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    一個(gè)三維四翼混沌系統(tǒng)的分岔分析及其電路實(shí)現(xiàn)

    2014-12-31 11:32:42鮑慧玲
    關(guān)鍵詞:不動(dòng)點(diǎn)平衡點(diǎn)軌跡

    鮑慧玲, 薛 華

    (1.上海科學(xué)技術(shù)職業(yè)學(xué)院 通信與電子信息系,上海 201800;2.濱州學(xué)院 物理與電子科學(xué)系,山東 濱州 256603)

    20世紀(jì)60年代,Lorenz系統(tǒng)被提出,此后混沌理論及混沌系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性,引起了人們的廣泛關(guān)注和深入研究[1-3]?;煦绲膬?nèi)隨機(jī)性、遍歷性和普適性使其在保密通信和數(shù)字圖像信息加密等信息安全領(lǐng)域具有更廣闊的應(yīng)用前景[4-7]。近年來(lái),各種四翼混沌系統(tǒng)不斷出現(xiàn),文獻(xiàn)[8]提出了一個(gè)偽四翼混沌系統(tǒng);文獻(xiàn)[9]提出了一個(gè)新的四翼混沌系統(tǒng);文獻(xiàn)[10]提出了一個(gè)可以產(chǎn)生四翼混沌吸引子的超混沌系統(tǒng)。

    本文在文獻(xiàn)[8]提出的偽四翼混沌系統(tǒng)的模型下,引入狀態(tài)變量x的正反饋,生成了一個(gè)新的三維四翼混沌系統(tǒng)。

    該系統(tǒng)關(guān)于y軸對(duì)稱,有5個(gè)系統(tǒng)參數(shù)和3個(gè)二次交叉乘積項(xiàng),包含5個(gè)平衡點(diǎn),在其中2個(gè)對(duì)稱平衡點(diǎn)處發(fā)生Hopf分岔行為,系統(tǒng)由不動(dòng)點(diǎn)演變?yōu)橹芷谲?。?duì)系統(tǒng)整體動(dòng)力學(xué)特性變化進(jìn)行了研究,分析了Lyapunov指數(shù)和分岔圖,揭示了參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)軌跡由不動(dòng)點(diǎn)、周期軌到混沌吸引子的變化過(guò)程。同時(shí),通過(guò)硬件電路對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了驗(yàn)證。

    1 三維四翼混沌系統(tǒng)

    文獻(xiàn)[8]提出的偽四翼混沌系統(tǒng)為:

    通過(guò)在系統(tǒng)的第3式中引入變量x的正反饋,可以生成一個(gè)新的三維四翼混沌系統(tǒng),該系統(tǒng)存在著復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,即

    其中,系統(tǒng)參數(shù)a、b、c、d、k均大于0。

    三維四翼混沌系統(tǒng)的5個(gè)平衡點(diǎn)S1、S2、S3、S4、S5分別為:

    其中

    當(dāng)a=3、b=8、c=4、k=1、d=2時(shí),系統(tǒng)平衡點(diǎn)為:

    此時(shí)系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)。通過(guò)大量的數(shù)值仿真,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在較寬的參數(shù)范圍內(nèi)能生成四翼混沌吸引子。圖1所示為三維四翼混沌系統(tǒng)的相平面圖。

    圖1 三維四翼混沌系統(tǒng)的相平面圖

    1.1 耗散性

    當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)b>0、d>0、a<0時(shí),可得:

    根據(jù)各參數(shù)取值,▽V=-(b+d-a)=-7<0,系統(tǒng)為耗散性系統(tǒng),并按照指數(shù)速率收斂,即dV/dt=e-(b+d-a)t=e-7t,系統(tǒng)軌跡按照指數(shù)速率收縮到0,其動(dòng)力學(xué)行為被局限在一個(gè)吸引子上。

    1.2 對(duì)稱性

    通過(guò)代數(shù)變換和平衡點(diǎn)分析,可知系統(tǒng)關(guān)于y軸對(duì)稱,其中平衡點(diǎn)S2與S3,S4與S5都關(guān)于y軸對(duì)稱,這2組平衡點(diǎn)對(duì)具有相同的局部穩(wěn)定性和中心流行。但是系統(tǒng)關(guān)于x軸、z軸和原點(diǎn)都是不對(duì)稱的,這些不對(duì)稱性意味著系統(tǒng)有著更豐富的動(dòng)力學(xué)行為。

    1.3 Hopf分岔分析

    (2)式在各個(gè)平衡點(diǎn)的Jacobian矩陣通式可以表示為:

    其中,x*、y*、z*分別代表平衡點(diǎn)S1~S5的坐標(biāo)值。

    平衡點(diǎn)S1(0,0,0)處的Jacobian矩陣為:

    其特征值方程為|J1|-λI=0,得到平衡點(diǎn)S1處的特性方程為:

    簡(jiǎn)化方程得:

    特征方程有3個(gè)特征根,λ1=a,λ2=-b,λ3=-d,系統(tǒng)中的參數(shù)a、b、c、d、k均大于0,該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)S1為一個(gè)鞍點(diǎn),故在平衡點(diǎn)S1處不可能發(fā)生 Hopf分岔行為。平衡點(diǎn)S2=(x2,y2,z2)處的Jacobian矩陣為:

    其特征值方程為|J2|-λI=0,得到平衡點(diǎn)S2處的特性方程為:

    根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù),當(dāng)下列不等式成立時(shí),(5)式的特征根都具有負(fù)實(shí)部,平衡點(diǎn)S2為穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。不等式如下:隨著參數(shù)a的變化,若不滿足上述不等式時(shí),

    平衡點(diǎn)S2將失去穩(wěn)定性。當(dāng)下式成立時(shí),特征方程具有一對(duì)純虛根,即

    固定系統(tǒng)參數(shù)b=8,c=4,k=1,d=2,當(dāng)a=1.292 7時(shí),(5)式的特征根分別為λ1,2=±2.706 7i,λ3=-8.707 3,(5)式很明顯具有1對(duì)純虛根,根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù),平衡點(diǎn)S2在a=1.292 7處發(fā)生了Hopf分岔。

    通過(guò)數(shù)值分析,平衡點(diǎn)S2處的Hopf分岔是一個(gè)前向分岔過(guò)程,當(dāng)a<1.292 7時(shí),平衡點(diǎn)S2是一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。當(dāng)a≥1.292 7時(shí),平衡點(diǎn)S2不穩(wěn)定,系統(tǒng)軌跡離開平衡點(diǎn)S2趨于一個(gè)穩(wěn)定的周期軌。由于S2,3是一組對(duì)稱平衡點(diǎn),在局部范圍內(nèi)有相同的穩(wěn)定性質(zhì),所以,在S3處發(fā)生同樣的Hopf分岔,發(fā)生Hopf分岔的參數(shù)條件和S2處的參數(shù)條件一致。平衡點(diǎn)S4=(x4,y4,z4)處的Jacobian矩陣為:

    其特征值方程為|J4|-λI=0,得到平衡點(diǎn)S4處的特性方程為:

    2 數(shù)值分岔分析

    對(duì)于一個(gè)連續(xù)的非線性動(dòng)力系統(tǒng),系統(tǒng)參數(shù)改變能引起整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜變化,當(dāng)參數(shù)取值變化時(shí),系統(tǒng)軌跡會(huì)經(jīng)歷平衡點(diǎn)、周期、擬周期及混沌等。Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖能呈現(xiàn)出動(dòng)力系統(tǒng)隨參數(shù)變化的過(guò)程,如圖2所示。

    圖2 參數(shù)a的數(shù)值分岔分析

    從圖2可以看出,隨著參數(shù)a的變化,系統(tǒng)軌跡從不動(dòng)點(diǎn)到周期吸引子、混沌吸引子。從Lyapunov指數(shù)譜可以看出,當(dāng)a屬于[0,1.292 7),Lyapunov指數(shù)都小于0,系統(tǒng)軌跡收斂于一個(gè)不動(dòng)點(diǎn);當(dāng)a屬于[1.292 7,1.75),Lyapunov指數(shù)1個(gè)為0,其余為負(fù),系統(tǒng)軌跡為周期狀態(tài)。其中,a屬于[1.292 7,1.43]時(shí),系統(tǒng)軌跡為一個(gè)單周期軌道;a屬于[1.43,1.56]時(shí),系統(tǒng)軌跡為一個(gè)雙周期軌道;a屬于[1.56,1.75]時(shí),系統(tǒng)軌跡為一個(gè)三周期軌道。系統(tǒng)從平衡點(diǎn)演變?yōu)橹芷谲壍溃沧C實(shí)了a=1.292 7時(shí),系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處發(fā)生了Hopf分叉行為。當(dāng)a屬于[1.75,5.3]時(shí),Lyapunov指數(shù)1個(gè)為正,1個(gè)為0,其余為負(fù),系統(tǒng)軌跡為混沌狀態(tài)。

    如圖3所示,當(dāng)參數(shù)a取不同數(shù)值時(shí),系統(tǒng)呈現(xiàn)出單周期軌道、雙周期軌道、三周期軌道以及混沌吸引子等運(yùn)動(dòng)形式,表明系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力 學(xué)行為。

    圖3 b=8,c=4,d=2,k=1時(shí)系統(tǒng)x-y平面相圖

    3 系統(tǒng)電路的實(shí)現(xiàn)

    為了進(jìn)一步驗(yàn)證三維四翼混沌系統(tǒng)的存在,利用模擬電路器件構(gòu)建了這一混沌系統(tǒng)的硬件電路,該電路采用運(yùn)算放大器(TL082)和基本的電阻、電容(1μF)等元器件,實(shí)現(xiàn)了求和、積分及反相等運(yùn)算,模擬乘法器(AD633)用來(lái)實(shí)現(xiàn)非線性乘積運(yùn)算,電路結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。

    圖4 三維四翼混沌系統(tǒng)的電路結(jié)構(gòu)圖

    電路相應(yīng)數(shù)學(xué)模型通過(guò)線性變換,可得:

    當(dāng)a=3、b=8、c=4、k=1、d=2時(shí),設(shè)R=R11=R21=R31=R12=R22=R32=10kΩ,得到R13=33.3kΩ,R14=1kΩ,R23=12.5kΩ,R24=0.25kΩ,R33=100kΩ,R34=50kΩ,R35=1kΩ。

    通過(guò)上述參數(shù)的設(shè)置,在示波器上觀察到的混沌吸引子相圖和仿真結(jié)果一致,如圖5所示。

    圖5 實(shí)驗(yàn)中觀察到的混沌吸引子

    4 結(jié)束語(yǔ)

    本文在文獻(xiàn)[8]偽四翼混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,通過(guò)引入變量x的正反饋,構(gòu)造了一個(gè)新的三維四翼混沌系統(tǒng)。理論分析和數(shù)值仿真證明在平衡點(diǎn)S2、S3處發(fā)生了Hopf分岔行為。Lyapunov指數(shù)和分岔圖證明系統(tǒng)軌跡經(jīng)歷了不動(dòng)點(diǎn)、單周期、雙周期、三周期及混沌吸引子等,驗(yàn)證了混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性。硬件電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了三維四翼混沌系統(tǒng)的四翼混沌吸引子存在性。

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