InSAR衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)形多約束優(yōu)化設(shè)計(jì)方法研究

劉培玲，黃 欣，陳 祥，童慶為，宋 濤

（上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240）

0 引言

隨著德國TanDEM＿X衛(wèi)星任務(wù)的成功在軌運(yùn)行，InSAR衛(wèi)星的技術(shù)優(yōu)勢備受關(guān)注。作為In－SAR衛(wèi)星在軌成像的重要技術(shù)支撐，InSAR衛(wèi)星編隊(duì)飛行構(gòu)形的設(shè)計(jì)問題顯得尤為重要。對衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)形設(shè)計(jì)進(jìn)行了大量研究，分析了串行編隊(duì)、星下點(diǎn)圓形、空間圓形、干涉車輪和干涉鐘擺等典型編隊(duì)構(gòu)形對SAR衛(wèi)星成像性能的影響［1－4］。其中，文獻(xiàn)［4］以時(shí)間比作為優(yōu)化指標(biāo)，基于遺傳算法進(jìn)行了構(gòu)形的優(yōu)化設(shè)計(jì)，認(rèn)為雙星空間編隊(duì)是進(jìn)行InSAR測高的理想構(gòu)形。在工程實(shí)踐中，In-SAR衛(wèi)星編隊(duì)不僅需要測繪基線長度滿足要求，而且對InSAR衛(wèi)星受攝動(dòng)時(shí)的編隊(duì)構(gòu)形安全性提出了要求，而目前常見的編隊(duì)構(gòu)形設(shè)計(jì)方法對這些要求考慮不全［5－7］。為此，本文針對InSAR衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)形的設(shè)計(jì)要求，以e／i矢量表示的編隊(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為基礎(chǔ)，考慮InSAR衛(wèi)星測繪過程中的約束和構(gòu)形長期安全性約束，對InSAR衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)形優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究［8－10］。

1 基于e／i矢量的編隊(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

定義軌道坐標(biāo)系o-xyz：原點(diǎn)o在軌道上與衛(wèi)星質(zhì)心重合；ox軸沿矢徑方向，背向地心；oz軸與軌道平面垂直，指向軌道面法線方向；oy軸按右手法則指向飛行方向。相對運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系與地心慣性坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1 相對運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系與地心慣性坐標(biāo)系Fig.1 Orbital coordinate system and geocentric inertial coordinate system

設(shè)r，u，i，Ω分別為衛(wèi)星星的地心距、緯度幅角、軌道傾角和升交點(diǎn)赤經(jīng)。對參考性和伴隨星有

式中：a為半長軸；e為偏心率；E為偏近點(diǎn)角；下標(biāo)c，h分別表示參考星和伴隨星；Δ表示兩星相應(yīng)變量的差值。由文獻(xiàn)［1、8］可知：當(dāng)參考星與伴隨星的相對距離較近時(shí)，能近似認(rèn)為相對運(yùn)動(dòng)參數(shù)為小量，可將編隊(duì)衛(wèi)星的相對運(yùn)動(dòng)學(xué)方程簡化為

考慮編隊(duì)衛(wèi)星為近距離編隊(duì)，且參考星運(yùn)行于近圓軌道，則有

將式（1）、（3）代入式（2），略去二階角度小量，整理可得

其中，相對偏心率矢量

同理推導(dǎo)可得

式中：l為伴飛軌跡中心與參考星的距離，且l＝a（Δλ＋ΔΩcosic）；Δλ＝ （ωh＋Mh）－（ωc＋Mc）為伴隨星與參考星的平緯度幅角之差。

整理式（2）的第三式，得

其中，相對軌道傾角矢量

綜合上述推導(dǎo)，用e／i矢量方法表示的編隊(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

式中：p為軌道平面內(nèi)投影橢圓短半軸，確定相對軌道的基準(zhǔn)軌道平面內(nèi)模態(tài)尺度；s為垂直于軌道平面方向運(yùn)動(dòng)振幅，確定相對伴隨軌道的基準(zhǔn)軌道平面外模態(tài)尺度；l為繞飛軌跡中心與參考星的距離；θ為編隊(duì)繞飛橢圓在目標(biāo)軌道平面內(nèi)的初始相位，確定相對伴隨軌道初始狀態(tài)；φ確定相對軌道在軌道坐標(biāo)系中取向。

2 InSAR衛(wèi)星測量約束

2.1 基線定義

當(dāng)接收天線和目標(biāo)點(diǎn)不在同一距離向平面內(nèi)時(shí)，成像處理中可經(jīng)方位向聚焦壓縮到距離向平面上，這等同于經(jīng)典的正側(cè)視情形。根據(jù)測量的需要，將干涉基線沿航跡和切航跡兩個(gè)方向上分解為水平基線和垂直基線，定義如圖2所示［5］。圖中：o為參考星質(zhì)心；S2，S′2分別為繞飛星及其在xoz平面投影；oS′2，B分別為垂直基線及其在oy軸上的投影；oB為航向基線（即水平基線）；α為oS′2與oz軸的基線傾角；視線在xoz平面內(nèi)；θL為下視角；S為參考星在視線上的投影；oS為有效垂直基線。

圖2 干涉基線分解Fig.2 Decomposition of interference base line

設(shè)繞飛星在o-xyz系中的坐標(biāo)為（x，y，z），則水平基線、垂直基線有效垂直基線可表示為

由式（10）可知：因參考星與伴飛星在整個(gè)衛(wèi)星編隊(duì)的運(yùn)行過程中不斷運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致兩者間的水平基線、垂直基線和有效垂直基線隨時(shí)間不斷變化。若基線長度在可成像的基線長度范圍內(nèi)，則可被成像處理接受；否則，將會(huì)給接收信號(hào)的圖像處理帶來困難。最壞情況下，基線的長度超出臨界基線將使兩幅衛(wèi)星天線收到的信號(hào)不再相關(guān)，干涉后不能獲得所需的圖像。因此，選擇InSAR衛(wèi)星的編隊(duì)構(gòu)形時(shí)，應(yīng)充分考慮測量約束，確保衛(wèi)星的每軌可用測量時(shí)間最長或全球的緯度覆蓋范圍最大。

2.2 干涉約束

由文獻(xiàn)［11］可知，InSAR衛(wèi)星在測量過程中存在最佳有效垂直基線，其長度與天線頻率、星地距離等因素相關(guān)。衛(wèi)星飛行過程中，無法確保垂直基線長度為定值，但在以最佳基線為中心的一個(gè)范圍內(nèi)，InSAR衛(wèi)星干涉成像的效果可滿足測量任務(wù)精度需求。

基于上述概念，綜合InSAR衛(wèi)星系統(tǒng)測量干涉和衛(wèi)星安全性等要求，InSAR衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)形的優(yōu)選約束可表示為

式中：b1，b2，b3，b4分別為有效垂直基線的最小值、最大值，水平基線的最大值，以及兩星平面外最小距離。

編隊(duì)衛(wèi)星因受J2攝動(dòng)等外界干擾力的影響，衛(wèi)星的相對構(gòu)形會(huì)發(fā)生改變，無法保持初始構(gòu)形，從而可能導(dǎo)致兩星相對距離太近，對編隊(duì)衛(wèi)星的安全性造成威脅，故需要通過編隊(duì)控制以避免碰撞［12］。為減少編隊(duì)控制次數(shù)，可在編隊(duì)構(gòu)形優(yōu)化設(shè)計(jì)中加入構(gòu)形安全性穩(wěn)定條件，即要求編隊(duì)構(gòu)形在控制周期范圍內(nèi)任意時(shí)刻均可滿足式（11）中第三式的約束，可修改為

式中：t為隊(duì)構(gòu)形保持周期。

3 InSAR衛(wèi)星構(gòu)形優(yōu)選方法

根據(jù)文獻(xiàn)，德國TanDEM＿X衛(wèi)星任務(wù)的主星運(yùn)行于太陽同步軌道，采用Helix軌道構(gòu)形（編隊(duì)衛(wèi)星等長半軸、等傾角）?？紤]目前國內(nèi)外低軌衛(wèi)星多運(yùn)行于太陽同步軌道，故給出的InSAR衛(wèi)星構(gòu)形優(yōu)化方法是針對太陽同步軌道的InSAR任務(wù)。

當(dāng)編隊(duì)衛(wèi)星均運(yùn)行于太陽同步軌道時(shí)，滿足Δi＝0，即式（9）中的φ＝90°。則式（9）可變?yōu)?/p>

為滿足InSAR衛(wèi)星測繪任務(wù)，同時(shí)符合InSAR系統(tǒng)測量干涉要求，需分別設(shè)計(jì)高、低緯度編隊(duì)構(gòu)形。

3.1 構(gòu)形設(shè)計(jì)

當(dāng)編隊(duì)衛(wèi)星運(yùn)行于太陽同步軌道時(shí)，編隊(duì)衛(wèi)星的軌道半長軸相等，則兩顆衛(wèi)星軌道能覆蓋的最高緯度相同，可根據(jù)軌道傾角算得。

定義低緯度編隊(duì)構(gòu)形最大可覆蓋的地面緯度為Φmax，考慮衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)形的對稱性，如構(gòu)形可實(shí)現(xiàn)北半球的緯度覆蓋最大，則南半球的覆蓋緯度同樣達(dá)到最大值，因此在構(gòu)形設(shè)計(jì)時(shí)只需以半球的覆蓋為對象即可。

在載荷成像條件及構(gòu)形安全性等約束條件b1～b4，θL，t已知的條件下，本文算法以地面緯度覆蓋最大為優(yōu)化目標(biāo)。優(yōu)化問題可表示為

優(yōu)化算法以Φmax為目標(biāo)函數(shù)，θ作為待優(yōu)化變量。初始時(shí)刻取Φmax為軌道可覆蓋的最高緯度，當(dāng)θ在0°～360°變化時(shí)，分別計(jì)算Φmax，Φmin對應(yīng)的p，由式（11）的第二式選取滿足條件的p值；當(dāng)Φmax，Φmin，θ，b1，b2已知時(shí)，可算得s1，s2，若滿足s1＞s2，且符合編隊(duì)安全性約束，記錄p，s，θ值，循環(huán)結(jié)束，此時(shí)記錄的p，s，θ即為最佳構(gòu)形參數(shù)，可覆蓋的最大緯度范圍為Φmax；若條件不滿足，Φmax＝Φmax－1，重復(fù)上述過程。

3.2 構(gòu)形設(shè)計(jì)流程

由本文的構(gòu)形優(yōu)化方法和式（11）～（13），低緯度優(yōu)化設(shè)計(jì)流程如圖3所示。對高緯度編隊(duì)飛行，其構(gòu)形設(shè)計(jì)流程與低緯度類似。

4 數(shù)值仿真

取主星的軌道六要素為a＝7 171.23km，e＝0.001 5，Ω＝10.00°，i＝98.598°，近地點(diǎn)角距ω＝60.00°，平近點(diǎn)角M＝30.05°；InSAR衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)形需滿足的約束條件為b1＝1 000m，b2＝1 500m，b3＝1 000m，b4＝350m，θL＝38°，t＝7d。用本文的構(gòu)形優(yōu)化算法所得高、低緯度的構(gòu)形參數(shù)見表1，關(guān)鍵參數(shù)如圖4～7所示。圖中：實(shí)線表示衛(wèi)星在軌期間滿足測繪條件的區(qū)域；虛線表示衛(wèi)星的基線及編隊(duì)構(gòu)型等參數(shù)變化。

圖3 低緯度編隊(duì)飛行構(gòu)形優(yōu)選流程Fig.3 Flowchart of low latitude optimal formation design

表1 高、低緯度構(gòu)形參數(shù)Tab.1 Parameters of low／high formation configuration

圖4 不同緯度的低緯度構(gòu)形有效基線Fig.4 Effective base line valued by latitude of low latitude formation flying

圖5 低緯度構(gòu)形、基線傾角和安全距離Fig.5 Formation configuration，base line inclination and safe distance of low latitude formation

圖6 高緯度構(gòu)形、基線傾角和安全距離Fig.6 Formation configuration，base line inclination and safe distance of high latitude formation

根據(jù)仿真結(jié)果可得以下結(jié)論：

a）滿足基線長度約束的高、低緯度的構(gòu)形分別可覆蓋南北緯54.94°～81.4°、南緯56.24°～北緯56.24°的區(qū)域，兩者聯(lián)合可實(shí)現(xiàn)南緯81.4°～北緯81.4°的緯度覆蓋；

b）在無攝動(dòng)情況下，高、低緯度的構(gòu)形在xoz面內(nèi)最小距離約353.2m，滿足編隊(duì)衛(wèi)星安全距離350m的條件要求；

圖7 不同緯度的高緯度構(gòu)形有效基線Fig.7 Effective base line valued by latitude of high latitude formation flying

c）低緯度構(gòu)形基線傾角較?。?5°～55°），高緯度構(gòu)形則基線傾角接近90°，這是因?yàn)榛€傾角與編隊(duì)的側(cè)向運(yùn)動(dòng)密切相關(guān)，而當(dāng)編隊(duì)衛(wèi)星的傾角一致時(shí)，在極地附近側(cè)向位移趨近于零，高緯度基線傾角則必然趨近于90°。

為驗(yàn)證所選構(gòu)形參數(shù)的構(gòu)形長期安全性，考慮J2攝動(dòng)，分別對高、低構(gòu)形進(jìn)行仿真，所得7d內(nèi)編隊(duì)構(gòu)形的變化分別如圖8～11所示。圖中：實(shí)線為衛(wèi)星在軌期間滿足測繪條件的區(qū)域；虛線為衛(wèi)星在軌第1d時(shí)的基線及編隊(duì)構(gòu)形等參數(shù)；粗實(shí)線為衛(wèi)星在軌第d天的基線及編隊(duì)構(gòu)形等參數(shù)。

圖8 不同緯度的低緯度構(gòu)形有效基線Fig.8 Effective base line valued by latitude of low latitude formation flying

圖9 低緯度構(gòu)形、基線傾角和安全距離Fig.9 Formation configuration，base line inclination and safe distance of low latitude formation

由仿真結(jié)果可知編隊(duì)構(gòu)形7d內(nèi)的變化趨勢為：

a）低緯度編隊(duì)可測繪區(qū)域逐漸向高緯度漂移，高緯度可測繪區(qū)域逐漸縮小并向低緯度漂移；

b）7d內(nèi)，雖然高緯度構(gòu)形xoz面內(nèi)的最小相對距離變小，低緯度構(gòu)形xoz面內(nèi)的最小相對距離變大，但均可保證350m的安全距離，驗(yàn)證了構(gòu)形選擇算法中長期安全性約束的有效性；

c）隨著編隊(duì)構(gòu)形的漂移，低緯度構(gòu)形的基線傾角逐漸增大。

根據(jù)仿真結(jié)果可發(fā)現(xiàn)，本文設(shè)計(jì)的InSAR衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)形優(yōu)化算法方法可實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)，能設(shè)計(jì)獲得滿足有效基線、構(gòu)形長期安全性等約束條件的構(gòu)形，滿足對地測繪區(qū)域最大的任務(wù)要求，具有工程可行性。

圖10 不同緯度的高緯度構(gòu)形有效基線Fig.10 Effective base line valued by latitude of high latitude formation flying

5 結(jié)束語

本文給出了一種可同時(shí)滿足InSAR衛(wèi)星測量多約束要求的編隊(duì)構(gòu)形優(yōu)化方法。根據(jù)相對軌道根數(shù)，在編隊(duì)衛(wèi)星近距離假設(shè)條件下，推導(dǎo)了基于e／i矢量的編隊(duì)衛(wèi)星相對運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。在此基礎(chǔ)上，充分考慮有效基線、安全距離等條件對于InSAR衛(wèi)星成像的約束，根據(jù)太陽同步軌道InSAR衛(wèi)星編隊(duì)飛行特點(diǎn)，給出了滿足干涉成像及編隊(duì)構(gòu)形安全性要求的編隊(duì)構(gòu)形優(yōu)化算法。無攝動(dòng)和有J2攝動(dòng)的兩種數(shù)學(xué)模型仿真驗(yàn)證了該編隊(duì)構(gòu)形優(yōu)化方法的有效性，可實(shí)現(xiàn)最大觀測區(qū)域的對地成像，符合設(shè)計(jì)要求，對InSAR衛(wèi)星編隊(duì)飛行控制和工程實(shí)踐有參考意義。

圖11 高緯度構(gòu)形、基線傾角和安全距離Fig.11 Formation configuration，base line inclination and safe distance of high latitude formation

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