環(huán)R上的一類常循環(huán)碼及自對偶碼

徐露露， 劉 麗

（合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院，安徽 合肥 230009）

自從文獻［1］證明了某些二元非線性碼可以看作Z4線性碼在Gray映射下的二元象之后，有限環(huán)上糾錯碼理論就成為研究的一個新熱點，從此Gray映射是連接環(huán)上碼與域上碼的關鍵點，所以被眾多學者加以重新定義和研究［2－8］。文獻［3－4］中引入了一個 Nechaev－Gray映射，研究了Z4上負循環(huán)碼的Gray映射，隨后，多項式剩余類環(huán)介于有限域和環(huán)之間的良好結構性質，在糾錯碼理論研究上備受關注。文獻［9］首次研究了F2＋uF2上常循環(huán)碼的Gray象性質，隨后，文獻［10］又研究了F2m＋uF2m＋…＋ua－1F2m上形如（α0＋uα1＋…＋ua－1αa－1）循環(huán)碼結構。本文在環(huán)R＝F2＋uF2＋u2F2＋…＋u7F2上，重新定義一種新的 Gray映射，研究η＝（1＋u＋u2＋u3＋u4＋u5＋u6＋u7）循環(huán)碼的 Gray象，在該映射之下，環(huán)R上線性循環(huán)碼能等距映射成域F2的線性循環(huán)碼，并給出n為奇數(shù)時該碼的Gray象的生成多項式。

1 環(huán)R上的循環(huán)碼與η循環(huán)碼

定義1 設C為R上長為n的線性碼，如果?c＝ （c0，c1，…，cn－1）∈C均 有 （λcn－1，c0，…，cn－2）∈C，此時稱（λcn－1，c0，…，cn－2）為（c0，c1，…，cn－1）的一個λ循環(huán)移位，則稱C為R上的λ循環(huán)碼。若λ＝1，則稱C為R上的循環(huán)碼，若λ＝1＋u＋u2＋u3＋u4＋u5＋u6＋u7（記為η），則稱C為R上的η循環(huán)碼。

定義2 如果設C、C1是Rn的2個子空間，對于任意的a＝（a0，a1，…，an－1）∈C，β＝（b0，b1，…，bn－1）∈C1，恒有a0b0＋…＋an－1bn－1＝0，則稱C、C1為正交的。如果C＋C1＝Rn，則稱C1為C的正交補，將它記做C⊥，并稱之為C的對偶碼，若C⊥＝C，則稱C為自對偶碼。

對碼字c＝（c0，c1，…，cn－1）∈C的碼字多項式，即對應R［x］／（xn＋η）中的多項式c（x）＝c0＋c1x＋…＋cn－1xn－1，類似于文獻［4］，有如下結論。

定理1Rn上子模是R上η循環(huán)碼?c（x）是環(huán)Bn＝R［x］／（xn＋η）的理想。

假設n為奇數(shù)，k為一個正整數(shù)，若n≡3（mod 4），則設β＝η；若n≡1（mod 4），則設β＝1＋u。注意到βn＝1＋u，且（1＋u）η＝1。

設μ是如下映射：R［x］／（xn＋1）→R［x］／（xn＋η），μ（c（x））＝c（βx）。則有如下定理2。

定理2 設β如上所述，則μ是R［x］／（xn＋1）到R［x］／（xn＋η）的環(huán)同構映射。

故有推論1。

推論1 設I是R［x］／（xn＋1）的子集，J是R［x］／（xn＋η）的子集，n為奇數(shù)，并滿足J＝μ（I），則I是R［x］／（xn＋1）的理想，當且僅當J是R［x］／（xn＋η）的理想。

文獻［11］給出了環(huán)Fp＋uFp＋…＋uk－1Fp上循環(huán)碼的結構，類似地有定理3。

利用上面的同構映射μ，得定理4。

2 R上η循環(huán)碼的Gray象

為不致引起混淆，將R、Rn、R［x］上加法記為“＋”，將F2、、F2［x］上加法記為“⊕”。若將R上任一元素a記為a＝r0（a）＋ur1（a）＋u2r2（a）＋…＋u7r7（a），其中ri（a）∈F2，參考文獻［7－8］，定義Gray映射φ：R→，則

顯然該映射是線性的，可自然延伸至Rn上碼字C的Gray映射以及R［x］上多項式c（x）的Gray映射φ：R→，則

其中c＝（c0，c1，…，cn－1）∈Rn。記ri（c）＝（ri（c0），ri（c1），…，ri（cn－1）），i＝0，1，2，…，7，φ顯然是雙射，對?c（x）＝c0＋c1x＋…＋cn－1xn－1∈R［x］，設

其中，i＝0，1，…，7。則φ：R［x］→F2［x］，即

定義環(huán)R中元素的Lee重量分別如下：u8為8；1＋u，1＋u2＋u3＋u6，1＋u4＋u5＋u6，1＋u2＋u3＋u4＋u5＋u6，1＋u＋u2＋u3＋u4＋u5＋u6為7；u＋u7，u2＋u7，u4＋u7，1＋u4＋u5＋u7為6；1＋u5，1＋u6，1＋u＋u6，1＋u＋u7，1＋u2＋u5，1＋u2＋u7，1＋u3＋u4，1＋u3＋u5，1＋u3＋u6，1＋u4＋u7，1＋u5＋u6，1＋u＋u2＋u4，1＋u＋u2＋u5，1＋u＋u2＋u6，1＋u＋u2＋u7，1＋u2＋u3＋u4，1＋u2＋u3＋u5，1＋u2＋u3＋u7，1＋u3＋u4＋u5，1＋u2＋u3＋u4＋u6，1＋u＋u2＋u3＋u5，1＋u＋u2＋u3＋u6，1＋u＋u2＋u3＋u7，1＋u3＋u4＋u5＋u6，1＋u2＋u3＋u4＋u5＋u7，1＋u＋u2＋u3＋u4＋u5，1＋u＋u2＋u3＋u4＋u6，1＋u＋u2＋u3＋u4＋u7為5；u6，u5，u3，u5＋u6，u5＋u7，u6＋u7，1＋u＋u2，1＋u3＋u4＋u6為4；u4，u2，u，u＋u2，u＋u3，u＋u4，u＋u5，u2＋u3，u2＋u4，u2＋u5，u2＋u6，u4＋u5，u4＋u6為2；1，1＋u4＋u5＋u6＋u7，1＋u＋u2＋u3＋u4＋u5＋u6＋u7為1；0為0；其余為3。

Rn中碼字的Lee重量為其碼元的Lee重量之和，2個碼字c、c′的Lee距離為c－c′的Lee重量。由Gray映射定義可得定理5～定理8。

定理5 Gray映射φ是（Rn，Lee距離）到（，Hamming距離）的保距映射。

定理6 若ν是Rn上一個η循環(huán)移位，σ是上的一個循環(huán)移位，φ是Rn到的Gray映射，則φν＝σφ。

證明 設c＝（c0，c1，…，cn－1）∈Rn，其中ci＝r0（ci）＋ur1（ci）＋u2r2（ci）＋ … ＋u7r7（ci），rj（ci）∈F2，i＝0，…，n－1，j＝0，1，…，7，則有：

定理7 設C為R上長為n的線性η循環(huán)碼，則其Gray象φ（C）是F2上長為8n的線性循環(huán)碼。

沿用文獻［6］中定義，對于c＝（c0，c1，…，cn－1）∈Rn，記ri（c）＝ ［ri（c0），ri（c1），…，ri（cn－1）］，其中，i＝0，1，2，…，7，則稱＝r0（c）為c的二元約化。類似地，若R［x］，則稱∈F2［x］為a（x）的二元約化，顯然有

定理8 若C是環(huán)R上長度為n（n為奇數(shù)）的η循環(huán)碼，且

3 環(huán)R上的自對偶碼

引理1 設C是R上長為n的線性碼，C的特征是p，｜C｜＝pk，｜R｜＝pm，則｜C⊥｜＝pl，其中k＋l＝mn。

設Gi＝，i＋j≡1（mod 9）（i，j＝0，1，…，8），其中，G0，G1，…，G8是兩兩互素的不可約多項式，所以－G0G1…G8＝xn－1＝f0f1…f8，由定理3得Gi＝Fi，i＋j≡1（mod 9）（i，j＝0，1，…，8）。

4 結束語

本文定義了環(huán)R＝F2＋uF2＋u2F2＋…＋u7F2到的一個新的Gray映射，將環(huán)R上長為n的一類常循環(huán)碼等距映射成F2上長為8n的線性循環(huán)碼，研究了該環(huán)上（1＋u＋u2＋u3＋u4＋u5＋u6＋u7）循環(huán)碼的Gray象，并給出了n為奇數(shù)時該碼的Gray象的生成多項式。此外，還得到了在這個環(huán)上的自對偶碼存在的一個充要條件，對于構造一些高效且糾錯性能好的碼和譯碼，具有一定的理論意義和應用價值。

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