一類五次Lénard系統(tǒng)的細(xì)中心與局部臨界周期分支

馬皖川， 黃文韜，2， 陳 挺

（1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004；2.賀州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，廣西 賀州 542800）

0 引 言

在微分方程定性理論中，關(guān)于多項(xiàng)式微分系統(tǒng)細(xì)中心的階數(shù)與局部臨界周期分支（以下簡稱臨界周期分支）的條件判定，文獻(xiàn)［1］首次提出了k階細(xì)中心和臨界周期分支的概念，并討論了一類二次系統(tǒng)和一類Hamilton系統(tǒng)的臨界周期分支問題；文獻(xiàn)［2］提出了一種復(fù)系統(tǒng)方法研究臨界周期分支問題；通過近20多年研究，文獻(xiàn)［3－8］解決了一些典型系統(tǒng)原點(diǎn)的臨界周期分支問題。對于Lénard系統(tǒng)＋f（x）＋g（x）＝0，或者是它的等價二維系統(tǒng)原點(diǎn)的臨界周期分支研究亦受到重視，例如：

文獻(xiàn)［9］研究了一類三次Lénard系統(tǒng)的臨界周期分支問題，并得到了該系統(tǒng)最多能分支出3個臨界周期分支的結(jié)果；文獻(xiàn)［10］解決了一類四次Lénard系統(tǒng)原點(diǎn)的臨界周期分支問題。

本文考慮如下一類五次Lénard系統(tǒng)原點(diǎn)的細(xì)中心階數(shù)和臨界周期分支問題，即

其中，系數(shù)（a1，a2，a3，a4，a5，b3，b4，b5）∈R8。本文結(jié)果包含了文獻(xiàn)［9－10］的結(jié)論。

1 預(yù)備知識

考慮原點(diǎn)為非退化中心，且在原點(diǎn)鄰域解析的系統(tǒng)為：

其中，λ∈Λ為系統(tǒng)參數(shù)；k＝2，3，…。

系統(tǒng)在極坐標(biāo)（x＝rcosθ，y＝rsinθ）下的方程為：

其中

記r（θ，h）為系統(tǒng)（3）式滿足初始條件r｜θ＝0＝h的解。則對充分小的實(shí)數(shù)h，周期函數(shù)為：

文獻(xiàn)［1］證明了P2k＋1＝0（k＝0，1，2，…），故在原點(diǎn)充分小的鄰域內(nèi)，（3）式過點(diǎn)（h，0）閉軌的最小正周期P（h，λ）的展開式為：

定義1 如果P2＝P4＝P6＝…＝P2k＝0，P2k＋2≠0，則稱（2）式的原點(diǎn)為k階細(xì)中心，當(dāng)k＝0時稱為粗中心。如果對任意的正整數(shù)m都存在P2m＝0，則原點(diǎn)為系統(tǒng)的等時中心。

文獻(xiàn)［11］定義了（2）式對應(yīng)的復(fù)系統(tǒng)原點(diǎn)的周期常數(shù)τk，并給出了它的計(jì)算方法；由文獻(xiàn)［12］可知（2）式的第1個非零周期常數(shù)P2k與τk滿足如下關(guān)系：

定義2 對于參數(shù)λ＊∈Λ，（2）式的原點(diǎn)是細(xì)中心，當(dāng)ε0＞0時，對每一個0＜ε＜ε0和每一個λ＊的鄰域W（W充分小），存在λ1∈W，使得P′（h，λ1）在U＝（0，a）內(nèi)恰好有k個解，則稱在λ＊系統(tǒng)原點(diǎn)有k個臨界周期分支。

定義3 考慮有限個函數(shù)的集合fi：RN→R，i＝1，2，…，l。記V（f1，f2，…，fl）＝｛λ｜fi（λ）＝0（i＝1，2，…，l），λ∈RN｝。f：RN→R，稱f1，f2，…，fl關(guān)于f在λ＊∈V（f1，f2，…，fl）線性無關(guān)，如果存在如下情況：

（1）λ＊的每個鄰域都包含一個λ∈V（f1，f2，…，fl），使得fl（λ）f（λ）＜0。

（2）對于變量V（f1，f2，…，fj），2≤j≤l－1，如果λ∈V（f1，f2，…，fj），且fj＋1（λ）≠0，則λ的任一鄰域W都包含一個點(diǎn)σ∈V（f1，f2，…，fj－1），使得fj（σ）fj＋1（λ）＜0。

（3）如果λ∈V（f1），且f2（λ）≠0，則λ的任一個鄰域W＊都包含一個點(diǎn)σ，使得：

顯然，若f1，f2，…，fl關(guān)于f在λ＊∈V（f1，f2，…，fl）線性無關(guān)，則f1，f2，…，fk－1關(guān)于fk在任一滿足λ∈V（f1，f2，…，fk－1），且fk（λ）≠0的λ處線性無關(guān)（k＝1，2，…，l）。若向量▽f1（λ＊），…，▽fl（λ＊），▽f（λ＊）線性無關(guān)，則f1，f2，…，fl關(guān)于f在λ＊線性無關(guān)。

引理1 若（2）式關(guān)于參數(shù)λ＊的原點(diǎn)是一個k階細(xì)中心，則至多有k個臨界周期從原點(diǎn)分支出來；若原點(diǎn)的周期常數(shù)P2，P4，…，P2k在λ＊關(guān)于P2k＋2線性無關(guān)，則恰好有m（m≤k）個臨界周期分支從原點(diǎn)分支出來。

2 系統(tǒng)的奇點(diǎn)量與中心條件

由此可見，一類五次Lénard系統(tǒng)與其共軛復(fù)系統(tǒng)（10）式的原點(diǎn)具有相同的中心條件和相同的細(xì)中心的階數(shù)。

根據(jù)文獻(xiàn)［11］中給出的遞推算法，利用數(shù)學(xué)軟件 Mathematica進(jìn)行計(jì)算后化簡，可以得到（10）式原點(diǎn)的前6個奇點(diǎn)量um的表達(dá)式。

定理1 系統(tǒng)（10）式原點(diǎn)的前6個奇點(diǎn)量為：

計(jì)算中，令u1＝u2＝…＝uk－1＝0，k＝2，3，4，5，6。

定理2 系統(tǒng)（10）式原點(diǎn)的前6個奇點(diǎn)量為0，當(dāng)且僅當(dāng)λ∈K1∪K2，其中

證明 充分性是顯然的，下面證明必要性。從u1＝u2＝0得到a2＝0，a4＝a1b4，若a3＝a1b3，則有u3＝0，由u4＝0得a5＝a1b5，即條件（11）式成立；否則令b4＝0，則有u3＝u4＝u5＝u6＝0，并且由a4＝a1b4可得a4＝0，即條件（12）式成立。

定理3 系統(tǒng)（10）式原點(diǎn)為中心的充要條件為（11）式、（12）式之一成立。

證明 定理2給出了系統(tǒng)（10）式的原點(diǎn)成為中心的必要條件，下面證明充分性。

當(dāng)λ∈K1時，（10）式有通積分：

當(dāng)λ∈K2時，系統(tǒng)右端滿足對稱定理?xiàng)l件，是可逆系統(tǒng)。

3 細(xì)中心與局部臨界周期分支

根據(jù)文獻(xiàn)［11］中的遞推算法，分別計(jì)算在K1、K2條件下的周期常數(shù)，進(jìn)而得到一類五次Lénard系統(tǒng)原點(diǎn)細(xì)中心的階數(shù)及局部臨界周期分支的個數(shù)等結(jié)論。

3.1 K1 類型情形

將a2＝0、a3＝a1b3、a4＝a1b4、a5＝a1b5代入文獻(xiàn)［11］中的遞推公式進(jìn)行計(jì)算，可得系統(tǒng)（10）式原點(diǎn)的前3個周期常數(shù)為：

在計(jì)算過程中，令τ1＝…＝τk－1＝0（k＝2，3）。

由周期常數(shù)表達(dá)式可得定理4。

定理4 當(dāng)λ∈K1時，系統(tǒng)（10）式原點(diǎn)的全部周期常數(shù)為0的充要條件是λ∈V1，其中V1＝｛λ∈K1：a1＝b3＝b4＝b5＝0｝＝｛λ∈R8：a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝b3＝b4＝b5＝0｝。

當(dāng)λ∈V1時，系統(tǒng)（10）式是一個平凡的線性系統(tǒng)，其原點(diǎn)為等時中心。當(dāng)a1≠0∪b4≠0時，可得τ3≠0，一類五次Lénard系統(tǒng)的原點(diǎn)至多是2階細(xì)中心。

定理5 當(dāng)λ∈K1時，一類五次Lénard系統(tǒng)的原點(diǎn)至多是2階細(xì)中心，而且原點(diǎn)為k（k＝0，1，2）階細(xì)中心的充要條件是λ∈（k＝0，1，2），其中

定理6 若λ＊∈（k＝0，1，2），則在λ＊處一類五次Lénard系統(tǒng)的原點(diǎn)最多有k個臨界周期分支；且在原點(diǎn)恰好有m（0≤m≤k）個臨界周期分支。

證明 這里只證明k＝2的情形。對于定理6的前半部分，可根據(jù)引理1直接得到。證明定理6的后半部分，對任一λ＊∈，需要得到P2、P4關(guān)于P6線性無關(guān)的結(jié)論。為了不失一般性，定義3的條件（1）和條件（3）須同時成立。

對λ＊的任一鄰域W1（W1∈），存在：

其中，a1≠0∪b4≠0，ε＞0且ε充分小。可得：

條件（1）得證。為證明條件（3），當(dāng)λ2∈K11時，可得λ2∈V（P2），且P4≠0。取

其中，ε＞0且ε充分小。

可以得到：

條件（3）得證。

3.2 K2 類型情形

將a2＝a4＝b4＝0帶入文獻(xiàn)［11］中的遞推公式進(jìn)行計(jì)算，可得（10）式的前6個周期常數(shù)為：

其中

當(dāng)a1≠0，a1≠1，a1≠－1，a3≠0時，經(jīng)過驗(yàn)證，可知M1與M2沒有公共根，當(dāng)M1＝0時，M2≠0，即可知τ6≠0。因此，一類五次Lénard系統(tǒng)的原點(diǎn)至多是5階細(xì)中心。

定理7 若λ＊∈（k＝0，1，2，3，4，5），在λ＊處一類五次Lénard系統(tǒng)的原點(diǎn)最多有k個臨界周期分支；且原點(diǎn)恰好有m（0≤m≤k）個臨界周期分支從原點(diǎn)分支出來，其中表示為：

證明 這里只證明k＝5的情形。對于定理7的前半部分可根據(jù)引理1直接得到。證明定理7后半部分，對任一λ＊∈，需要得到P2、P4、P6、P8、P10關(guān)于P12線性無關(guān)的結(jié)論。為了不失一般性，定義3條件（1）和條件（3）須同時成立。

對于λ＊的任一鄰域W2（W2∈），存在：

其中，a3≠0；ε＞0且ε充分小。

可以得到：

條件（1）滿足。

為證明條件（3），當(dāng)λ4∈時，可得λ4∈V（P2）且P4≠0。取

對λ4的任一個鄰域，存在：

可以得到：

條件（3）滿足。證畢。

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