兩枚硬幣的“舞蹈”

劉兆豐

通過對(duì)“滾動(dòng)中的硬幣自轉(zhuǎn)圈數(shù)探究”的學(xué)習(xí)，我明白了數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不只是復(fù)雜的計(jì)算、嚴(yán)密的推理，更充滿著實(shí)踐給予我們的思想愉悅. 在對(duì)數(shù)學(xué)奧秘的探求過程中，我被數(shù)學(xué)的魅力折服，深深陶醉其中，好多次在夢(mèng)里與這兩只“跳舞”的硬幣相遇. 每次我從夢(mèng)中醒來，都引起無限的遐想：這兩枚硬幣旋轉(zhuǎn)中變化的本質(zhì)是什么？它纏繞著我，讓我寢食不安.

我再次不停地轉(zhuǎn)動(dòng)這兩枚硬幣，觀察靜者的穩(wěn)重，動(dòng)者的靈動(dòng). 突然一個(gè)想法從我的腦海里迸了出來. 旋轉(zhuǎn)中的硬幣自轉(zhuǎn)一周不就是其中的一條半徑繞圓心旋轉(zhuǎn)360°嗎？無論怎樣自轉(zhuǎn)這一規(guī)律都不會(huì)改變. 老師不是常說，在運(yùn)動(dòng)中尋找不變的因素，這常常是解決問題的突破口. 這個(gè)發(fā)現(xiàn)能用來解決我們的問題嗎？

我急切地行動(dòng)起來：在一枚硬幣上畫上一條半徑，再次仔細(xì)地做起“滾動(dòng)中的硬幣自轉(zhuǎn)圈數(shù)探究”的實(shí)驗(yàn)，著重觀察這條半徑的變化情況. 果然，當(dāng)乙硬幣轉(zhuǎn)到甲硬幣周長的四分之一時(shí)，乙上畫的這條半徑繞自己的圓心轉(zhuǎn)動(dòng)了180°，當(dāng)轉(zhuǎn)到甲的周長一半時(shí)，乙的這條半徑轉(zhuǎn)動(dòng)了360°，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，回到原來的位置時(shí)，乙的這條半徑剛好旋轉(zhuǎn)了720°.即乙硬幣自轉(zhuǎn)了兩圈. 我興奮地跳起來，好像哥倫布發(fā)現(xiàn)了新大陸.

我懷著欣喜的心情把這個(gè)發(fā)現(xiàn)告訴了老師，老師表揚(yáng)了我. 同學(xué)們?yōu)槲业陌l(fā)現(xiàn)鼓掌. 我心中真如吃了蜜一樣甜！

這時(shí)老師又向我和同學(xué)們提出一個(gè)問題：“能用‘旋轉(zhuǎn)中的硬幣自轉(zhuǎn)一周就是其中的一條半徑繞圓心旋轉(zhuǎn)360°這個(gè)結(jié)論解決兩個(gè)半徑不等的硬幣的旋轉(zhuǎn)問題嗎？相信你們仔細(xì)研究會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)更為神奇的奧秘. ”

帶著這個(gè)問題我又沉浸到研究和探討之中. 經(jīng)過思考我認(rèn)為有如下的方法可以解決，請(qǐng)同學(xué)們聽我的看法.

如圖1，一枚5角的硬幣（直徑為2 cm）繞一枚1元的硬幣（直徑為2.5 cm）的邊緣無滑動(dòng)滾動(dòng)一周回到原來的位置時(shí)，那么5角的硬幣自轉(zhuǎn)了多少圈？

【分析】如圖1，設(shè)圓O1沿圓O外壁無滑動(dòng)滾動(dòng)一個(gè)周長，接觸點(diǎn)由點(diǎn)A到點(diǎn)B，則優(yōu)弧長為2π，設(shè)優(yōu)角∠AOB的度數(shù)為n°，則有=2π·1，∴n=288°. ∵O2B是O1A繞O旋轉(zhuǎn)一個(gè)弧長2π后到達(dá)的位置，即為O1A繞O1自轉(zhuǎn)一個(gè)周角后繼續(xù)旋轉(zhuǎn)288°到達(dá)的位置，∴O1A到達(dá)O2B時(shí)在平面內(nèi)繞O1旋轉(zhuǎn)了360°+288°. ∵圓O的周長為2.5π，圓O1的周長為2π，∴圓O1回到原來的出發(fā)點(diǎn)滾動(dòng)了1.25個(gè)周長，∴O1A在平面內(nèi)繞O1點(diǎn)共旋轉(zhuǎn)了1.25×（360°+288°），∴圓O1自轉(zhuǎn)了=2.25（圈）.

現(xiàn)在我們把上述情況推廣到一般情況：

若圓O1的半徑為r，圓O的半徑為R且滿足R=kr，圓O1沿圓O外壁無滑動(dòng)地滾動(dòng)一圈回到原出發(fā)點(diǎn)，則圓O1自轉(zhuǎn)了多少圈呢？

【分析】如圖2，設(shè)圓O1沿圓O外壁無滑動(dòng)滾動(dòng)一個(gè)周長，接觸點(diǎn)由點(diǎn)A到點(diǎn)B，則∠AOB的度數(shù)n滿足：=2πr，∴n==，∵O2B是O1A繞O旋轉(zhuǎn)一個(gè)弧長2πr到達(dá)的位置，即為O1A繞O1自轉(zhuǎn)一個(gè)周角后繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到達(dá)的位置，又圖中∠CO2B=∠AOB=n，∴O1A到達(dá)O2B時(shí)在平面內(nèi)繞O1旋轉(zhuǎn)了360°+=. ∵圓O1回到原來的出發(fā)點(diǎn)滾動(dòng)了=k（個(gè)）周長，∴O1A在平面內(nèi)繞O1點(diǎn)共旋轉(zhuǎn)了k×=（k+1）×360°，∴圓O1自轉(zhuǎn)了=（k+1）（圈）.

以上是我的一些見解，如有不足之處，歡迎大家批評(píng)指導(dǎo)與補(bǔ)足，讓我們一同在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的海洋中暢游！endprint