應(yīng)用MATLAB優(yōu)化工具箱求解優(yōu)化問題研究

劉洋萍，陳永勝，鄭月鋒

（1.吉林師范大學(xué)博達(dá)學(xué)院 數(shù)學(xué)系，2.吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000）

通過對(duì)十幾年來獲獎(jiǎng)數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文的分析和研究，筆者發(fā)現(xiàn)對(duì)于很多實(shí)際問題的研究都是建立優(yōu)化模型進(jìn)行求解.這就要求參賽的大學(xué)生有扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)和廣博的實(shí)際知識(shí)，而且要求具備一定的計(jì)算機(jī)編程能力，要想提高這種能力必須熟悉很多問題的算法.MATLAB軟件提供了專業(yè)性能很強(qiáng)用于解決特定學(xué)科問題的工具箱，優(yōu)化工具箱就是其中之一，它能解決優(yōu)化問題的求解問題.下面我們對(duì)線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃的問題進(jìn)行討論，并且給出它們的典型算法，為大家解決優(yōu)化問題提供一些方法和思路.

優(yōu)化數(shù)學(xué)模型總體包含：設(shè)計(jì)變量x=(x1,x2,…,xn)T，目標(biāo)函數(shù) f(x)，約束條件 gi(x)≤0(i=1,2,…,m).

一般地，這類模型可表述為如下形式：

模型中有（1）（2）的為約束優(yōu)化問題，只有（1）的為無約束優(yōu)化問題.

1 用MATLAB解線性規(guī)劃問題

目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為線性函數(shù)的問題為線性規(guī)劃問題，一般模型形式有以下3種.

模型 1：minz=cX s.t.AX≤b，命令：x=linprog（c，A，b）

模型 2：minz=cX s.t.AX≤，Aeq·beq，命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）

若沒有不等式：AX≤b存在，則令A(yù)=[]，b=[].

模型 3：minz=cX s.t.AX≤b，Aeq·X=beq，vlb≤X≤vub

命令：[1]x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,X0)

[2][x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,X0)返回最優(yōu)解x及x處的目標(biāo)函數(shù)值fval.

若沒有等式約束:Aeq·X=beq,則令A(yù)eq=[],beq=[].X0表示初始點(diǎn).

建立M文件t1.m，編寫程序：

寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：

建立M文件t2.m，編寫程序：

2 用MATLAB解無約束優(yōu)化問題

2.1 一元函數(shù)無約束優(yōu)化問題:minf（x）x1≤x≤x2

常用格式如下：

2.2 多元函數(shù)無約束優(yōu)化問題

標(biāo)準(zhǔn)型為：minF(X)

命令格式為:

例3 minf(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)ex1

編寫M-文件 fun3.m:

輸入M文件t3.m如下:

3 用MATLAB解非線性規(guī)劃問題

目標(biāo)函數(shù)和約束條件中至少一個(gè)為非線性函數(shù)的模型為非線性規(guī)劃問題，模型形式包括二次規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型和非線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型.

3.1 二次規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型為：MinZ= XTHX+cTX

s.t.AX≤b,aeq·X=beq,vlb≤X≤vub

求解命令格式為:

例4 minf(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22

s.t.x1+x2≤2,-x1+2x22≤2,x1≥0,x2≥0

寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：

輸入命令：

3.2 非線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型為：

其中X為n維向量，G(X)與T(X)為非線性向量，式中其它變量含義同線性規(guī)劃.上述問題，用MATLAB求解基本分三步走：

（1）首先定義目標(biāo)函數(shù)F（X），建立M文件fun.m,

（2）其次，若G(X)或T(X)=0在約束條件中出現(xiàn)，則建立一個(gè)M文件QQ.m將G(X)與T(X)定義成一個(gè)函數(shù):

（3）最后，建立主程序.

Fmincon是非線性規(guī)劃求解的函數(shù),命令格式：

例5 minf(x)=ex1(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)

（1）首先定義目標(biāo)函數(shù)，建立M文件fun5.m：

（2）其次定義非線性約束，建立M文件QQ.m

（3）最后，建立主程序t5.m:

〔1〕刁在筠，鄭漢鼎.運(yùn)籌學(xué)（第 3 版）[M].北京：高等教育出版社，2001,9.

〔2〕趙靜，但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（第 2 版）[M].北京：高等教育出版社，2003,6.

〔3〕劉衛(wèi)國.MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2006,7.

〔4〕陳永勝，劉洋萍.基于MATLAB求解非齊次線性方程組[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009（10）：1-2.

〔5〕張武.MATLAB優(yōu)化工具箱及其應(yīng)用[J].農(nóng)業(yè)網(wǎng)絡(luò)信息，2008（08）:138-139.

〔6〕楊世文，許小建.MATLAB優(yōu)化工具箱在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2008(05):1347-1349.

〔7〕王向東.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，2004,7.

〔8〕姜啟源.數(shù)學(xué)模型（第 3版）[M].北京：高等教育出版社，2012,2.