“倍的認識”一課的教學與思考

中國農(nóng)業(yè)科學院附屬小學（100081） 周興華 蔡宇清

“倍的認識”一課的教學與思考

中國農(nóng)業(yè)科學院附屬小學（100081） 周興華 蔡宇清

“倍”是小學數(shù)學中非常重要的一個概念，“倍的認識”這節(jié)課便是學生認識“倍”的概念的起始課。通過課堂的觀察和實踐，我們需要找到教學中存在的問題和學生學習的困難之處，然后施以正確的教法，使學生真正理解所學概念，獲得發(fā)展。

倍 數(shù)學概念 課堂觀察 思考

“倍”是小學數(shù)學中非常重要的一個概念，“倍的認識”這節(jié)課便是學生認識“倍”的概念的起始課。作為青年教師，為了更好地教學“倍的認識”一課，我近期收集、整理了一些文獻，通過對文獻資料的梳理，對此課的教學再一次進行思考。

一、教師眼中的“倍”

從眾多發(fā)表的文章中，可以發(fā)現(xiàn)許多教師把“倍”看成是刻畫兩個量之間關(guān)系的一種表達方式，其數(shù)學核心思想是用一個量去刻畫另一個量?！氨丁贝碇鴥蓚€數(shù)量間的比較關(guān)系，它產(chǎn)生的前提和基礎(chǔ)是兩者比較，關(guān)鍵是要把其中一方以另一方為標準，分成相同的幾份?！氨丁笔菍W生在刻畫兩個量之間關(guān)系的時候，第一次從絕對數(shù)量的比多少到相對數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)變，對學生即將接觸到的分數(shù)、百分數(shù)、比，甚至以后的函數(shù)等內(nèi)容的學習，起著至關(guān)重要的作用。也有的教師認為“倍”是刻畫兩個量之間關(guān)系的眾多表達方式中的一種，和其他的刻畫方式屬于同等位置，所以應(yīng)該和眾多的刻畫方式建立起聯(lián)系，并將“倍”的刻畫方式準確地納入到表達關(guān)系的這一知識體系當中。

從目前的研究現(xiàn)狀來看，多數(shù)一線教師對“倍”的理解到了關(guān)系的層面，而北京教育學院劉加霞老師認為“倍”是從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)折點。小學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)主要是加法結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)，而乘法結(jié)構(gòu)是在加法結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的高層次的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。乘法結(jié)構(gòu)不是指單一的認識乘法，而是一個概念體系，基本概念是乘法與除法，與之相關(guān)的有倍、最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)、運算律及面積、體積、表面積、速度等概念和定律。這樣看來，從乘法結(jié)構(gòu)的角度去進一步研究“倍”未必不是一個新的研究方向，我們既可以從乘法結(jié)構(gòu)聚焦到“倍的認識”，也可以從“倍的認識”輻射到乘法結(jié)構(gòu)。

二、教師教學時應(yīng)關(guān)注什么

1．學生的學習基礎(chǔ)

美國著名認知心理學家奧蘇泊爾說過：“如果我不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會說，影響學習的最重要的原因是學生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當根據(jù)學生原有的知識狀況去進行教學。”一線教師在教學“倍”的概念時，能從學生已有的認知出發(fā)，引導學生建立新舊知識之間的聯(lián)系。教材中“倍”的概念是依據(jù)乘除法知識中“幾個幾”“份”的概念擴展而來的，通過兩個不相等數(shù)量的比較，由“份”引出“倍”，使學生初步認識“倍”的含義，這就是學生具備的認識“倍”的基礎(chǔ)。針對“倍”的意義理解，教師教學中要讓學生對乘法意義中的“幾個幾”與新知“幾倍”形成關(guān)聯(lián)，引導學生運用己有的知識經(jīng)驗來認識概念的本質(zhì)，建立新舊概念間的聯(lián)系，從而促進知識的有效遷移。

2．情境教學

“倍的認識”一課，北師大教科書以快樂的動物創(chuàng)設(shè)情境，通過問題串一步步引導學生對不同動物的只數(shù)進行比較，從而認識“倍”的概念，而人教版教科書則是讓學生在用小棒拼擺圖形的過程中建立“倍”的概念。在實際教學中，教師又進一步將教材中的情境轉(zhuǎn)換成各種各樣有趣的情境，如有的以猜數(shù)游戲引入，有的利用拍手歌激趣，有的引導學生從動手擺不同顏色的圖片中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的問題，有的讓學生比較不同事物的數(shù)量關(guān)系或比較物體的長度關(guān)系，有的創(chuàng)設(shè)挑戰(zhàn)三個卡通人物帶來的數(shù)學問題的情境……無論創(chuàng)設(shè)什么樣的情境，目的都是讓學生在感興趣的情境中，獲得積極的情感體驗，使他們感受到數(shù)學魅力的同時，掌握“倍”的概念。

3．從關(guān)系入手理解“倍”的意義

前面提到，多數(shù)教師把“倍”看成是刻畫兩個量之間關(guān)系的一種表達方式，因此教師往往從研究關(guān)系入手，引導學生理解“倍”的意義。如北京海淀區(qū)教研室的郭麗軍老師教學時先出示3個紅圓片、3個黃圓片，問學生兩種圓片的數(shù)量有怎樣的關(guān)系，然后增加3個黃圓片，再讓學生說一說3個紅圓片和6個黃圓片間又有怎樣的關(guān)系。學生會最先發(fā)現(xiàn)多少的關(guān)系，然后郭老師慢慢引導學生從多少的關(guān)系過渡到倍的關(guān)系，也就是讓學生的思維結(jié)構(gòu)從加法結(jié)構(gòu)上升到乘法結(jié)構(gòu)。

4．利用畫圖表征，促進“倍”的理解

教師教學時一般先通過畫一畫、比一比等操作活動，引發(fā)、激活學生頭腦中的原有認知并使之外顯出來，然后讓學生進行討論和交流，引導他們從“幾個幾”的角度初步認識“倍”的含義。認知心理學認為：“概念形成其實可以概括為兩個階段，即從完整表象上升為抽象概念，實現(xiàn)抽象概念在思維過程中的具體再現(xiàn)?！边@里，形成完整表象是最重要的一個環(huán)節(jié)。然而，由于低年級學生表達能力欠缺，所以讓學生通過畫圖表征來表達出自己構(gòu)建的概念表象就顯得尤為重要。畫圖表征在實物操作與抽象思維之間架起了相互溝通的橋梁，讓學生在圈一圈、畫一畫等活動中初步建立“倍”的表象，有利于學生有效表達自己構(gòu)建的概念表象。

5．在不斷對比與抽象中，逐步理解“倍”的意義

烏申斯基說過：“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切的?！痹趯W生通過動手操作等手段初步認識“倍”后，如何讓學生進一步理解“倍”的概念呢？這就需要教師引導學生在不斷對比與抽象中，舍棄“倍”的各種非本質(zhì)特征，在變化中抓住“不變”，而這“不變”就是“倍”的本質(zhì)。許多教師在教學中會設(shè)計多個比較的環(huán)節(jié)，如“一份數(shù)不變，幾份數(shù)在變，倍數(shù)也隨之變化”“一份數(shù)在變，幾份數(shù)也在變，倍數(shù)卻不變”等，通過比較引導學生逐步明晰和把握概念的本質(zhì)，使他們的認知和理解不斷深入。

三、教學“倍的認識”的新思考

雖然學生能夠說出誰是誰的幾倍，也能借助乘法進行計算，但這并不表示學生真正認識、理解了“倍”，在運用“倍”解決問題時仍然會出現(xiàn)各種各樣的困難。這首先是因為學生受自身認知結(jié)構(gòu)水平的影響，即從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)，學生的認知結(jié)構(gòu)需要發(fā)生一定程度“質(zhì)”的變化。“倍”的學習是學生認知結(jié)構(gòu)發(fā)生質(zhì)的變化的第一次機會，因為學生學習“倍”要經(jīng)歷從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變，所以認知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變是學生學習的最大困難。其次是因為知識點本身的難度?！氨丁辈皇菃我坏某朔ńY(jié)構(gòu)，它是乘法意義的拓展與延伸，但同時也包含對除法意義的理解，這無疑會對初次理解“倍”的概念的學生造成一定的困難。

我校最近開展了“課堂觀察”研究活動，通過對教師和學生的細致觀察，我們發(fā)現(xiàn)學生在學習“倍”的過程中還有以下三個問題。

1．對“關(guān)系”不理解

“關(guān)系”一詞，在現(xiàn)代漢語詞典中的解釋是事物之間相互作用影響的狀態(tài)。我們在日常生活中會經(jīng)常用到這個詞，感覺理解起來很簡單，但學生對于用在數(shù)學背景中的“關(guān)系”一詞并不是很理解，大多數(shù)學生聽到老師提出“它們之間有什么關(guān)系”的問題時，出現(xiàn)聽不懂的現(xiàn)象。所以，這時教師不妨停一停，可以舉個例子來進一步說明，這樣才能使學生更好地繼續(xù)下面的學習。

2．理解“倍”的概念不能只通過觀察

通過對文獻的梳理，我發(fā)現(xiàn)許多一線教師都是讓學生直接觀察靜止的事物來尋找數(shù)量之間的關(guān)系，如觀察黑板上擺好的教具或畫好的簡單圖形等。當教師在黑板上擺出6個紅色圓片和3個白色圓片時，學生會很快說出6比3多3或者3比6少3，但很難會想到6里面有2個3或者6是3的2倍，這也恰恰說明了兒童的認知從加法結(jié)構(gòu)上升到乘法結(jié)構(gòu)是十分困難的。那么，怎樣才能讓學生的認知自然過渡呢？通過嘗試，我發(fā)現(xiàn)動手操作是一個可行的辦法。課前為學生準備可以擺動的學具，如最簡單的小圓紙片等，這樣學生在擺一擺學具的過程中會自然地產(chǎn)生分堆的想法（如下圖），如把3個白色圓紙片擺成一堆、把6個紅色小圓紙片擺成兩堆等，這里的“一堆”就是“1份”或者叫做“1倍量”。這樣教學，使學生更自然地想到6里面有2個3，這就是學生腦子中最初的“倍”。

許多教師為了讓學生更好地理解“倍”，看清數(shù)量之間的關(guān)系，常常會采用圈一圈的辦法。其中，還有一些教師一上課就讓學生去圈一圈，然后直接引出“倍”的概念。我認為這樣教學節(jié)奏過快，因為“倍”的認識需要一個過程。這里，教師不妨放慢腳步，在學生初步建立“倍”的概念后，引導他們動手擺一擺。其實，擺出的“1堆”和圈出的“1份”能達到異曲同工之妙，而動手擺一擺會讓學生對“倍”的認識更加深刻。

3．難于表達“倍”

學生能夠說出誰是誰的幾倍，也能借助乘法進行計算，但在表達時仍然會出現(xiàn)許多困難?！氨兜恼J識”一課的教學，要求學生能夠理解“倍”的含義并學會表達“倍”。在表達“倍”時，教師不要急于給學生出示標準的表達形式，而是要等待學生先形成自己的表達方式。根據(jù)學生的年齡特點，發(fā)現(xiàn)學生的理解能力優(yōu)于他們自身的表達能力，所以學生表達不清楚是正常的。因此，在學生表達對“倍”的理解的時候，教師可以嘗試用畫圖的方式，引導學生從多個角度進行表達，以加深他們對“倍”的理解。

總之，“倍的認識”一課不是一節(jié)新課，但是作為青年教師，我們需要有把它看成一節(jié)新課去研究的態(tài)度，更需要不斷去思考、去研究、去創(chuàng)新，以使學生真正理解所學知識，在數(shù)學上獲得不同的發(fā)展。

［1］高麗杰，從“形”到“數(shù)”，在不斷對比與抽象中認識“倍”［J］．小學教學（數(shù)學版），2010（1）．

［2］劉加霞．從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)：“倍”是轉(zhuǎn)折點——評析高麗杰老師的“倍的初步認識”［J］．小學教學，2010（7-8）．

［3］顧曉東．基于已有經(jīng)驗的意義關(guān)聯(lián)——“倍的認識”教學反思與改進［J］．小學教學參考，2014（1）．

（責編 杜 華）

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1007-9068（2015）23-018