水平井干擾試井模型求解新方法

王小魯，賈永祿，王本成，王少飛，聶仁仕

（1.油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（西南石油大學(xué)），成都610500；2.青海油田 天然氣開發(fā)公司，青海 格爾木816000；3.中國(guó)石化 西南油氣分公司 博士后科研工作站、勘探開發(fā)研究院，成都610041；4.中國(guó)石油 長(zhǎng)慶油田分公司，西安710000）

隨著油氣藏的開發(fā)，動(dòng)靜態(tài)結(jié)合的多井系統(tǒng)油田開發(fā)的試井過程中，后期試井資料受鄰井干擾的現(xiàn)象日趨增加［1］。然而，國(guó)內(nèi)外所應(yīng)用的試井分析方法和解釋軟件大多是基于單井系統(tǒng)的試井解釋模型，忽略了鄰井干擾的影響，難以得到正確的分析結(jié)果。

干擾試井是多井試井中歷史最長(zhǎng)的一種方式，Theis率先給出了在均質(zhì)無限大油藏中由其他點(diǎn)流速變化引起的壓力變化的解［2，3］。Tongpenyai提出了考慮激動(dòng)井表皮效應(yīng)和井筒儲(chǔ)存效應(yīng)的均質(zhì)油藏干擾試井模型［4］。Ogbe等進(jìn)一步給出了注采井同時(shí)存在的均質(zhì)多井油藏中的一口生產(chǎn)井的壓力恢復(fù)分析理論，并建立了一口注水井的壓力降落分析方法［5］。張秀華等研究了考慮井筒儲(chǔ)集和表皮系數(shù)影響的復(fù)合油藏干擾試井模型，并繪制了相應(yīng)的樣板曲線［6］。張德志等研究了三重介質(zhì)油藏干擾試井壓力動(dòng)態(tài)變化，并分析了井筒儲(chǔ)存、表皮系數(shù)、竄流系數(shù)以及彈性儲(chǔ)容比對(duì)觀測(cè)井井底壓力的影響［7］。謝林峰等利用數(shù)值模擬的方法開展了氣藏水平井干擾試井參數(shù)敏感性研究，定性地揭示了這些參數(shù)或參數(shù)組合與干擾壓力的關(guān)系，但不能用于干擾試井解釋與評(píng)價(jià)［8］。

目前國(guó)內(nèi)外許多文獻(xiàn)［9－14］對(duì)干擾試井問題作了一定的論述，建立了相應(yīng)的理論模型和數(shù)學(xué)模型，部分還作出了相應(yīng)的理論曲線，在油田中的應(yīng)用也比較普遍；但大都針對(duì)直井模型，水平井模型研究甚少。針對(duì)試井模型求解方法而言，大都采用Laplace變換求解［15］。本文采用一種新的水平井試井求解方法，獲得了三維實(shí)空間任意一點(diǎn)的壓力精確解，利用新研究的水平井干擾試井分析模型和試井曲線，有效地確定地層的連通情況以及準(zhǔn)確獲取地層動(dòng)態(tài)參數(shù)信息，為油田高效開發(fā)提供保障。

1 物理模型

圖1 水平井干擾試井滲流模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the physical model of the horizontal well interference testing

無限大均質(zhì)油藏中，考慮兩水平井A和B，A為觀測(cè)井，B為激動(dòng)井，其滲流物理模型如圖1所示。且基于如下物理模型假設(shè)：（1）油藏厚度為h，水平井距油藏底面距離為Zw，水平井長(zhǎng)度為L(zhǎng)；（2）油藏均質(zhì)且各向異性，水平等厚，頂面和底面為封閉邊界，外邊界為無限大；（3）激動(dòng)井開井前整個(gè)油藏保持均一的原始?jí)毫i；（4）地層巖石和流體均微可壓縮，且壓縮系數(shù)為常數(shù)，原油黏度不變；（5）忽略重力、毛管力的影響，流體在地層中作達(dá)西流動(dòng)。

2 數(shù)學(xué)模型

在三維笛卡爾坐標(biāo)系下，多段壓裂水平井滲流控制微分方程為

若將井作為點(diǎn)源列入方程，式（1）可改寫為

初始條件

外邊界條件

底面封閉

頂面封閉

3 無因次數(shù)學(xué)模型

無因次定義如下

無因次壓力

無因次時(shí)間

無因次流量

無因次距離

在三維笛卡爾坐標(biāo)系下，水平井無因次點(diǎn)源滲流控制微分方程為

初始條件

外邊界條件

底面封閉

頂面封閉

4 數(shù)學(xué)模型求解

根據(jù)水平井無因次點(diǎn)源滲流控制微分方程和邊界條件（式（8）－式（13））的特征，該數(shù)學(xué)問題為偏微分方程組的初邊值問題。本文利用正交變換，將此問題轉(zhuǎn)化為常微分方程的初值問題，再根據(jù)矩陣微分方程的基礎(chǔ)理論便可以求出本問題的精確解。本文考慮的三維特征值問題如下

求解式（14）的三維特征值λ和特征函數(shù)，首先需分別解出x，y和z方向的3個(gè)一維特征值方程

解出特征值和特征函數(shù)為

x方向：特征值為λβ＝β2，對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為Eβ（x）＝eiβx，β∈（－∞，＋∞）；

y方向：特征值為λγ＝γ2，對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為Eγ（y）＝eiγy，γ∈（－∞，＋∞）；

z方向：特征值為λn＝（nπ）2，對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為En（z）＝cosnπzD，（n＝0，1，2，…）。

因此，上述三維特征值λ和特征函數(shù)分別為

特征函數(shù)系：Λ＝ ｛Eβγn（xD，yD，zD），（β，γ∈（－∞，＋∞）；n＝0，1，2，…）｝，構(gòu)成了三維空間上的完備正交系，則

式中

利用特征函數(shù)系的完備正交性便可引入相應(yīng)的正交變換。

首先引入正交變換的定義

式（21）為pD（xD，yD，zD，tD）的正交變換，記為

如果右端的廣義積分是收斂的，那么根據(jù)式（20）就可以得到逆變換公式

對(duì)式（8）—式（13）進(jìn)行正交變換，最后整理化簡(jiǎn)得到下面的常微分方程組

解得

代入逆變換公式（22），得到水平井井底壓力的無因次精確解，即全空間Ω的點(diǎn)源解

因此，考慮整個(gè)機(jī)動(dòng)水平井對(duì)觀察點(diǎn)（xD，yD，zD）的壓力影響，我們則需將所求得的點(diǎn)源解進(jìn)行擴(kuò)展到整個(gè)水平井，即對(duì)點(diǎn)源解（式（25））進(jìn)行線積分，則觀察點(diǎn)的壓力表達(dá)式為

5 樣板曲線

圖2為激動(dòng)井和觀察井均為水平井的干擾試井井底壓力雙對(duì)數(shù)樣板曲線。從圖中可以看出，激動(dòng)井忽略井筒儲(chǔ)集與表皮效應(yīng)的影響，其雙對(duì)數(shù)曲線主要可以分為3個(gè)流動(dòng)階段：早期徑向流、中期線性流和晚期徑向流。由于激動(dòng)井早期徑向流階段發(fā)生在近井筒地帶，且時(shí)間較短，因此，對(duì)應(yīng)的觀察井主要反映為2個(gè)流動(dòng)階段：線性流和徑向流，出現(xiàn)的時(shí)間均晚于激動(dòng)井。

圖2 水平井干擾試井理論樣板曲線Fig.2 The type curves of the well test theory for the horizontal well interference testing

6 敏感性分析

圖3與圖4為觀察井位置（x方向和y方向）對(duì)井底壓力動(dòng)態(tài)樣板曲線的影響。從圖中可以看出，觀察井位置與激動(dòng)井位置越近，觀察井井底壓力受激動(dòng)井干擾越早出現(xiàn)，且觀察井的位置變化只影響壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線的前期，不影響壓力導(dǎo)數(shù)的后期，即后期徑向流壓力導(dǎo)數(shù)值不變。

圖3 觀察井x方向距離對(duì)試井樣板曲線的影響Fig.3 Effect of the distance for observation well in xdirection on the type curves of horizontal well interference testing

圖4 觀察井y方向距離對(duì)干擾試井樣板曲線的影響Fig.4 Effect of the distance of the observation well in ydirection on the type curves of the horizontal well interference testing

圖5、圖6和圖7為觀察井和激動(dòng)井不同的堆疊方式對(duì)干擾試井曲線的影響。對(duì)比3種堆疊方式，激動(dòng)井的曲線沒有變化，均沒反映出干擾的特征，而圖6觀察井雙對(duì)數(shù)曲線比圖5和圖7更早出現(xiàn)線性流階段，并且壓力導(dǎo)數(shù)曲線線性流段的斜率更小。圖5與圖7表現(xiàn)出“水平并排”和“水平直線并排”這兩種堆疊方式對(duì)觀察井的雙對(duì)數(shù)曲線影響不大，其樣板曲線變化趨勢(shì)一致。

圖5 觀察井與激動(dòng)井水平并排干擾試井樣板曲線Fig.5 The type curves of the horizontal wells in the interference testing at the same horizontal level

圖6 觀察井與激動(dòng)井上下垂直并排干擾試井樣板曲線Fig.6 The type curves of the stacked laterals horizontal wells in the interference testing

圖7 觀察井與激動(dòng)井水平直線并排干擾試井樣板曲線Fig.7 The typical curves of the horizontal opposing dual laterals horizontal wells in interference testing

7 結(jié)論

a.建立了水平井干擾試井滲流模型，并利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析方法進(jìn)行了求解，獲得了三維實(shí)空間下任意一點(diǎn)壓力的精確解，以及新型的水平井干擾試井樣板曲線。

b.獲得了水平井干擾試井中觀察井的2個(gè)典型的流動(dòng)特征：線性流和徑向流，且出現(xiàn)時(shí)間均晚與激動(dòng)井。

c.分析并獲得了觀察井位置以及堆疊方式對(duì)試井樣板曲線的影響規(guī)律：觀察井離激動(dòng)井越近，雙對(duì)數(shù)曲線線性流出現(xiàn)的時(shí)間越早；堆疊方式不同，雙對(duì)數(shù)曲線線性流出現(xiàn)的時(shí)間以及斜率均不相同。

符號(hào)說明

Ct為綜合壓縮系數(shù)（MPa－1）；E（）為特征函數(shù)；F（）為正交變換；h為油層厚度（m）；Kx，Ky，Kz分別為x，y，z方向的滲透率；L為水平井長(zhǎng)度（m）；LD為無因次水平井長(zhǎng)度；p為壓力（MPa）；pi為原始地層壓力（MPa）；pw為井底壓力（MPa）；pD為無因次壓力；pwD為無因次井底壓力；~Q為點(diǎn)源產(chǎn)量（m3/d）；Q為總產(chǎn)量（m3/d）；QD為無因次產(chǎn)量；rw為井半徑（m）；t為時(shí)間（h）；tD為無因次時(shí)間；x，y，z為三維空間坐標(biāo)（m）；xw，yw，zw為三維空間點(diǎn)源坐標(biāo)（m）；δ（）為δ函數(shù)；ξx，ξy和ξz分別為δ函數(shù)在x，y，z方向上的函數(shù)變量；η為黏度（MPa·s）；q為孔隙度；λβ，λγ，λn分別為x，y，z方向特征值；λβγn為三維特征值；An為中間代換變量；τ和σ均為積分變量。

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