基于木星借力的太陽極軌探測器軌道設(shè)計(jì)方法

董澤政，李綠萍，張靖沛，張 嵬，陳昌亞

（1.上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240；2.上海航天技術(shù)基礎(chǔ)研究所，上海 201109）

0 引言

太陽是距離地球最近的恒星，也是支撐人類活動(dòng)的最重要能源。對太陽進(jìn)行全方面、深入觀測，進(jìn)一步提高人類對太陽的認(rèn)識(shí)有重要的現(xiàn)實(shí)意義。太陽極軌探測器運(yùn)行于日心大傾角軌道，可飛抵太陽兩極區(qū)域并繞行運(yùn)轉(zhuǎn)，對太陽表面實(shí)現(xiàn)全方位的觀測，對了解太陽活動(dòng)分布和演化有重要意義。美國于1990年10月發(fā)射了尤利西斯探測器，在軌服役近17年，尤利西斯探測器發(fā)回的數(shù)據(jù)進(jìn)一步加深了科學(xué)家對太陽的認(rèn)識(shí)，對探測太陽兩極做出重要貢獻(xiàn)。

日心大傾角軌道設(shè)計(jì)方法是實(shí)現(xiàn)太陽極軌探測的前提。與一般深空軌道不同，日心大傾角軌道并非以某行星作為目的地，而以特定日心軌道為目標(biāo)，由此產(chǎn)生實(shí)現(xiàn)的特殊性。目前，國內(nèi)外對日心大傾角軌道設(shè)計(jì)方法的研究并不多，尤利西斯探測器的參考軌跡特征報(bào)告中有所提及，但僅限對軌道設(shè)計(jì)結(jié)果的描述，未提供可行的設(shè)計(jì)方法［1，5］。本文對日心大傾角軌道的實(shí)現(xiàn)方式和借力方案進(jìn)行了分析，研究了步軌道設(shè)計(jì)方法。

1 日心大傾角軌道實(shí)現(xiàn)方式

分析地球直接發(fā)射和不同行星借力方式下實(shí)現(xiàn)日心大傾角軌道對運(yùn)載能力的要求和可能性?？紤]地球直接發(fā)射的方式，如圖1所示。

以黃道面夾角60°～90°為目標(biāo)傾角，從地球直接發(fā)射，所需速度增量

圖1 地球直接發(fā)射進(jìn)入日心大傾角軌道Fig.1 Geometry of larger inclination heliocentric orbit launched from earth directly

式中：μ為太陽引力常數(shù)；rp為目標(biāo)軌道近點(diǎn)日心距；ra為目標(biāo)軌道遠(yuǎn)點(diǎn)日心距；i為目標(biāo)軌道傾角；ve為地球公轉(zhuǎn)速度，據(jù)此得到地球直接發(fā)射C3與rp，i的關(guān)系如圖2所示。圖中：C3為地球逃逸速度v∞的平方。由圖2可知：若從地球直接發(fā)射，實(shí)現(xiàn)日心大傾角軌道的C3需求為700～1 400km2／s2，遠(yuǎn)超出目前運(yùn)載火箭的實(shí)際能力，即目前技術(shù)條件下從地球直接發(fā)射進(jìn)入日心大傾角軌道是不可行的。應(yīng)考慮通過行星借力方式實(shí)現(xiàn)（如圖3所示），從地球發(fā)射探測器，使之與某行星交會(huì)，通過飛越行星過程中的“借力效應(yīng)”獲取大傾角軌道所需的速度增量。

圖2 地球直接發(fā)射下實(shí)現(xiàn)日心大傾角軌道對運(yùn)載能力C3要求Fig.2C3requirement to larger inclination heliocentric orbit launched from earth directly

圖3 行星借力進(jìn)入日心大傾角軌道Fig.3 Geometry of larger inclination heliocentric orbit by planet gravity-assists

太陽系各大行星的公轉(zhuǎn)軌道基本參數(shù)見表1。

表1 太陽系各大行星公轉(zhuǎn)軌道參數(shù)Tab.1 Heliocentric orbit parameters of solar system planets

由表1可知：除水星外各行星運(yùn)行軌道傾角均小于3°，水星傾角也不足8°。從地球發(fā)射至其他行星的探測器星際轉(zhuǎn)移軌道將近似于黃道面，類似于地球發(fā)射，不同行星借力實(shí)現(xiàn)日心大傾角軌道的速度增量

式中：［vx0vz］T為探測器飛越前的速度矢量。由此可粗略計(jì)算出不同行星軌道借力進(jìn)入日心大傾角軌道所需速度增量見表2。

表2 不同天體借力進(jìn)入日心大傾角軌道的速度增量需求Tab.2 Δvrequirements of larger inclination heliocentric orbit by different planet gravity-assists

根據(jù)文獻(xiàn)［1，2］，行星飛越速度增量

式中：v∞／B為探測器與飛越星體的相對速度；rp1為飛越軌道的近心點(diǎn)半徑；μB為飛越天體的引力常數(shù)。實(shí)際上rp1存在最小值，當(dāng)rp1為飛越星體半徑（或大氣層半徑）時(shí)，ΔvB取局部最大值，進(jìn)一步分析可知當(dāng)v∞／B與借力天體的第一宇宙速度相等時(shí)，可得ΔvB的最大值，且其數(shù)值與第一宇宙速度相等。當(dāng)rp1取最小值時(shí)，由式（3）可得不同v∞／B下各星體提供ΔvB如圖4所示。

圖4 不同相對速度時(shí)行星借力最大速度增量Fig.4 MaximumΔvunder various relative velocity of planet gravity-assists

比較圖2、表2可知：金星、地球和火星能提供的最大速度增量無法滿足日心大傾角軌道轉(zhuǎn)移需求；木星和土星可滿足速度增量需求。若選擇的借力天體越遠(yuǎn)，運(yùn)載發(fā)射負(fù)擔(dān)越重，任務(wù)實(shí)施時(shí)間越長，因此建議選擇木星作為飛越天體，以獲得日心大傾角軌道所需的速度增量。

2 軌道設(shè)計(jì)

采用地球發(fā)射木星飛越的方式實(shí)現(xiàn)日心大傾角軌道，軌道設(shè)計(jì)將包括地球－木星轉(zhuǎn)移軌道和木星借力軌道兩部分。

2.1 星際轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)

探測器通過運(yùn)載工具提供速度增量，從地球逃逸并經(jīng)日心軌道運(yùn)動(dòng)至木星周圍。這類典型的星際轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)可通過蘭伯特問題解決：給定兩點(diǎn)位置矢量r1，r2及轉(zhuǎn)移時(shí)間Δt，可確定轉(zhuǎn)移軌道的飛行軌跡。工程實(shí)際中，習(xí)慣將地球發(fā)射時(shí)間t0、木星借力時(shí)間tf作為設(shè)計(jì)變量，由此根據(jù)星歷計(jì)算出地球和目標(biāo)天體的空間位置，完成轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)。具體可表示為

式中：lambert（t0，tf）為蘭伯特問題求解，具體可參見文獻(xiàn)［3］。通過求解蘭伯特問題，可算出地球逃逸所需C3能量及木星進(jìn)入日心速度vin，這兩個(gè)參數(shù)將分別作為地球逃逸軌道設(shè)計(jì)和木星借力軌道設(shè)計(jì)的輸入。

2.2 木星借力軌道設(shè)計(jì)

為便于日心大傾角軌道設(shè)計(jì)，建立如圖5所示木星借力坐標(biāo)O-XYZ：坐標(biāo)系原點(diǎn)O位于木星；OX軸指向?yàn)榻枇r(shí)木星相對太陽的矢量；OZ軸垂直木星公轉(zhuǎn)軌道面；OY軸與OX、OY軸構(gòu)成右手系，指向木星前進(jìn)方向。

圖5 木星借力坐標(biāo)系Fig.5 Reference system of Jupiter gravity-assist

木星公轉(zhuǎn)軌道傾角較?。╥J≈1.309°），XOY平面近似于黃道面，另忽略木星影響球的影響。在O-XYZ坐標(biāo)系中，探測器沿日心地木轉(zhuǎn)移軌道到達(dá)木星附近的相對速度vin已知，而借力后日心速度vout是目標(biāo)軌道傾角i0、近日點(diǎn)日心距rp0、遠(yuǎn)日點(diǎn)日心距ra0、近日點(diǎn)幅角ω0和真近點(diǎn)角θ0的函數(shù)。定義vout的分量形式可表示為

式中：vx，vy，vz分別為借力后日心速度vout在O-XYZ系OX、OY、OZ軸方向的分量，且

若探測器地木轉(zhuǎn)移軌道ra0與木－日距離r接近時(shí)，可認(rèn)為θ0≈180°，而探測器地木轉(zhuǎn)移軌道近日點(diǎn)接近黃道，即ω0≈0°，180°。由此可算得探測器日心速度vout的分量為

式中：e為木星公轉(zhuǎn)軌道的偏心率。

據(jù)此可得飛越后的木星相對速度

同樣，飛越前木星相對速度

則由飛越前后的相對速度矢量vrin，vrout，可計(jì)算木星飛越的近木點(diǎn)木心距離和傾角，具體如下：為實(shí)現(xiàn)進(jìn)出木星相對速度vrin，vrout的大小相等，假設(shè)在近木點(diǎn)位置存在一個(gè)脈沖機(jī)動(dòng)，木星借力幾何如圖6所示。圖中：真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡由脈沖前后的兩條雙曲線軌道軌跡拼接而成。兩條軌跡的近地地心距相同。在近地點(diǎn)進(jìn)行深空機(jī)動(dòng)（DSM）的原因是此時(shí)探測器動(dòng)能最大，相同的速度增量可獲得最多的能量增加。由圖6可知：速度變化角度α可分為α1，α2兩部分，分別為過近地點(diǎn)前后的速度方向變化角度。由文獻(xiàn)［4］，

式中：vi0，vo∞分別為進(jìn)出木星相對速度vrin，vrout的大小。由此可得相對速度的變化角

由式（18）用迭代算法可解出rp。

對雙曲線軌道長半軸a大小取決于剩余速度v∞，即進(jìn)出木星相對速度vrin，vrout的大小，有

圖6 木星借力幾何描述Fig.6 Geometry of Jupiter gravity-assist

能量式為

式中：v為探測器任一位置的速度大?。沪?為中心天體的引力常數(shù)；r為探測器至中心天體質(zhì)心的距離。由此可得近木點(diǎn)處的速度

因此在近地點(diǎn)處的速度增量

由此計(jì)算出了飛越時(shí)所需要的速度增量Δv以及近點(diǎn)地心距rp。用文獻(xiàn)［4］中的方法可計(jì)算出瞄準(zhǔn)的通徑

2.3 日心大傾角軌道設(shè)計(jì)方法

根據(jù)前文分析，在已知t0，tf時(shí)可設(shè)計(jì)出確定的星際轉(zhuǎn)移軌道和木星借力軌道，并可據(jù)此計(jì)算該方案的包括地球逃逸C3能量、木星借力脈沖速度Δv、木星借力木心距rp、日心軌道半長軸、日心軌道傾角等指標(biāo)。通過對設(shè)計(jì)指標(biāo)的尋優(yōu)，可完成日心大傾角軌道的優(yōu)化設(shè)計(jì)。地球發(fā)射、木星借力至太陽極軌探測器軌道的初步設(shè)計(jì)方法如下：

a）初步確定發(fā)射日期、借力日期范圍；

b）根據(jù)t0，tf，通過蘭伯特問題求解得到地球逃逸速度增量Δvesp和木星進(jìn)入時(shí)日心速度矢量vin；

c）根據(jù)i0，rp0，ra0，ω0，θ0的設(shè)計(jì)要求，由式（5）～（10）或式（11）～（14）計(jì)算vout；

d）由式（14）、（15）計(jì)算借力前后vrin，vrout；

e）根據(jù)vrin，vrout，用式（16）～（22）計(jì)算木星借力脈沖機(jī)動(dòng)ΔvDSM和rp；

f）重復(fù)步驟b）～e），根據(jù)尋優(yōu)算法優(yōu)選轉(zhuǎn)移方案。

3 仿真

尤利西斯探測器是美歐合作的太陽極軌探測器，于1990年10月6日11點(diǎn)47分由發(fā)現(xiàn)號(hào)航天飛機(jī)發(fā)射入軌，經(jīng)16個(gè)月的地木轉(zhuǎn)移后于1992年2月8日到達(dá)近木點(diǎn)，隨后進(jìn)入近日點(diǎn)1.34AU、遠(yuǎn)日點(diǎn)5.4AU、傾角80°的太陽極軌軌道。用本文方法分析尤利西斯探測器發(fā)射窗口，所得目標(biāo)軌道傾角80°時(shí)發(fā)射－到達(dá)時(shí)間與近日點(diǎn)日心距rp0和地球逃逸C3的關(guān)系如圖7所示。

圖7 發(fā)射－到達(dá)時(shí)間與近日點(diǎn)日心距和發(fā)射C3需求的關(guān)系（目標(biāo)軌道傾角80°）Fig.7 Date of launch and arrival under launchC3and heliocentricrp

根據(jù)尤利西斯軌道設(shè)計(jì)要求，近日點(diǎn)距離范圍應(yīng)為1.28AU≤rp≤2.3AU，而探測器運(yùn)載發(fā)射的C3最大能力為128.94km2／s2，得到發(fā)射窗口為發(fā)射時(shí)間1990年10月3日至1990年10月22日［5］。尤利西斯探測器實(shí)際發(fā)射日期為1990年10月6日，設(shè)計(jì)得到地木轉(zhuǎn)移軌道和木星借力軌道參數(shù)見表3［5］。

表3 尤利西斯探測器軌道設(shè)計(jì)結(jié)果Tab.3 Characteristics of Ulysses orbit designation

根據(jù)表3中的參數(shù)，設(shè)計(jì)1990年10月6日地球發(fā)射，1992年2月8日木星借力的太陽極軌探測器軌道如圖8所示?？梢姳痉椒ㄜ壍涝O(shè)計(jì)結(jié)果與尤利西斯探測器軌道參數(shù)基本吻合，證明了本文方法在處理此類軌道設(shè)計(jì)問題中的有效性：在固定發(fā)射時(shí)間和到達(dá)時(shí)間時(shí)，發(fā)射所需C3和主要日心軌道參數(shù)誤差為2%～3%，設(shè)計(jì)結(jié)果與尤利西斯軌道參數(shù)基本吻合。

圖8 尤利西斯探測器運(yùn)行軌道Fig.8 Trajectory of Ulysses mission

4 結(jié)束語

本文對地球發(fā)射至太陽極軌探測器軌道設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了研究，分析了基于行星借力實(shí)現(xiàn)日心大傾角軌道的可行性，通過分析借力前后各軌道參數(shù)的關(guān)系給出借力參數(shù)計(jì)算方法并進(jìn)行適當(dāng)簡化，給出太陽極軌的設(shè)計(jì)方法。用本文方法對尤利西斯探測器進(jìn)行軌道設(shè)計(jì)，結(jié)果與實(shí)際軌道參數(shù)基本吻合，表明本文方法可用于此類軌道的初步設(shè)計(jì)。

［1］ 趙 鈞.航天器軌道動(dòng)力學(xué)［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2011.

［2］ CURTIS H D.軌道力學(xué)［M］.周建華，等（譯）.北京：科學(xué)出版社，2009.

［3］ OLDENHUIS R P S.Trajectory optimization for a mission to the solar bow shock and minor planets［M］.Delft：Delft University of Technology，2010.

［4］ CAPDEROU M.Satellites orbits and missions［M］.Berlin：Springer，2005.

［5］ POJMAN J L.Ulysses：reference trajectory characteristics［R］.California Institute of Technology：JPL，1990.