基于隨機(jī)測(cè)量點(diǎn)的機(jī)翼精加工位姿計(jì)算方法

中航工業(yè)成都飛機(jī)工業(yè)（集團(tuán)）有限責(zé)任公司 苗 勇 何 凱 陳國(guó)強(qiáng)

西北工業(yè)大學(xué)現(xiàn)代設(shè)計(jì)與集成制造技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 余劍峰

機(jī)翼作為具有氣動(dòng)外形要求的關(guān)鍵部件，在其接頭精加工及翼身對(duì)接過(guò)程中，為提高精加工質(zhì)量，需要對(duì)機(jī)翼的空間位姿參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，以便指導(dǎo)機(jī)翼空間位姿的調(diào)整。文獻(xiàn)[1-5]中，通過(guò)使用激光跟蹤儀進(jìn)行測(cè)量，獲得部件上用于表達(dá)部件位姿的測(cè)量點(diǎn)的測(cè)量值，并結(jié)合這些測(cè)量點(diǎn)在產(chǎn)品理論姿態(tài)下的理論值，采用奇異分解法或最小二乘法，計(jì)算測(cè)量點(diǎn)與其理論值間平方和最小的轉(zhuǎn)換關(guān)系，從而得到部件的空間位姿。這種方法已成功應(yīng)用于機(jī)身的姿態(tài)計(jì)算，具有計(jì)算簡(jiǎn)單、精度高的特點(diǎn)，但由于這種方法在實(shí)際使用時(shí)，需要根據(jù)產(chǎn)品數(shù)模在產(chǎn)品上預(yù)先布置用于表達(dá)位姿的點(diǎn)，并對(duì)這些點(diǎn)在空間中的實(shí)際位置進(jìn)行測(cè)量，使得其可能會(huì)受到來(lái)自產(chǎn)品結(jié)構(gòu)以及加工平臺(tái)結(jié)構(gòu)等因素的限制而無(wú)法使用，同時(shí)，要實(shí)現(xiàn)對(duì)產(chǎn)品上確定點(diǎn)的測(cè)量，通常要使用到激光跟蹤儀等先進(jìn)測(cè)量設(shè)備，對(duì)測(cè)量設(shè)備的要求較高。例如，就機(jī)翼精加工而言，由于其產(chǎn)品對(duì)象的曲面封閉結(jié)構(gòu)以及精加工型架的結(jié)構(gòu)緊湊性，使得在機(jī)翼上不易布置位姿表達(dá)點(diǎn)，并使用激光跟蹤儀對(duì)這些空間點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，從而造成該方法難以使用。

翼面水平測(cè)量是機(jī)翼精加工工藝過(guò)程中必不可少的環(huán)節(jié)，能夠起到檢驗(yàn)位姿精度以及定性指導(dǎo)位姿調(diào)整的雙重作用，但由于這種測(cè)量所得的點(diǎn)并非翼面上的預(yù)先布置的確定點(diǎn)，而是依賴于機(jī)翼實(shí)際位姿的隨機(jī)點(diǎn)，此時(shí)，無(wú)法預(yù)知測(cè)量點(diǎn)的理論坐標(biāo)值，因此，前文所述方法不能適用于該種情況下的機(jī)翼位姿精確計(jì)算。

為此，本文通過(guò)對(duì)翼面水平測(cè)量原理的分析，提出一種基于隨機(jī)測(cè)量點(diǎn)的機(jī)翼精加工位姿計(jì)算方法。該方法旨在利用翼面水平測(cè)量數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)位姿參數(shù)的求解，以起到簡(jiǎn)化精加工工藝流程、提高精加工質(zhì)量的作用。

1 原理分析

翼面水平測(cè)量數(shù)據(jù)是本文計(jì)算機(jī)翼位姿的基礎(chǔ)，下面將通過(guò)翼面水平測(cè)量原理的分析，對(duì)本文機(jī)翼位姿參數(shù)計(jì)算的基本思想進(jìn)行闡述。如圖 1所示，Ω、Ω'分別表示具有理論位姿與實(shí)際位姿的翼面，OXYZ為全局坐標(biāo)系。為描述機(jī)翼的空間位姿變化，在機(jī)翼部件上建立一個(gè)隨動(dòng)坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系依機(jī)翼位姿改變而改變，如O1X1Y1Z1與O'1X'1Y'1Z'1分別對(duì)應(yīng)于理論位姿和實(shí)際位姿。在翼面的設(shè)計(jì)模型上分布有一定數(shù)量的關(guān)鍵點(diǎn)，這些點(diǎn)稱為水平測(cè)量點(diǎn)，如點(diǎn)Ai。點(diǎn)Ai的正下方設(shè)有直線位移傳感器，完成對(duì)這些點(diǎn)的測(cè)量，其過(guò)程為：由直線位移傳感器沿Z向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)接觸到蒙皮后，可通過(guò)傳感器讀數(shù)得出測(cè)點(diǎn)的Z向高度值，結(jié)合直線位移傳感器的位置坐標(biāo)值（x，y）便可得到測(cè)點(diǎn)的空間坐標(biāo)。由于誤差的存在，機(jī)翼上架后，其實(shí)際狀態(tài)并不處于理論姿態(tài)，如Ω'所示，因此，直線位移傳感器所測(cè)得的高度值并非理論測(cè)點(diǎn)Ai的高度值，而是實(shí)際位姿翼面（即Ω'）上的另一個(gè)點(diǎn)B'i，將B'i稱為“偽水平測(cè)量點(diǎn)”?？紤]到誤差影響的隨機(jī)性，B'i可認(rèn)為是翼面上隨機(jī)測(cè)量的1個(gè)點(diǎn)。以表示測(cè)量點(diǎn)集（i=1，2，…，N），其中N為測(cè)量點(diǎn)數(shù)目，在不考慮翼面變形及測(cè)量誤差的情況下，實(shí)測(cè)點(diǎn)集B'實(shí)際上是理論位姿翼面上的某一對(duì)應(yīng)點(diǎn)集B={B1，B2，…，BN}經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)與平移得到，將B稱為B'的匹配點(diǎn)集。點(diǎn)集B與B'間的旋轉(zhuǎn)與平移關(guān)系能夠反映出機(jī)翼的位姿信息，若能求得點(diǎn)集B，便能采用現(xiàn)有的位姿計(jì)算方法，求出機(jī)翼的實(shí)際位姿。

尋求“偽水平測(cè)量點(diǎn)”的匹配點(diǎn)的過(guò)程可簡(jiǎn)化為一個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)集與理論曲面匹配的問(wèn)題，這個(gè)匹配問(wèn)題可描述為：將測(cè)量點(diǎn)集看作一個(gè)剛體，相對(duì)于曲面的CAD模型（即具有理論位姿時(shí)的翼面模型），經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換使得測(cè)量數(shù)據(jù)盡可能地包容該模型，并且使得測(cè)量數(shù)據(jù)與曲面間的距離誤差最小，此時(shí)，理論曲面上與經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)的測(cè)量點(diǎn)最近的點(diǎn)就是原測(cè)量點(diǎn)的匹配點(diǎn)。在現(xiàn)有尋求匹配點(diǎn)算法中，以迭代最近點(diǎn)（Iterative Closest Point, ICP）[6-10]最為常用，該算法基于最小二乘法目標(biāo)函數(shù)，其基本思想是假定測(cè)量點(diǎn)與曲面充分貼合時(shí)，點(diǎn)集中的所有點(diǎn)到曲面的最近距離平方和最小。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)ICP算法開(kāi)展了較多應(yīng)用研究[10-14]，用于自由曲面的誤差評(píng)價(jià)及曲面加工余量的優(yōu)化。本文結(jié)合機(jī)翼精加工工藝過(guò)程，通過(guò)采用ICP算法，尋求翼面水平測(cè)量實(shí)測(cè)點(diǎn)在翼面設(shè)計(jì)模型上的匹配點(diǎn)，以便為位姿計(jì)算提供完整的信息。

圖1 水平測(cè)量原理圖Fig.1 Principle diagram of level measuring

在求得匹配點(diǎn)后，便可進(jìn)行位姿的求解。機(jī)翼位姿可采用6個(gè)參數(shù)表示，將其記為其中x1、x2、x3為剛體的歐拉角，表達(dá)剛體由當(dāng)前姿態(tài)到理論姿態(tài)的一個(gè)變換序列，x4、x5、x6為剛體旋轉(zhuǎn)后的平移矢量。分別表示實(shí)測(cè)點(diǎn)與其匹配點(diǎn)的空間坐標(biāo)值，則這2個(gè)點(diǎn)與位姿參數(shù)間的關(guān)系可表示為：

式中，R為旋轉(zhuǎn)矩陣，見(jiàn)式（2），其中有

2 位姿計(jì)算模型

2.1 位姿參數(shù)的簡(jiǎn)化

采用6個(gè)參數(shù)的剛體姿態(tài)表達(dá)，是一種通用的表達(dá)方法。然而，由于機(jī)翼精加工有其特定的工藝規(guī)程，這會(huì)導(dǎo)致機(jī)翼處于某種約束下，例如，機(jī)翼在位姿調(diào)整或進(jìn)行精加工前，有一個(gè)預(yù)定位的過(guò)程，會(huì)采用精加工型架上的交點(diǎn)定位器對(duì)機(jī)翼進(jìn)行定位，此時(shí)，機(jī)翼的實(shí)際位姿與理論位姿相比，將會(huì)很接近，只在某些位姿參數(shù)上與理論位姿參數(shù)存在差異。因此，通過(guò)結(jié)合機(jī)翼精加工工藝特點(diǎn)，可以有效簡(jiǎn)化位姿參數(shù)的求解。

以實(shí)際加工為基礎(chǔ)，本文假定在機(jī)翼精加工預(yù)定位時(shí)，優(yōu)先保證機(jī)翼部件上的某一交點(diǎn)孔（圖2中紅色圓圈），并采用短銷進(jìn)行精確定位。采用這種定位方式，既可以保證機(jī)翼的預(yù)定位精度，也可有效減少位姿求解參數(shù)，其定位效果等價(jià)于在機(jī)翼與精加工型架之間施加了一個(gè)固定點(diǎn)約束。將固定坐標(biāo)系設(shè)在該固定點(diǎn)處，并假定具有理論位姿時(shí)，固連在機(jī)翼上的動(dòng)坐標(biāo)系與固定坐標(biāo)系重合，那么，在該固定點(diǎn)約束下，機(jī)翼的自由度及位姿參數(shù)見(jiàn)圖 2。由于存在固定點(diǎn)約束，3個(gè)平移自由度被限制，機(jī)翼實(shí)際位姿中只有3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)與理論位姿存在差異，因此，在機(jī)翼實(shí)際位姿求解時(shí)，只需考慮3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)，其實(shí)際位姿可表示為以下內(nèi)容將以水平測(cè)量數(shù)據(jù)及翼面設(shè)計(jì)模型為基礎(chǔ)，采用ICP算法與Levenberg-Marquardt算法，實(shí)現(xiàn)匹配點(diǎn)的尋求及3個(gè)參數(shù)的求解。

圖2 固定點(diǎn)約束下的機(jī)翼自由度Fig.2 Freedom of aircraft wing under fixed point constraint

2.2 算法原理及步驟

設(shè)具有理論位姿的標(biāo)準(zhǔn)曲面（設(shè)計(jì)翼面）為S，測(cè)量點(diǎn)為Pi,0（0表示初始值，即由直線位移傳感器測(cè)得的值），它到曲面S的最近距離點(diǎn)為Bi,0（i=1，2，…,N），其中，N為測(cè)量點(diǎn)的數(shù)量。第k次匹配后的點(diǎn)為Pi,k，為原測(cè)量點(diǎn)經(jīng)過(guò)k次旋轉(zhuǎn)所到的新位置，Bi,k為曲面上對(duì)應(yīng)的最近點(diǎn)。由Pi,k、Bi,k所組成的2個(gè)點(diǎn)集間的距離可表示為

當(dāng)dk值最小時(shí)，可認(rèn)為達(dá)到最佳匹配，此時(shí)，所得的點(diǎn)Bi,k即為原測(cè)量點(diǎn)Pi,0的匹配點(diǎn)。根據(jù)假設(shè)，不考慮平移位姿參數(shù)，只需對(duì)測(cè)量點(diǎn)集進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，其旋轉(zhuǎn)矩陣為R（X）或R（x1，x2，x3）。在已知測(cè)量點(diǎn)集及標(biāo)準(zhǔn)曲面的情況下，求測(cè)量點(diǎn)集的匹配點(diǎn)集的算法步驟如下。

（1）算法 1（ICP）。

步驟 1:令k= 0，計(jì)算Bi,0和d0；給定精度ε＞0；

步驟2:k=k+1；

步驟3:求旋轉(zhuǎn)矩陣Rk（X），使得如下函數(shù)

達(dá)到最小值，采用算法2求解；

步驟4:計(jì)算

步驟5:求解到曲面S的最近距離點(diǎn)

步驟6:計(jì)算目標(biāo)函數(shù)

步驟7:令則停止計(jì)算；若則轉(zhuǎn)步驟2，否則轉(zhuǎn)步驟8；

步驟8:即為測(cè)量點(diǎn)的匹配點(diǎn)（i=1，2，…，N），為求得位姿參數(shù)X,再次調(diào)用算法2，使目標(biāo)函數(shù)最小，停止。

以上算法中有2個(gè)判斷停止計(jì)算的條件，如步驟7，分別為：（1）時(shí)，說(shuō)明經(jīng)過(guò)k次迭代后，Pi,k有遠(yuǎn)離曲面的趨勢(shì)，此時(shí)算法不收斂，應(yīng)該停止計(jì)算需要重新對(duì)機(jī)翼進(jìn)行預(yù)算定位，提高機(jī)翼的預(yù)定位精度，并再次進(jìn)行水平測(cè)量和調(diào)用ICP算法進(jìn)行位姿評(píng)估，（2）說(shuō)明經(jīng)過(guò)k次迭代后，Pi,k已離曲面足夠近，實(shí)現(xiàn)匹配點(diǎn)的搜索，經(jīng)過(guò)步驟8的計(jì)算可求得機(jī)翼位姿。

在算法1中，每進(jìn)行一次循環(huán)都需要調(diào)用算法2。給出算法2之前，參考文獻(xiàn)[5]先對(duì)其目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行前處理。算法2的目的是實(shí)現(xiàn)一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換的求解，使得2個(gè)點(diǎn)集的距離平方和最小，其目標(biāo)函數(shù)為：

將式（4）展開(kāi)，得到：

式中，的第j行所組成的行向量，式（5）表達(dá)的是一個(gè)非線性最小二乘優(yōu)化問(wèn)題，可采用Levenberg-Marquardt方法[15]，即L-M法進(jìn)行求解。L-M算法中需要計(jì)算的梯度，為此，給出式（5）的梯度計(jì)算公式：

其中，

（2）算法2（L-M法）。

步驟1:取給定

步驟2:停算；

步驟3:求解方程組

步驟4:搜索步長(zhǎng)，令是滿足下面不等式的最小非負(fù)整數(shù)

步驟5:令轉(zhuǎn)到步驟2。

在求解匹配點(diǎn)時(shí)，算法1可能會(huì)收斂于某一局部解，算法求解的初值X0對(duì)結(jié)果有著很重要的影響；此外，計(jì)算過(guò)程中，還需要反復(fù)調(diào)用算法2，X0對(duì)該算法的收斂速度也有較大影響。然而，通過(guò)2.1節(jié)的分析可知，機(jī)翼精加工之前存在一個(gè)預(yù)定位工藝過(guò)程，在此之后，機(jī)翼的位姿精度已經(jīng)很貼近理論值，在這種實(shí)際工程背景下，本文取作為迭代初值，既能有效保證算法收斂于全局最優(yōu)解，也可使算法效率不受大的影響。

3 測(cè)量點(diǎn)精度補(bǔ)償

采用以最小二乘法為目標(biāo)函數(shù)的ICP法尋求測(cè)量點(diǎn)的匹配點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)位姿參數(shù)計(jì)算，具有目標(biāo)函數(shù)簡(jiǎn)單、收斂速度快的特點(diǎn)。然而，實(shí)際加工過(guò)程中，由于變形的存在，測(cè)量點(diǎn)的實(shí)際位置與其理論位置間有偏差，導(dǎo)致測(cè)量時(shí)存在測(cè)量誤差，并且各測(cè)量點(diǎn)的測(cè)量精度不一，例如，由于機(jī)翼沿翼展方向的變形累積及剛性變化，機(jī)翼外側(cè)測(cè)量點(diǎn)的測(cè)量精度較內(nèi)側(cè)相比會(huì)有所降低。若采用存在誤差的測(cè)量點(diǎn)與理論位姿曲面進(jìn)行匹配，勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致誤差，因?yàn)檫@些測(cè)量點(diǎn)并非理論位姿翼面上的點(diǎn)。通過(guò)分析算法原理及工藝流程可以得出，影響機(jī)翼位姿計(jì)算的誤差主要包含2個(gè)部分（不考慮測(cè)量系統(tǒng)自身的測(cè)量誤差）： （1）部件總裝時(shí)引入的誤差，這類誤差包括零件制造誤差、定位誤差、鉚接變形等，最終會(huì)反映到翼面外形上，稱為局部外形偏差； （2）部件在精加工型架上完成預(yù)定位，并釋放部分定位器，由于部件自重變形而引起的誤差。如圖3所示，Δi1、Δi2分別表示第一部分誤差與第二部分誤差，為理論上的實(shí)測(cè)值，為實(shí)際測(cè)量值，i表示第i個(gè)測(cè)點(diǎn)。從圖3中可以看出，由于Δi1及Δi2的存在，使得并不重合。

Δi1可通過(guò)翼面外形測(cè)量預(yù)知其值大小。翼面外形測(cè)量在機(jī)翼完成部件總裝后進(jìn)行，主要針對(duì)翼面水平測(cè)量點(diǎn)，用于檢驗(yàn)翼面的變形情況。Δi2與部件剛性有關(guān)，很難進(jìn)行精確預(yù)測(cè)，可根據(jù)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)及以往產(chǎn)品的檢驗(yàn)歷史數(shù)據(jù)，大致分析。為減少Δi1及Δi2對(duì)翼面位姿計(jì)算的影響，提出測(cè)量點(diǎn)精度補(bǔ)償量：

圖3 測(cè)點(diǎn)誤差示意圖Fig.3 Diagram of measurement point errors

式中，Δi表示第i個(gè)測(cè)量點(diǎn)的精度補(bǔ)償量調(diào)整系數(shù)，為第i個(gè)測(cè)量點(diǎn)的公差要求，用于反映Δi2。由測(cè)量原理分析可知，測(cè)點(diǎn)的x,y值取決于直線位移傳感器的安裝精度，其誤差可以忽略，誤差較大是其z向值，因此，只需對(duì)測(cè)點(diǎn)的z進(jìn)行精度補(bǔ)償。

4 算例分析

為驗(yàn)證算法的有效性，本文給出一個(gè)仿真算例，以一個(gè)圓柱面表示機(jī)翼翼面，固定點(diǎn)約束為坐標(biāo)系原點(diǎn)，翼面上共有8個(gè)水平測(cè)量點(diǎn)，沿y軸對(duì)稱分布，見(jiàn)圖 4，各點(diǎn)坐標(biāo)值其公差要求見(jiàn)表1。預(yù)先給翼面設(shè)定一個(gè)位姿單位為弧度。在不考慮誤差，即Δ= 0的情況下，其實(shí)測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)值見(jiàn)表2。

得到水平測(cè)量點(diǎn)的實(shí)測(cè)點(diǎn)后，采用ICP算法可求得其對(duì)應(yīng)的匹配點(diǎn)，見(jiàn)表2中的匹配點(diǎn)。利用表2中具有對(duì)應(yīng)關(guān)系的兩個(gè)點(diǎn)集，采用L-M算法，可求得部件位姿。Δ時(shí)，主要包括Δi1、Δi2兩部分，其中Δi1由實(shí)際測(cè)量得到，可直接用于對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的精度補(bǔ)償，在此不予考慮。為仿真Δi2，在各測(cè)點(diǎn)上z向增加一個(gè)誤差擾動(dòng)，模擬機(jī)翼因自重產(chǎn)生的變形，并通過(guò)結(jié)合各測(cè)點(diǎn)公差要求及調(diào)整系數(shù)示意測(cè)點(diǎn)精度補(bǔ)償方法的使用。且未進(jìn)行補(bǔ)償時(shí)，其測(cè)量點(diǎn)及其匹配點(diǎn)見(jiàn)表3；取進(jìn)行補(bǔ)償后，其測(cè)量點(diǎn)及其匹配點(diǎn)見(jiàn)表4，位姿計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表5。

圖4 位姿計(jì)算仿真模型Fig.4 Simulation model of posture calculating

表1 理論水平測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)值

表2 Δ = 0時(shí)實(shí)測(cè)點(diǎn)及其匹配點(diǎn)

表3 Δ ≠ 0、未進(jìn)行補(bǔ)償時(shí)實(shí)測(cè)點(diǎn)及其匹配點(diǎn)

表4 Δ ≠ 0、進(jìn)行補(bǔ)償后實(shí)測(cè)點(diǎn)及其匹配點(diǎn)

表5 仿真計(jì)算結(jié)果

從表5中可以看出，當(dāng)不考慮誤差，即認(rèn)為Δ=0時(shí)，位姿計(jì)算值與其理論值間的誤差很小，幾乎完全一致；當(dāng)且未進(jìn)行精度補(bǔ)償時(shí)，位姿計(jì)算值的誤差有所增大；進(jìn)行精度補(bǔ)償后，可提高位姿計(jì)算精度。因此，本文所述的位姿計(jì)算方法是一種有效的方法。

5 結(jié)論

利用機(jī)翼精加工的水平測(cè)量，采用迭代最近點(diǎn)算法（ICP算法）與L-M算法，實(shí)現(xiàn)機(jī)翼精加工位姿的求解。仿真算例表明，該方法是一種有效的機(jī)翼位姿計(jì)算方法。在采用該方法計(jì)算位姿時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意以下2點(diǎn)。

（1）本文結(jié)合機(jī)翼精加工工藝特點(diǎn)，將機(jī)翼的6個(gè)位姿表達(dá)參數(shù)簡(jiǎn)化為3個(gè)。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可根據(jù)加工的實(shí)際情況，對(duì)待求解的位姿參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。

（2）為提高位姿計(jì)算精度，需要對(duì)測(cè)量值進(jìn)行精度補(bǔ)償，其具體補(bǔ)償量在一定程度上依賴于工程經(jīng)驗(yàn)，后期將進(jìn)一步研究測(cè)量值的精度補(bǔ)償方法。

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