垂直均布荷載矩形基礎(chǔ)地基任意點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)公式推導(dǎo)

石中平

（西安中交公路巖土工程有限責(zé)任公司，西安710075）

1 集中荷載附加應(yīng)力公式

1885年，法國學(xué)者J.Boussinesq用彈性理論導(dǎo)出了半空間彈性體表面作用豎向集中力p時(shí)，在彈性體內(nèi)任意點(diǎn)引起的全部6應(yīng)力（σx，σy，σz，τxy，τyz，τxz）及全部3位移（ux，uy，uz）。在6個(gè)應(yīng)力分量中有3個(gè)法向應(yīng)力分量、3個(gè)剪應(yīng)力分量。其中，對建筑工程地基沉降計(jì)算直接關(guān)聯(lián)的是豎向法向應(yīng)力分量σz（即附加應(yīng)力）［1］，其公式如下

式中：x、y、z為計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)。

該式是推導(dǎo)地基附加應(yīng)力系數(shù)公式的基礎(chǔ)。

2 均布荷載矩形基礎(chǔ)地基任意點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)公式

需要說明的是，由于推導(dǎo)過程繁瑣、排版困難，本文僅給出一些必要的提示性步驟。

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)取在矩形基礎(chǔ)任意角點(diǎn)處，矩形基礎(chǔ)長度和寬度分別為l、b，并作用均布荷載p。在矩形基礎(chǔ)中任意點(diǎn)（ξ，ζ）取一微面積dA＝dξ×dζ，此微面積上的作用力為dp＝pdA＝pdξ×dζ，并視其為集中力。在矩形基礎(chǔ)以外任取一點(diǎn)（x，y），代入（1）式得微荷載dp＝pdξ×dζ作用下地基任意點(diǎn)（x，y）的微附加應(yīng)力為

整個(gè)矩形基礎(chǔ)均布荷載在該任意點(diǎn)（x，y）的附加應(yīng)力即為對上式微附加應(yīng)力的重積分

令X＝x－ξ、Y＝y(tǒng)－ζ，則dX＝－dξ、dY＝－dζ。代入上式得

此式與矩形基礎(chǔ)均布荷載角點(diǎn)下地基附加應(yīng)力公式相似，只是積分區(qū)間不同而已。

令＝X2＋z2，則上式變?yōu)?/p>

令Y＝aXtant，則dY＝aXsec2tdt，代人（3）式并整理得

令X＝ztant，則dX＝zsec2tdt，代入上式整理后得

令η＝sint，則dη＝costdt，cos2t＝1－η2，代入上式整理后得

（4）式積分項(xiàng)可分解成如下4個(gè)積分

效仿上述過程，（4-1）式積分第2項(xiàng)變?yōu)?/p>

將（4-1-1）、（4-1-2）代入（4-1）式并簡化整理后得

效仿上述過程，（4-2）式中積分第1項(xiàng)變?yōu)?/p>

（4-2）式中積分第2項(xiàng)變?yōu)?/p>

將（4-2-1）、（4-2-2）代入（4-2）式并簡化整理得

效仿上述過程，（4-3）式中第2項(xiàng)積分變?yōu)?/p>

將（4-3-1）、（4-3-2）代入（4-3）式并化簡整理得

效仿上述過程，（4-4）式中第1項(xiàng)積分變?yōu)?/p>

（4-4）式中第2項(xiàng)積分變?yōu)?/p>

將（4-4-1）、（4-4-2）代入（4-4）式并化簡整理得

將（4-1′）、（4-2′）、（4-3′）、（4-4′）代入（4）式整理后即得矩形基礎(chǔ)均布荷載下地基任意點(diǎn)附加應(yīng)力公式

上述推導(dǎo)過程中，（2）式是先對y后對x的積分順序。當(dāng)然也可以采用先對x后對y的積分順序，即如下積分形式

以下步驟與上述完全相同，不再列出，只要將上述公式中的（x－l）、（y－b）及x、y依次變?yōu)椋▂b）、（x－l）及y、x即可，公式如下

令

或

（7）、（8）式均為垂直荷載作用下矩形基礎(chǔ)地基任意點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)公式。不難發(fā)現(xiàn)，2個(gè)式子中反正弦三角函數(shù)形式是完全一樣的。將2個(gè)式子等號兩側(cè)對應(yīng)項(xiàng)兩兩相加并整理后得到以下第3種垂直荷載作用下矩形基礎(chǔ)地基任意點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)的公式

（7）、（8）、（9）式均為垂直荷載作用下矩形基礎(chǔ)地基任意點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算公式，而（9）式是（7）、（8）式的綜合，更具一般性。為了與有關(guān)書籍或規(guī)范中以反正切三角函數(shù)表示的附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算公式對比，以（9）式為例將其轉(zhuǎn)換為反正切三角函數(shù)形式。

由三角關(guān)系得

將（9-1）—（9-4）式帶入（9）式即得以反正切三角函數(shù)表示的附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算公式

3 公式驗(yàn)證

以下僅以（10）式為例，分別推求了一些特殊點(diǎn)，如角點(diǎn)、中點(diǎn)、長邊中點(diǎn)及基礎(chǔ)以外2l×2b區(qū)域角點(diǎn)4種具體情況下的計(jì)算公式，并對角點(diǎn)公式進(jìn)行了對比。

3.1 特殊點(diǎn)下附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算公式

3.1.1 角點(diǎn)

當(dāng)x＝0、y＝0，x＝l、y＝0，x＝0、y＝b，x＝l、y＝b時(shí)，計(jì)算點(diǎn)位于4個(gè)角點(diǎn)正下方。分別將上述4種組合代入（10）式可得下列4個(gè)公式。需要注意的是，在將含有0的（x，y）代入（10）式時(shí)會(huì)出現(xiàn)分母為0的分式，此時(shí)，只要這些分式不參與計(jì)算，即作為0處理即可。至于為何會(huì)出現(xiàn)分母為0的分式，這是由于在積分推導(dǎo)過程中這些分式分母均以代數(shù)形式給出，并一直沿襲到最后的結(jié)果。

可見，上述4個(gè)式子具有完全相同的形式，說明4個(gè)角點(diǎn)的附加應(yīng)力系數(shù)是一致的，進(jìn)一步說明所推導(dǎo)公式是正確的。對上述4個(gè)式子進(jìn)一步整理得

該式為以（l，b，z）表示的矩形基礎(chǔ)均荷載角點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算公式。若令m＝l/b，n＝z/b，代入并整理即得（11）式以（m，n，z）表示的矩形基礎(chǔ)均布荷載角點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)公式。該式與陳希哲［1］、龔文惠［2］中的公式完全一致。至于陳晉中［3］的公式，只要將其進(jìn)行變換，就可得到與（11）式完全一致的形式，在此不再贅述。

3.1.2 中心點(diǎn)

當(dāng)x＝0.5l、y＝0.5b時(shí)，計(jì)算點(diǎn)即位于矩形基礎(chǔ)中點(diǎn)正下方。代入（10）式整理后得

該式為以（l，b，z）表示的矩形基礎(chǔ)均荷載中點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算公式。顯然，該式是某個(gè)矩形基礎(chǔ)角點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)的4倍，該矩形基礎(chǔ)就是將原矩形長寬各縮小至原大小的1/2所得的4個(gè)相同的小矩形。若令m＝l/b，n＝z/b，代入并整理后即為以（m，n，z）表示的矩形基礎(chǔ)均布荷載中點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算公式。

3.1.3 邊中點(diǎn)——以長邊中點(diǎn)為例

當(dāng)x＝0、0＜y＜b，x＝l、0＜y＜b，y＝0、0＜x＜l，y＝b、0＜x＜l時(shí)，計(jì)算點(diǎn)即位于矩形基礎(chǔ)4個(gè)邊點(diǎn)正下方。因過程一致，下面僅以長邊中點(diǎn)為例進(jìn)行驗(yàn)證，即將x＝0.5l、y＝0代入（10）式整理后得

此式為以（l，b，z）表示的矩形基礎(chǔ)均荷載長邊中點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算公式。顯然，該式是某個(gè)矩形基礎(chǔ)附加應(yīng)力系數(shù)的2倍，該矩形基礎(chǔ)就是原矩形寬度保持不變而長邊縮小至原長度的1/2所得的2個(gè)相同小矩形。若令m＝l/b，n＝z/b，代入并整理后即為以（m，n，z）表示的矩形基礎(chǔ)均布荷載長邊中點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算公式。

3.1.4 基礎(chǔ)范圍以外任意點(diǎn)——以2l×2b區(qū)域角點(diǎn)為例

當(dāng)x＞l、x＜0、y＞b、y＜0時(shí)，計(jì)算點(diǎn)即位于矩形基礎(chǔ)外側(cè)任意點(diǎn)正下方。下面僅以位于2l×2b區(qū)域角點(diǎn)為例進(jìn)行驗(yàn)證。在此，即將x＝2l、y＝2b代入（10）式整理后得

仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)，上式4個(gè)方括號項(xiàng)其實(shí)就是2l×2b、l×b、2l×b、l×2b這4個(gè)矩形角點(diǎn)的附加應(yīng)力系數(shù)公式，說明基礎(chǔ)外任意點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)是上述4個(gè)矩形基礎(chǔ)附加應(yīng)力系數(shù)之代數(shù)和，即只要根據(jù)矩形均布荷載角點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)公式分別計(jì)算出2l×2b、l×2b、2l×b、l×b這4個(gè)矩形角點(diǎn)的附加應(yīng)力系數(shù)后，再按照即可求得2l×2b區(qū)域角點(diǎn)下的附加應(yīng)力系數(shù)。

上式為以（l，b，z）表示的均荷載作用下矩形基礎(chǔ)外任意點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算公式。若令m＝l/b，n＝z/b，代入并整理后即為以（m，n，z）表示的均布荷載作用下矩形基礎(chǔ)以外任意點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)計(jì)算公式。

3.2 計(jì)算結(jié)果對照

為便于表述，本文將采用公式進(jìn)行計(jì)算稱為“公式法”。圖1為《土力學(xué)地基基礎(chǔ)》［1］例題3-1、《土力學(xué)》［2］例題4.2及《土力學(xué)與地基基礎(chǔ)》［3］例題3-3的同一示例，要求荷載面積2m×1m、角點(diǎn)A、長邊中點(diǎn)E、中心點(diǎn)O及荷載面以外F、G點(diǎn)下z＝1m處的附加應(yīng)力系數(shù)。角點(diǎn)法的計(jì)算結(jié)果見表1。圖2為《土力學(xué)》［2］例題4.3，3個(gè)基底大小和所受荷載完全相同的相鄰矩形基礎(chǔ)，基礎(chǔ)凈距為2m，要求基礎(chǔ)甲中心O點(diǎn)深度2m處的地基附加應(yīng)力。角點(diǎn)法的計(jì)算結(jié)果見表2。

從表1、表2明顯看出，除完全一致的計(jì)算結(jié)果外，差別較大的0.082 2與0.081 4及0.747 7與0.746 4也僅僅相差0.000 8及0.001 3。前者由2.5×1.0 矩形引起（z＝1）：角點(diǎn)法數(shù)值0.201 6，公式法數(shù)值0.202 4，后者由2.5×2.0矩形引起（z＝2）：角點(diǎn)法數(shù)值0.186 6，公式法數(shù)值0.186 9，均由線性內(nèi)插引起。

圖1 角點(diǎn)法示意圖（單個(gè)基礎(chǔ)）Fig.1 The sketch map of the corner point method（a single foundation）

表1 角點(diǎn)法、公式法計(jì)算表（單個(gè)基礎(chǔ)）Table 1 The calculated results by the corner point method and the formula method（a single foundation）

圖2 角點(diǎn)法示意圖（多個(gè)基礎(chǔ)）Fig.2 The sketch map of the corner point method（multiple foundation）

表2 角點(diǎn)法、公式法計(jì)算表（多個(gè)基礎(chǔ)）Table 2 The calculated results by the corner point method and the formula method（multiple foundation）

表3為公式法與《土力學(xué)地基基礎(chǔ)》表3-4角點(diǎn)法計(jì)算結(jié)果［4］對照表。明顯看出，差別不超過±0.3‰。

4 結(jié)論

a.本文利用積分導(dǎo)出了垂直均布荷載作用下矩形基礎(chǔ)地基中任意點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)的計(jì)算公式，雖然表達(dá)式復(fù)雜，不易記憶，但可借助Excel編制相應(yīng)的計(jì)算程序，使得計(jì)算過程異常便利。

b.公式（10）更具一般性，據(jù)此導(dǎo)出了一些特殊點(diǎn)，如角點(diǎn)、中心點(diǎn)、邊中點(diǎn)及2l×2b區(qū)域角點(diǎn)下具體的計(jì)算公式，并通過與有關(guān)文獻(xiàn)所列角點(diǎn)下的計(jì)算公式對比，證明推導(dǎo)的公式是正確的。

表3 公式法、角點(diǎn)法計(jì)算結(jié)果對照表Table 3 The comparison of the calculated results by the corner point method and the formula method

續(xù)表3

c.文中給出的對比算例中，有些結(jié)果完全一致，有些僅有很小的偏差。而偏差出現(xiàn)的原因可能是由于角點(diǎn)法計(jì)算過程中內(nèi)插取值不同。

d.公式法達(dá)到了“速算”程度，只要給出矩形的長（l）、寬（b），就可計(jì)算任意點(diǎn)（x，y，z）的附加應(yīng)力系數(shù)，極大地方便了工程技術(shù)人員在實(shí)際工作中的運(yùn)用，也避免了查表內(nèi)插因人而異產(chǎn)生的差異及角點(diǎn)法計(jì)算過程中因?qū)Σ煌匦涡柽M(jìn)行l(wèi)/b、z/b計(jì)算可能出現(xiàn)混亂而導(dǎo)致的錯(cuò)誤。

e.需要說明的是，由公式（10）驗(yàn)證或推導(dǎo)文中所示的幾種特殊的附加應(yīng)力系數(shù)時(shí)，出現(xiàn)了分母為0的分式，這是由于在積分推導(dǎo)過程中這些分式分母均以代數(shù)形式給出，并一直沿襲到最后的結(jié)果。在實(shí)際計(jì)算過程中，只要將這些項(xiàng)不參與計(jì)算，即作為0處理即可。

f.公式法計(jì)算需要5個(gè)參數(shù)，即基礎(chǔ)長（l）、寬（b）及計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)（x，y，z）。需要注意的是坐標(biāo)軸x和y的取向要與基礎(chǔ)長、寬保持一致，不一定長邊就是x軸、短邊就是y軸。

g.該公式不能直接計(jì)算z＝0處的附加應(yīng)力系數(shù)。若需要計(jì)算，可在Excel表中直接設(shè)置z＝0時(shí)，附加應(yīng)力系數(shù)為0.25即可。

［1］陳希哲.土力學(xué)地基基礎(chǔ)（第四版）［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2004.Chen X Z.Soil Mechanics and Foundation（the fourth edition）［M］.Beijing：Tsinghua University Press，2004.（In Chinese）

［2］龔文惠.土力學(xué)［M］.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2007.Gong W H.Soil Mechanics［M］.Wuhan：Huazhong University of Science and Technology Press，2007.（In Chinese）

［3］陳晉中.土力學(xué)與地基基礎(chǔ)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2008.Chen J Z.Soil Mechanics and Foundation［M］.Beijing：China Machine Press，2008.（In Chinese）

［4］陳希哲.土力學(xué)地基基礎(chǔ)（第二版）［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1989.Chen X Z.Soil Mechanics and Foundation（the second edition）［M］.Beijing：Tsinghua University Press，1989.（In Chinese）