn)換成各微平面應(yīng)變分量（見圖1（c））.設(shè)任意微平面的單位法向矢量為n，微平面內(nèi)單位切向矢量為m和l，且滿足正交關(guān)系：l=m×n，如圖1（c）所示.微平面法向應(yīng)變εN以及m 和l方向的切向應(yīng)變εM、εL分別為

式中：ni、mi和li分別為n、m和l與整體坐標(biāo)軸xi的夾角余弦.

2）由微平面上的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系得到各微平面正應(yīng)力σN及切應(yīng)力分量σL、σM.M7引入4種應(yīng)力邊界來描述各微平面上的非線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，包括正應(yīng)力邊界σbN、偏應(yīng)力邊界σbD、體積應(yīng)力邊界σbV和切應(yīng)力邊界σbT；若當(dāng)前彈性計(jì)算的應(yīng)力超過此時應(yīng)變所對應(yīng)的應(yīng)力邊界，則應(yīng)力將垂直降至應(yīng)力邊界上，如圖3所示.

3）基于虛功原理，將微平面應(yīng)力轉(zhuǎn)化為宏觀應(yīng)力σij：

圖1 微平面模型示意圖Fig.1 Sketch of microplane model

式中：

Ω為單位半球體表面，Nm為積分點(diǎn)數(shù)目，wμ為第μ個積分點(diǎn)的權(quán)重，本文取μ=37.

為了實(shí)現(xiàn)基于微平面理論的混凝土結(jié)構(gòu)有限元分析，筆者編寫了有限元軟件ABAQUS的VUMAT子程序.該程序采用的顯示算法如下.

圖2 微平面模型與傳統(tǒng)宏觀模型計(jì)算流程Fig.2 Flow of calculation between macro-and micro-levels

圖3 微平面應(yīng)力邊界超越處理方式Fig.3 Vertical return to stress-strain boundary when boundary is exceeded

2）將法向應(yīng)變分解為體積應(yīng)變與偏應(yīng)變，得到各微平面應(yīng)變分量.

3）令εe=max（-0），計(jì)算體積應(yīng)力邊界，εe）.

5）計(jì)算法向彈性模量EN=fE），得到法向應(yīng)力試算值

9）更新體積應(yīng)力

11）令

上述算法中，EN0=E/（1-2ν），ET=EN0（1-4ν）/（1+ν）（其中E為彈性模量，ν為泊松比）；fv、fD、fN、fT分別為體積應(yīng)力邊界、偏應(yīng)力邊界、法向應(yīng)力邊界和切應(yīng)力邊界函數(shù)，具體表達(dá)式見文獻(xiàn)[5].

2 ASR作用下混凝土力學(xué)行為的微平面模擬分析

Alnaggar等[8]建立了ASR演化模型.該模型將ASR分為堿一硅酸鹽凝膠的形成和凝膠吸水膨脹兩個過程，推導(dǎo)出了凝膠吸水膨脹應(yīng)變εGel的時變表達(dá)式，然后采用離散粒子格構(gòu)模型（lattice discrete particle modeling，LDPM）[9-10]實(shí)現(xiàn)了ASR作用下的混凝土損傷模擬.由于LDPM所需的單元數(shù)量過大，對建模和計(jì)算效率不利.本文在原ASR演化模型的基礎(chǔ)上，運(yùn)用同屬微觀本構(gòu)模型的微平面理論對ASR作用下的混凝土力學(xué)行為進(jìn)行分析.

2.1 ASR損傷效應(yīng)模擬

在微平面模型中引入ASR效應(yīng)，微平面法向應(yīng)變可以分解為

由于堿一硅酸鹽凝膠吸水膨脹伴隨著材料的破壞，本文通過削弱微平面應(yīng)力邊界和法向剛度來描述這一損傷行為.εTot可以分解為凝膠膨脹應(yīng)變εGel和開裂應(yīng)變εCr兩部分[8]：

εCr是影響微平面應(yīng)力邊界和剛度受損的根源.受損的正應(yīng)力邊界可以表示為

受損的法向彈性模量EN-ASR可以表示為

式中：cN、cD、cV和cE為微平面ASR損傷參數(shù).

令

則開裂應(yīng)變可以表示為

在本研究中，η（εGel）將通過LDPM計(jì)算獲得.

2.2 應(yīng)力效應(yīng)的模擬

大量研究表明，壓應(yīng)力顯著地抑制該方向上ASR所引起的混凝土變形[2，11]，大部分遭受ASR損害的結(jié)構(gòu)（如大壩等）往往處于較高應(yīng)力狀態(tài)下.ASR效應(yīng)模型有必要考慮應(yīng)力狀態(tài)的影響.令在第μ個微平面法向應(yīng)力的作用下，該方向上的開裂應(yīng)變εCr降低為H）·εCr，其中應(yīng)力效應(yīng)函數(shù)H采用以下形式：

式中：σmax為應(yīng)力影響閾值，當(dāng)應(yīng)力低于該值時，該方向ASR所引起的開裂應(yīng)變將全部被抑制.

1）投影得到微平面應(yīng)變及應(yīng)變增量.

4）將第k-1時間步末第μ個微平面上的ASR引起的開裂應(yīng)變代入式（6）～（9），計(jì)算受損的應(yīng)力邊界和法向模量.

5）更新并儲存第μ個微平面上的ASR引起的開裂應(yīng)變：

6）其余步驟與1章的算法一致.

2.3 模型參數(shù)標(biāo)定

Multon等開展了系列試驗(yàn)來研究ASR引起的混凝土力學(xué)性能的衰變[12]和應(yīng)力對ASR作用下混凝土試件變形的影響[2].本文首先利用其中的力學(xué)性能試驗(yàn)[12]對上述微平面ASR損傷參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，然后用文獻(xiàn)[2]的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對應(yīng)力影響閾值σmax進(jìn)行標(biāo)定.

2.3.1 損傷參數(shù)的標(biāo)定 Multon等[12]測量了ASR作用下混凝土試件在28、90、182、365 d時的彈性模量E、抗壓強(qiáng)度fc和抗拉強(qiáng)度ft，監(jiān)測了試件的應(yīng)變隨齡期T的變化歷程.將該應(yīng)變試驗(yàn)值εTot作為計(jì)算的輸入，采用文獻(xiàn)[8]的方法對試驗(yàn)所用的混凝土試件進(jìn)行分析計(jì)算得到εGel，由式（5）可得開裂應(yīng)變εcr，各應(yīng)變?nèi)鐖D4所示.

為了簡單起見，在本研究中設(shè)cD=cV（因?yàn)檫@2個參數(shù)同時影響著抗壓強(qiáng)度）.采用本文方法編寫相應(yīng)的VUMAT子程序，應(yīng)用ABAQUS對該試驗(yàn)開展有限元模擬分析，然后進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定，可得對于文獻(xiàn)[12]中的混凝土，cN=0.4，cD=cV=0.009，cE=0.001 7.試驗(yàn)與模擬結(jié)果的對比如圖5所示.圖中，下標(biāo)0表示28 d的測量值.

2.3.2 σmax的標(biāo)定 Multon等[2]開展了如下試驗(yàn)：在28 d養(yǎng)護(hù)后，對圓柱體混凝土試件（高240 mm，直徑為130 mm）施加了9種應(yīng)力狀態(tài)（持時450 d）：3組徑向約束（無約束，3 mm厚鋼環(huán)約束及5 mm厚鋼環(huán)約束）.在每種約束下，施加了3種軸向荷載（0、10、20 MPa）.

圖4 各應(yīng)變隨齡期的變化歷程Fig.4 Components of ASR expansion with time

為了模擬實(shí)際試驗(yàn)情況，須考慮收縮和徐變的影響.由于試件在整個試驗(yàn)用防水表層密封，可以認(rèn)為只發(fā)生了自生收縮.在該研究中，采用CEB建議模型計(jì)算自生收縮，徐變采用的是B3模型[13]（具體計(jì)算過程見文獻(xiàn)[8]）.為了明確收縮和徐變效應(yīng)對試件變形的影響，本文模擬了2種情境：1）未考慮收縮和徐變；2）考慮了自生收縮和徐變效應(yīng).

圖5 力學(xué)性能衰變Fig.5 Simulated and measured mechanical properties evolution

文獻(xiàn)[2]采用與文獻(xiàn)[12]相同的ASR活性混凝土，因此2.3.1節(jié)中已標(biāo)定的損傷參數(shù)將在本節(jié)及模型驗(yàn)證時保持不變.根據(jù)文獻(xiàn)[8]的方法計(jì)算出凝膠膨脹應(yīng)變和開裂應(yīng)變，作為輸入.根據(jù)文獻(xiàn)[8]中推導(dǎo)凝膠膨脹應(yīng)變的時變表達(dá)式來計(jì)算εGel；依據(jù)LDPM的計(jì)算結(jié)果（見圖6），可將η（εGel）由下式回歸：

由式（11）計(jì)算開裂應(yīng)變及其增量，作為模型輸入.首先計(jì)算無約束無軸向應(yīng)力試件（此時無需考慮應(yīng)力效應(yīng)），由圖7（a）可以看出，軸向應(yīng)變εz的計(jì)算模擬值與試驗(yàn)吻合較好.說明采用文獻(xiàn)[8]的方法來計(jì)算凝膠和開裂應(yīng)變的方法是合理的.在該算例中，由于無徐變影響，自生收縮值較小，模擬1和模擬2的結(jié)果十分接近.

圖6 η（εGel）表達(dá)式的確定Fig.6 Determination ofη（εGel）

用軸向承受10 MPa的3 mm厚鋼環(huán)約束試件（三向受力狀態(tài)）的軸向應(yīng)變測量值來標(biāo)定σmax.為了模擬試驗(yàn)中鋼環(huán)與混凝土之間的相互作用，采用ABAQUS中的接觸功能，兩者切向定義為無摩擦.在模擬2中運(yùn)用最小二乘法可得σmax=-7 MPa，模擬結(jié)果與試驗(yàn)值的比較如圖7（e）所示.對比模擬1和2可以看出，在該試驗(yàn)中徐變和收縮效應(yīng)是不可忽略的，它抵消了ASR膨脹應(yīng)變，使得試件軸向發(fā)生收縮.

2.4 模型驗(yàn)證

采用上文標(biāo)定的參數(shù)（cN=0.4，cD=cV=0.009，cE=0.001 7，σmax=-7 MPa）對Multon剩余的試驗(yàn)[2]進(jìn)行模擬來驗(yàn)證本文模型.軸向應(yīng)變及徑向應(yīng)變εr的模擬結(jié)果分別如圖7（b）～（d）、7（f）～（i）及圖8所示.可以看出，模擬2的結(jié)果與試驗(yàn)值吻合度較高，說明本文模型的計(jì)算方法是合理的.

分析模擬1的曲線可以發(fā)現(xiàn)：對于無約束試件（見圖7（a）～（c）、8（a）～（c）中的模擬1曲線），當(dāng)施加軸向荷載時，大部分ASR膨脹都發(fā)生在徑向，而軸向ASR膨脹接近于零，甚至在20 MPa時變?yōu)槭湛s；當(dāng)有鋼環(huán)約束時，約束越強(qiáng)，軸向變形越大，徑向變形越小.此外，比較模擬1和模擬2可知，當(dāng)施加軸向荷載時，徐變和收縮占主導(dǎo)作用，使得總體軸向發(fā)生收縮.

3 結(jié) 語

本文提出適于分析ASR作用下混凝土力學(xué)行為的微平面模型.修改了微平面應(yīng)力邊界和法向模量的表達(dá)式，引入應(yīng)力效應(yīng)函數(shù)來模擬應(yīng)力對ASR膨脹應(yīng)變的影響.運(yùn)用該模型對ASR作用下多種應(yīng)力狀態(tài)混凝土試件的力學(xué)行為進(jìn)行模擬，計(jì)算值與試驗(yàn)值吻合良好，說明該模型可以推廣應(yīng)用于遭受ASR損害的混凝土結(jié)構(gòu)分析.

圖7 軸向應(yīng)變隨齡期的變化歷程Fig.7 Axial strain evolution with time

（

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圖8 徑向應(yīng)變隨齡期的變化歷程Fig.8 Radial strain evolution with time

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Microplane modeling of ASR effects on concrete structures

DUAN An1，ZHANG Da-wei1，ALNAGGAR Mohammed2

（1.College of Civil Engineering and Architecture，Zhejiang University，Hangzhou 310058，China；2.Department of Civil and Environmental Engineering，Northwestern University，Evanston 60208，USA）

A modified microplane model was developed to simulate the alkali-silica reaction（ASR）damage based on the latest version of microplane theory M7 in order to accurately modeling the complicated behavior of concrete structures subjected to ASR.The material damage caused by the volume expansion of ASR gel was modeled in M7 as a reduction of material stiffness and boundaries.A stress effect function was proposed to depend on the normal stress of the microplane in order to consider the modification of ASR expansions due to applied stresses.The explicit algorithm for the model was established and implemented into commercial software ABAQUS.Finite element analysis of the ASR effect on laboratory specimens was conducted.The analytical results accorded with the experimental data.The validity of the proposed model was illustrated.

microplane theory；alkali-silica reaction（ASR）；concrete；ABAQUS

TU 528

A

1008-973X（2015）10-1939-07

2015-05-12.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版）網(wǎng)址：www.journals.zju.edu.cn/eng

浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（LY14E080013）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（2015FZA4019，2015FZA4018）；教育部留學(xué)回國人員科研啟動基金資助項(xiàng)目.

段安（1982—），女，講師，從事混凝土耐久性的研究.ORCID：0000-0002-0684-3872.E-mail：duanan09@zju.edu.cn

張大偉，男，副教授.ORCID：0000-0001-7838-6941.E-mail：dwzhang@zju.edu.cn