具有時(shí)滯和不同潛伏階段的艾滋病模型的Hopf分支

尹錦錦，胡志興

（北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083）

艾滋?。ˋcquired Immune Deficiency Syndrome，AIDS），即獲得性免疫缺陷綜合征，是人類因?yàn)楦腥久庖呷毕莶《荆℉uman Immunodeficiency Virus，HIV）后導(dǎo)致的免疫缺陷，并發(fā)一系列機(jī)會(huì)性感染及腫瘤，嚴(yán)重者可導(dǎo)致死亡.1981年，人類免疫缺陷病毒首次在美國(guó)發(fā)現(xiàn).HIV是一種能攻擊人體免疫系統(tǒng)的病毒，有很長(zhǎng)的潛伏期和傳染期.由于較長(zhǎng)的傳染期，一般會(huì)經(jīng)過幾個(gè)感染階段最終發(fā)展為成熟的艾滋?。?］.

時(shí)滯在一些傳染病模型［2－5］中被許多研究者考慮.由于各種實(shí)際原因，如免疫和治療，時(shí)滯可能會(huì)出現(xiàn)在流行病研究中.對(duì)于某些疾?。ㄈ缌鞲?、結(jié)核、艾滋病、麻疹等），易感者暴露后容易被接觸感染，也就是說，被感染的個(gè)體可能不具有傳染性，此感染者仍然經(jīng)過一定的潛伏期才成為傳染性易感者.文獻(xiàn)［4］建立了一個(gè)帶有時(shí)滯和脈沖接種的傳染病模型，文獻(xiàn)［5］提出一個(gè)具有明確潛伏期和離散時(shí)滯微分方程的AIDS模型.本文引入時(shí)滯，建立一個(gè)帶有時(shí)滯和不同潛伏階段的AIDS模型，根據(jù)參數(shù)值研究時(shí)滯對(duì)疾病平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響.

1 模型的建立

艾滋病模型考慮將總?cè)丝诜譃?個(gè)倉(cāng)室，分別為易感染類S、慢潛伏類I1、快潛伏類I2、出現(xiàn)癥狀階段J和完全獲得AIDS為A.文獻(xiàn)［6］建立了如下模型:

其中:Λ表示人口的輸入率，β1表示快潛伏類的轉(zhuǎn)移系數(shù)，β2表示有癥狀階段的轉(zhuǎn)移系數(shù)，p表示S被I2感染后進(jìn)入I1的部分，q是S被J感染后進(jìn)入I1的部分，ε是I1到I2的進(jìn)入率，p1是I2到J的進(jìn)入率，p2是J到A的進(jìn)入率，ξ1是從J到I1的治療率，ξ2是從J到I2的治療率，d是自然死亡率，b1＝ε＋d，b2＝p1＋d，b5＝α＋d.α是與疾病有關(guān)的死亡率.

由于模型（1）中變量A在前4個(gè)式中沒有出現(xiàn)，只考慮系統(tǒng)（1）的前4個(gè)方程構(gòu)成的子系統(tǒng).本文對(duì)模型（1）的前4個(gè)方程構(gòu)成的子系統(tǒng)引入時(shí)滯，研究時(shí)滯對(duì)疾病平衡點(diǎn)的影響.設(shè)τ為表示出現(xiàn)癥狀的J經(jīng)過治療轉(zhuǎn)變?yōu)闊o癥狀的I2，且直到I2的治療效果可見時(shí)的時(shí)間，其模型如下:

其中b4＝ξ1＋p2＋d，其他變量代表的意義同模型（1）.

定義模型的基本再生數(shù)

模型（2）的初始條件為

其中φi（θ）≥0，θ∈ ［－τ，0］，φi（0）＞0（i＝1，2，3，4），且 （φ1（θ），φ2（θ），φ3（θ），φ4（θ））∈C（［－τ，0］，）.記X＝C（［－τ，0］，）是從區(qū)間［－τ，0］映射到的連續(xù)函數(shù)的Banach空間，并且此空間具有拓?fù)湟恢率諗啃?，?｛（x1，x2，x3，x4）｜xi≥0，i＝1，2，3，4｝.

2 平衡點(diǎn)的存在性和無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

模型（2）總是有無病平衡點(diǎn)E（，0，0，0）；如0果R0＞1，那么模型（2）有疾病平衡點(diǎn)E＊（S＊，，，J＊），這里

系統(tǒng)（2）在無病平衡點(diǎn)E0的特征方程為

這里P（λ）＝λ3＋d1λ2＋d2λ＋d3，Q（λ）＝e1λ2＋e2λ＋e3，其中

特征方程（3）有一個(gè)特征根λ＝－d＜0，其他的特征根由P（λ）＋Q（λ）e－λτ＝0決定.設(shè)

當(dāng)τ＝0時(shí)，由文獻(xiàn)［6］中定理2知無病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)R0＜1和τ＞0時(shí)，λ＝iω（ω＞0）為方程（4）的純虛根，則將λ＝iω（ω＞0）帶入方程（4），分離實(shí)部和虛部，消去三角函數(shù)得

其中y＝ω2，γ1＝－2d2－，γ2＝2e1e3－2d1d3＋－，γ3＝－.

不難證明:當(dāng)－3γ2＜0和γ3≥0時(shí)方程（5）沒有正實(shí)根，也就是不存在正數(shù)ω使得iω是方程（3）的特征根.由Rouche′s定理可知，對(duì)所有的τ≥0特征方程（3）的所有特征根都有負(fù)實(shí)部.

當(dāng)τ＝0時(shí)，如果R0＞1，設(shè)h（λ）＝λ3＋（d1＋e1）λ2＋（d2＋e2）λ＋（d3＋e3），則

引理1 若R0＜1，－3γ2＜0和γ3≥0，則系統(tǒng)（2）的無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的；若R0＞1，則無病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的.

3 疾病平衡點(diǎn)和Hopf分支

以下討論時(shí)滯對(duì)疾病平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響.模型（2）在平衡點(diǎn)E＊（S＊，I，，J＊）處的特征方程為

其中f（λ）＝λ4＋m1λ3＋m2λ2＋m3λ＋m4，

當(dāng)τ＝0時(shí)方程（6）為f（λ）＋g（λ）＝0，即

其中a1＝m1＋n1，a2＝m2＋n2，a3＝m3＋n3，a4＝m4＋n4.根據(jù)Hurwitz判別條件，若ai＞0（i＝1，2，3，4）和a3（a1a1－a3）－4＞0，則特征方程（7）有負(fù)實(shí)部的根.

引理2 當(dāng)τ＝0時(shí)，若ai＞0（i＝1，2，3，4）和a3（a1a2－a3）－4＞0，則模型（2）的疾病平衡點(diǎn)E＊是局部漸近穩(wěn)定的.

根據(jù)文獻(xiàn)［7］定理9.17.4和τ的連續(xù)性，特征方程（6）有正實(shí)部的根當(dāng)且僅當(dāng)它有純虛根.如果方程（6）有純虛根，這樣就能夠找到條件使方程（6）的所有特征根有負(fù)實(shí)部.

設(shè)λ＝α（τ）＋iω（τ）（ω＞0）為方程（6）的根，這里α（τ）和ω（τ）依賴于時(shí)滯τ.當(dāng)τ＝0時(shí)，模型（2）的疾病平衡點(diǎn)E＊是穩(wěn)定的.根據(jù)連續(xù)性，對(duì)于充分小的τ＞0仍有α（τ）＜0和E＊穩(wěn)定.因?yàn)閷?duì)于特定的τ0＞0有α（τ0）＝0，這樣就有λ＝iω（τ0）是方程（6）的純虛根，從而疾病平衡點(diǎn)E＊就可能失去穩(wěn)定性，最終當(dāng)α（τ）增加到正的時(shí)E＊就變得不穩(wěn)定.換言之，若這樣的ω（τ0）不存在，則方程（6）對(duì)所有時(shí)滯τ都沒有純虛根，從而正平衡點(diǎn)E＊對(duì)所有τ＞0都是穩(wěn)定的.

當(dāng)R0＞1和τ＞0時(shí)，假設(shè)方程（6）有根λ＝iω且ω＞0，將λ＝iω帶入（6），分離實(shí)部和虛部，消去三角函數(shù)得

這里x＝ω2，α1＝m1－2m2－，

因而，若特征方程（6）有一純虛根λ＝iω，則方程（8）有一正實(shí)根ω2.假設(shè)方程（8）有（1≤≤4）個(gè)正實(shí)根，分別記為xn（1≤n≤），設(shè)Qn＝（－m2xn＋m4）（n2xn－n4）＋xn（－m1xn＋m3）（n1xn－n3），

這里1≤n≤，j＝0，1，2，….這樣就證明了特征方程（6）有一對(duì)純虛根±i.對(duì)每一個(gè)整數(shù)j和1≤n≤，設(shè)為特征方程（6）在附近的根并且滿足

即得定理1的結(jié)論.

應(yīng)用定理1和Hopf分支定理［8］，能夠得到下面的Hopf分支存在定理.

定理2 （1）若方程（8）沒有正實(shí)根，則對(duì)任意τ＞0，正平衡點(diǎn)E＊是局部漸近穩(wěn)定的；（2）若方程（8）有正實(shí)根，那么對(duì)τ∈［0，］，正平衡點(diǎn)E＊是局部漸近穩(wěn)定的，這里j＝0，1，2，…｝，τ（j）n如公式（9）定義；（3）更進(jìn)一步有，如果xn0是方程（8）的單根，則系統(tǒng)（2）在τ＝處產(chǎn)生Hopf分支.

4 分支周期解的穩(wěn)定性分析

用文獻(xiàn)［8］的方法來分析分支周期解的穩(wěn)定性.假設(shè)

（H1）當(dāng)τ＝τ0時(shí)方程（7）有一對(duì)純虛根±iω0，這里τ0∈｜1≤n≤，j＝0，1，2，…｝；

（H2）是方程（8）的單根，即G′（）≠0；

（H3）方程（6）的其他根有嚴(yán)格的負(fù)實(shí)部.

若用μ＝τ－τ0作為一個(gè)新的分支變量，則μ＝0就是Hopf分支的值.設(shè)

因此系統(tǒng)（2）可以寫為

這里L(fēng)μφ＝F1φ（0）＋F2φ（－τ），

定義

這里φ∈C（［－τ，0］，R4）.

因此（10）變?yōu)?/p>

對(duì)ψ∈C（［－τ，0］，R4），A＊（0）是A（0）的共軛算子，定義A＊（0）如下:

把A（0）、A＊（0）、η（θ，0）和R（0）分別簡(jiǎn)寫為A、A＊、η（θ）和R.對(duì)φ∈C（［－τ，0］，R4）和ψ∈C（［－τ，0］，R4）定義內(nèi)積:

定義h（θ）和h＊（s）為A和A＊對(duì)應(yīng)于特征值iω0和－iω0的特征向量，則有

下面選擇h（θ）和h＊（s）滿足〈h，h＊〉＝1.h（θ）＝ （1，h2，h3，h4）Teiω0θ和h＊（s） ＝D（1，，，）Teiω0s.這里

根據(jù)文獻(xiàn)［8］的方法，得到下面的系數(shù):

計(jì)算出g20、g11、g02和g21，這樣就能得到下面的變量值:

其中μ2的符號(hào)決定Hopf分支的方向:若μ2＞0，則分支周期解在μ＞0（τ＞τ0）時(shí)存在；β3的符號(hào)決定分支周期解的穩(wěn)定性:當(dāng)β3＜0時(shí)周期解是穩(wěn)定的.由于sign［Reλ′（τ0）］＝sign［G′（ω0）］.

設(shè)＝－，則得到

定理3 假設(shè)（H1）、（H2）、（H3）成立，（1）若＞0＜0），則當(dāng)τ＞τ0（τ＜τ0）時(shí)分支周期解是存在的；（2）若β3＜0，則當(dāng)t→＋∞時(shí)分支周期解是軌道漸近穩(wěn)定的.

容易證明當(dāng)τ0＝時(shí)，這里由（10）式定義，由定理2的條件（2）的證明知道:分支周期解的存在性和穩(wěn)定性僅由 Re（c1（0））決定.特別地，若Re（c1（0））＜0，由定理3可知:當(dāng)τ＞τ0時(shí)存在穩(wěn)定的周期解.

5 數(shù)值模擬

以下用數(shù)值模擬來證明周期解的穩(wěn)定性理論.選取參數(shù):Λ＝4.343 6，β1＝1.585 3，β2＝2.044 9，d＝0.549 0，p1＝2.429 9，p2＝0.200 1，ε＝3.325 0，ξ1＝0.924 1，ξ2＝4.957 2，p＝0.633 6，q＝0.701 7，則R0＝19.226 2＞1，平衡點(diǎn)E＊（0.411 5，1.071 4，4.285 8，1.570 7），方程（10）有一個(gè)正實(shí)根，滿足定理1中的條件（2），計(jì)算得τ0＝1.098 3.應(yīng)用定理2，當(dāng)τ＜τ0時(shí)E＊是穩(wěn)定的，其相圖如圖1所示.經(jīng)計(jì)算得c1（0）＝－0.449 5＋0.112 2i，則當(dāng)τ＞τ0時(shí)存在穩(wěn)定的周期解，其相圖如圖2所示.

圖1 當(dāng)τ＝0.6＜τ0時(shí)E＊是穩(wěn)定的Fig.1 E＊is stable forτ＝0.6＜τ0

圖2 當(dāng)τ＝1.1＞τ0時(shí)有一個(gè)穩(wěn)定的周期解Fig.2 A stable periodic solution forτ＝1.1＞τ0

6 結(jié)語

本文研究具有時(shí)滯和兩種潛伏期的AIDS模型，討論了模型的動(dòng)力學(xué)行為.得到基本再生數(shù)R0.對(duì)比文獻(xiàn)［6］中的研究，我們引入的時(shí)滯改變了疾病平衡點(diǎn)E＊的穩(wěn)定性，得到疾病平衡點(diǎn)E＊在τ∈［0，τ0）時(shí)是局部漸近穩(wěn)定的，隨著τ的增大E＊開始變得不穩(wěn)定最終出現(xiàn)分支周期解.用文獻(xiàn)［8］中的方法證明了分支周期解的穩(wěn)定性，并且由定理2知道周期解的穩(wěn)定性僅由Re（c1（0））決定.數(shù)值模擬驗(yàn)證了結(jié)論的正確性.

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