全液壓矯直機(jī)的數(shù)學(xué)建模與仿真

劉瓊瓊，黃慶學(xué)，李昕濤

（太原科技大學(xué) 山西省冶金設(shè)備設(shè)計(jì)理論與技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原030024）

0 引言

鋼板矯直機(jī)是軋鋼領(lǐng)域中不可或缺的重要設(shè)備，主要用來(lái)提高鋼板的平整度和強(qiáng)度等。矯直理論經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，已經(jīng)相當(dāng)成熟。與此同時(shí)，現(xiàn)代控制理論和智能控制理論也在不斷進(jìn)步和完善，越來(lái)越多的先進(jìn)控制算法和矯直理論相結(jié)合，提高了矯直機(jī)的綜合性能。全液壓矯直機(jī)壓下控制系統(tǒng)是一個(gè)伺服控制系統(tǒng)，是一個(gè)非線(xiàn)性、高頻、欠阻尼的系統(tǒng)。由于傳統(tǒng)PID控制存在一些比較明顯的缺點(diǎn)，影響了鋼板品質(zhì)的提高，于是本文提出了一種新的控制算法，即帶死區(qū)的PID控制。

1 全液壓矯直機(jī)控制系統(tǒng)

全液壓矯直機(jī)控制系統(tǒng)包括指令設(shè)置、控制算法、伺服放大器、電液伺服閥、液壓缸、被控對(duì)象和傳感器等，如圖1所示。指令設(shè)置模塊發(fā)出電壓信號(hào)ui，ui與閉環(huán)回路中反饋回來(lái)的電壓信號(hào)經(jīng)比較器處理，產(chǎn)生偏差信號(hào)ue，ue經(jīng)過(guò)控制算法、伺服放大器、電液伺服閥等中間環(huán)節(jié)，作用在被控對(duì)象上。

圖1 控制系統(tǒng)整體原理圖

在全液壓矯直機(jī)系統(tǒng)中，壓下量的控制是最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。在以西門(mén)子300PLC為控制器的控制系統(tǒng)中，通常采用SM338位置檢測(cè)模塊實(shí)時(shí)檢測(cè)、傳送數(shù)據(jù)。在矯直過(guò)程中，SM338將位置數(shù)據(jù)傳送給PLC，PLC向變頻器發(fā)出動(dòng)作指令，進(jìn)而調(diào)整壓下量。

2 全液壓矯直機(jī)數(shù)學(xué)模型的建立［1］

2.1 伺服放大器傳遞函數(shù)

2.2 伺服閥的傳遞函數(shù)

伺服閥本身是一個(gè)比較復(fù)雜的裝置，其動(dòng)態(tài)特性受許多外界條件的影響，由它抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型也具有高階、非線(xiàn)性的特點(diǎn)。工程應(yīng)用中，根據(jù)實(shí)際情況，常用1～3階傳遞函數(shù)來(lái)近似描述伺服閥的動(dòng)態(tài)特性。

伺服閥近似為幾階函數(shù)主要取決于伺服閥的頻寬和液壓系統(tǒng)固有頻率的關(guān)系。本系統(tǒng)中，伺服閥的頻寬大于液壓系統(tǒng)固有頻率的3～5倍，伺服閥可近似為一階慣性環(huán)節(jié)：

2.3 液壓缸的傳遞函數(shù)［2］

全液壓矯直機(jī)液壓缸系統(tǒng)是由對(duì)稱(chēng)閥控制非對(duì)稱(chēng)缸的模型，其中閥為四通閥。閥控缸的結(jié)構(gòu)原理圖如圖2所示。

圖2中，ps為系統(tǒng)壓力（油源壓力），p1為系統(tǒng)無(wú)桿腔壓力，p2為系統(tǒng)有桿腔壓力，q1為系統(tǒng)無(wú)桿腔流量，q2為系統(tǒng)有桿腔流量，A1為無(wú)桿腔活塞面積，A2為有桿腔活塞面積，mt為活塞及負(fù)載折算到活塞上的總質(zhì)量，BP為活塞及負(fù)載的黏性阻尼系數(shù)，K為負(fù)載彈簧剛度。

圖2 閥控缸結(jié)構(gòu)原理圖

系統(tǒng)正常工作狀態(tài)下，液壓缸達(dá)到靜態(tài)平衡時(shí)可得到的平衡方程為：

其中：FL為系統(tǒng)液壓缸的等效靜態(tài)負(fù)載。

定義等效負(fù)載壓力為pL，根據(jù)圖2和液壓平衡原理可得到：

令液壓缸正向運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑閥的動(dòng)態(tài)負(fù)載流量為qL。根據(jù)零開(kāi)口四邊滑閥進(jìn)油口或回油口的節(jié)流特性均能單獨(dú)決定液壓缸的靜態(tài)特性，可得到qL的表達(dá)式為：

液壓缸向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑閥的流量壓力方程為：

其中：Cd為流量系數(shù)；ω為節(jié)流閥閥口面積梯度；ρ為油液密度。

式（4）按照Tailor展開(kāi)，再線(xiàn)性化，則：

假定：伺服閥和液壓缸連接管道中的壓力損失可以忽略不計(jì)；液壓缸工作腔內(nèi)各處壓力相等，液壓油屬性不變；液壓缸內(nèi)泄和外泄均為層流流動(dòng)。

根據(jù)流入液壓缸的流量q1和流出液壓缸的流量q2，可得qL的表達(dá)式為：

其中：xP為活塞的位移；CtP為液壓缸總泄漏系數(shù)；βe為有效體積彈性模量；Vt為液壓缸總體積。

液壓缸總輸出力FL與負(fù)載阻力的綜合相互平衡，負(fù)載阻力包括運(yùn)動(dòng)部件的慣性力、運(yùn)動(dòng)部件的黏性摩擦力、彈性負(fù)載力以及其他負(fù)載力。力平衡方程為：

其中：F為作用在負(fù)載上的其他等效負(fù)載力。

聯(lián)合式（5）～式（7），可以描述閥控缸的動(dòng)態(tài)特性，對(duì)3個(gè)式子進(jìn)行拉普拉斯變換，可得：

將式（8）、式（9）和式（10）聯(lián)立，可得到閥芯位移XV到負(fù)載壓力pL的傳遞函數(shù)為：

其中：ωm為負(fù)載固有頻率；ξm為負(fù)載阻尼比；ωr為慣性環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率；ω0為綜合固有頻率；ξ0為綜合阻尼比；Kce為總壓力流量系數(shù)。

2．4 力反饋系統(tǒng)傳遞函數(shù)

結(jié)合伺服放大器、伺服閥和閥控缸的數(shù)學(xué)模型，得出力反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：

其中：Kf為活塞輸出力與對(duì)應(yīng)的電壓值之間的比例因子，也是反饋環(huán)節(jié)的比例系數(shù)。

3 帶死區(qū)的PID控制算法［3，4］

將全液壓矯直機(jī)各參數(shù)代入式（12），得到系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)的最終形式為：

由于SM338檢測(cè)到的數(shù)據(jù)存在很大的波動(dòng)，且變化頻繁并引起不同程度的振蕩。為解決這一問(wèn)題，現(xiàn)提出一種帶死區(qū)的PID控制算法，其控制算式為：

其中：e（k）為位置跟蹤偏差；e0為一個(gè)可調(diào)參數(shù)，其具體數(shù)值可根據(jù)生產(chǎn)工藝精度需要調(diào)整。若e0的值太小，控制動(dòng)作仍將過(guò)于頻繁，對(duì)于被控對(duì)象，起不到設(shè)定的穩(wěn)定作用；若e0的值太大，控制系統(tǒng)將產(chǎn)生比較大的滯后。帶死區(qū)的控制系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)非線(xiàn)性系統(tǒng)，當(dāng)｜e（k）｜≤｜e0｜時(shí)，數(shù)字調(diào)節(jié)器輸出為零；當(dāng)｜e（k）｜＞｜e0｜時(shí)，數(shù)字輸出調(diào)節(jié)器有PID輸出。

4 仿真結(jié)果與分析

系統(tǒng)采樣時(shí)間為1ms，死區(qū)參數(shù)e0＝0.10。輸入一階躍信號(hào)，采用一般的PID控制算法，輸出仿真結(jié)果如圖3所示；采用帶死區(qū)的PID控制算法，輸出仿真結(jié)果如圖4所示。

圖3 一般PID算法仿真結(jié)果

引入死區(qū)PID的目的，是為了減少振蕩次數(shù)。從圖3可以看出，在一般PID算法控制下，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)多次振蕩，仍未能很快達(dá)到穩(wěn)定，而且振幅比較大；由圖4不難看出，在帶死區(qū)的PID算法控制下，系統(tǒng)的振蕩次數(shù)大大減少，并且振幅都很小，一直穩(wěn)定在目標(biāo)值附近的很小范圍之內(nèi)。兩種算法的優(yōu)劣比較明顯。

圖4 帶死區(qū)PID算法仿真結(jié)果

5 總結(jié)

引入帶死區(qū)的PID控制算法，可以在很大程度上消除頻繁動(dòng)作引起的振蕩，相比一般的PID算法控制精度有了很大的改善。

［1］王積偉，章宏甲，黃誼.液壓傳動(dòng) ［M］.第2版.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.

［2］胡剛.液壓式測(cè)力機(jī)電液伺服控制系統(tǒng)的建模與仿真［J］.中國(guó)計(jì)量，2005（5）：52-53.

［3］馬建偉.滿(mǎn)意PID控制設(shè)計(jì)理論與方法［M］.北京：科學(xué)出版社，2007.

［4］劉金琨.先進(jìn)PID控制MATLAB仿真［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2011.