放開手腳 順勢而為

[回顧]

“比一比”是北師大版數(shù)學(xué)三年上冊第六單元第一節(jié)課，主要內(nèi)容是認識平均數(shù)和求平均數(shù)。

2005年，吳正憲老師來大慶講學(xué)時上過這節(jié)課。為了引出“平均數(shù)”的概念，吳老師首先設(shè)計了“拍球”的情境：“將學(xué)生分成人數(shù)相等的兩隊，通過和學(xué)生自由談話引出：‘老師想了解一下咱們班這兩隊同學(xué)的拍球水平，你們說該怎么辦？’……在學(xué)生談出自己的不同想法以后，教師結(jié)合生活實際肯定了‘每隊選幾個代表拍球’的做法，并在教室中實際組織了如下的活動：‘學(xué)生限時地拍球，教師記錄兩隊中每位同學(xué)的拍球個數(shù)’；然后，教師又提出了如下問題：‘現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了兩隊中每位同學(xué)的拍球個數(shù)，哪隊同學(xué)拍球水平高？你有自己的想法嗎？’……在獨立思考和全班交流后，‘教師又以游戲者的角色加入其中拍球水平低的一隊’，從而引出了‘在人數(shù)不相等的情況下，比什么才能公平’這樣一個問題，并‘通過辯論’得出了如下的結(jié)論：‘比較平均每人拍球的個數(shù)才公平’?！边@樣就由上述的特殊情境最終引出了“平均數(shù)”的概念。

2009年，當(dāng)我教學(xué)這節(jié)課時，便效仿吳老師創(chuàng)設(shè)情境引出平均數(shù)，并借助情境認識平均數(shù)及探索求平均數(shù)的方法，效果非常不錯。當(dāng)時聽這節(jié)課的老師都頻頻稱贊。其中一位老師更是點評到位：這節(jié)課真精彩，學(xué)生都積極參與著，全都跟著老師的思路走，沒有一個溜號的，陳老師真了不起！

[思考]

聽了同行這樣的評價，我心里卻高興不起來。以學(xué)為本，以生為本，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人。我本意是想通過“比賽活動”激發(fā)學(xué)生參與欲望，讓他們自主體會平均數(shù)產(chǎn)生的必要性，怎么到頭來還是他們跟著我走呢？如果課堂真如這位老師所說的是“學(xué)生跟著老師走”，那學(xué)生的主體性還是沒有得到真正的充分發(fā)揮??！這使我百思不得其解。

2010年，我有幸參加了新世紀小學(xué)數(shù)學(xué)杰出人才發(fā)展高級研修班，在學(xué)習(xí)期間讀到鄭毓信教授的《國際視野下的小學(xué)數(shù)學(xué)教育》一書。書中提到吳老師的這節(jié)課，認為這樣創(chuàng)設(shè)情境對于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性無疑是有益的；但是，由于“平均數(shù)”的概念對大多數(shù)學(xué)生來說并非完全陌生的，毋寧說，他們已由日常生活在這一方面積累起了一定的經(jīng)驗和知識，因此，我們在此就應(yīng)認真考慮這樣一個問題：與花費很多的時間和精力去組織“拍球”這樣一個活動（或其他的類似活動）相比，以下的做法是否更為可取，即是單刀直入地直接提出“你們有誰知道平均數(shù)是什么嗎”這樣的問題。顯然，后一做法不僅更好地體現(xiàn)了教學(xué)活動的高效性，也可充分調(diào)動學(xué)生在這一方面所已具有的各種知識和經(jīng)驗，而學(xué)生經(jīng)由“拍球”活動所獲得的經(jīng)驗或體會則不能不說與“平均數(shù)”概念的學(xué)習(xí)仍有較大的距離。

這讓我也開始重新審視這節(jié)課，應(yīng)當(dāng)如何處理好“情境設(shè)置”與“教學(xué)的高效率性”這兩者之間的關(guān)系？如果采取“單刀直入”的方式，學(xué)生如何體會平均數(shù)產(chǎn)生的必要性？如果不組織現(xiàn)場“拍球”這樣的活動，還可以怎樣創(chuàng)設(shè)情境呢？

[我的研究]

如今，我又教到了三年級，決定再好好地研究一下這節(jié)課。

首先，我再次仔細閱讀教材。本課教材創(chuàng)設(shè)了“投籃比賽”的情境，利用統(tǒng)計圖呈現(xiàn)比賽情況，意在培養(yǎng)學(xué)生讀統(tǒng)計圖表的能力。學(xué)生會發(fā)現(xiàn)人數(shù)不同這一重要信息，不能比總數(shù)來確定哪個隊的實力強，從而引出平均數(shù)。接著教材呈現(xiàn)了學(xué)生可能用到的“移多補少”和除法計算的方法求平均數(shù)。

接著，我把研究的重心放在研究學(xué)生上，期望能了解學(xué)生的知識基礎(chǔ)和已有經(jīng)驗，并以此確定教學(xué)目標，最終尋找合理高效的教學(xué)路徑。

研究一：學(xué)生現(xiàn)在哪里，哪里就是教學(xué)起點

在知識經(jīng)驗方面，學(xué)生在二年級學(xué)習(xí)了除法，剛剛結(jié)束的第五單元認識了分數(shù)，已經(jīng)積累了相當(dāng)豐富的平均分經(jīng)驗；在生活經(jīng)驗方面，學(xué)生借助多種途徑接觸過平均數(shù)的問題?？墒撬麄儠脒^為什么要用平均數(shù)嗎？也就是感受引入平均數(shù)的必要性的問題。還有對于平均數(shù)的意義理解上會不會有困難呢？通過對學(xué)生知識基礎(chǔ)和已有經(jīng)驗的回顧和分析，我預(yù)測學(xué)生計算平均數(shù)應(yīng)該沒有困難，難點可能是理解平均數(shù)的意義。

為了更準確地把握學(xué)生的認知起點，設(shè)計合理的教學(xué)，我決定對72名學(xué)生進行前測（題目如下圖）。

我對前測結(jié)果進行了統(tǒng)計：

只有5名學(xué)生認為第1組實力強，約占總數(shù)的6.9%，其中有4名學(xué)生用平均數(shù)進行比較，約占總數(shù)的5.6%，其中2人能正確通過除法計算出平均數(shù)，通過比較得出第1組實力強的結(jié)論。

另2人用的是“移多補少”法找到平均數(shù)，通過比較得出結(jié)論也是第1組實力強。

還有1人是用如下的方法進行了比較的，通過課后訪談得知，她是去掉了第二組中最小的數(shù)據(jù)，使兩隊人數(shù)相等，然后再通過比較總數(shù)做出決策，這個結(jié)果是合理的。

其余93.1%的學(xué)生雖然有的數(shù)數(shù)，有的畫圖，有的計算，但都是通過總數(shù)進行比較，認為第2組實力強。

前測的結(jié)果比我預(yù)想的更“糟糕”。原來大多數(shù)的學(xué)生都是把這樣兩個隊看成一個整體，認為比較實力就是比較總的進球數(shù)，并不知道要用平均數(shù)做比較。

看來，學(xué)生的起點就在這里。他們對于平均的理解僅限于平均分配，而不包括數(shù)據(jù)統(tǒng)計觀念中的平均數(shù)。這也提醒我，體會平均數(shù)的必要性將是本節(jié)課教學(xué)的難點，同時能為本課的教學(xué)重點——理解平均數(shù)的意義起到重要作用。

研究二：學(xué)生要到哪里，哪里就是教學(xué)目標

結(jié)合對教材編寫意圖的把握及對學(xué)情的調(diào)研，我確定本節(jié)課的教學(xué)目標如下：

1.結(jié)合具體問題情境，了解平均數(shù)的意義，體會平均數(shù)的必要性，學(xué)會計算簡單數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

2.能讀懂簡單統(tǒng)計圖，并能根據(jù)統(tǒng)計圖解決一些簡單實際問題。

3.發(fā)展統(tǒng)計觀念，增強與他人交流的意識和能力。

其中，教學(xué)重點為了解平均數(shù)的意義，學(xué)會求簡單數(shù)據(jù)的平均數(shù)（結(jié)果為整數(shù)）。教學(xué)難點是感受平均數(shù)的必要性，了解平均數(shù)的意義。

研究三：學(xué)生怎樣學(xué)習(xí)，過程就是學(xué)習(xí)路徑

新課程標準將四個具體目標之一“解決問題”修改為“問題解決”，史寧中校長說過原因之一是：要先有問題，再去解決它，這是一個“從頭到尾”思考問題的習(xí)慣。張丹博士也說過：原來的教學(xué)是我們告訴學(xué)生怎么做，現(xiàn)在不告訴他們怎么做了，給出問題讓學(xué)生自己去思考，解決問題。但在整個課堂活動中，老師的思路是很清晰的，第一個環(huán)節(jié)是什么，第二個環(huán)節(jié)做什么，安排了幾個學(xué)生活動等，而學(xué)生并不知道為什么一會兒要思考，一會兒要操作。啟發(fā)學(xué)生思考的最好的辦法就是讓教師與學(xué)生一起思考，一起發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題。這就是教師要能暴露自己的思考路徑，教學(xué)中為什么要提出這些問題供大家思考，遇到情境可以從哪些方面提出問題，遇到這些問題后應(yīng)該從哪些角度來分析，解決了這個問題又可以提出哪些新的問題。這也體現(xiàn)了“從頭到尾”思考問題的理念。于是，暴露學(xué)習(xí)路徑，暴露學(xué)生的問題，讓學(xué)生在解決問題中一步步明晰，雖不會特別“順暢”，有時會遇到困難，但遠比看似精心的設(shè)計更能暴露學(xué)生的真實狀態(tài)，更符合學(xué)生的認知規(guī)律。于是，我決定順著學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑，讓學(xué)生在思考——操作——交流——應(yīng)用中參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，積累和提升數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，滲透基本的統(tǒng)計思想。

[課堂實踐片段1]

直接出示情境圖，學(xué)生獲取信息后，提出問題：哪個隊的實力強？

1.獨立思考想一想

給學(xué)生時間，先獨立思考。很多學(xué)生邊思考邊開始“操作”了，有的學(xué)生在數(shù)，有的在計算。我沒有打斷他們，而是在學(xué)生有了自己的想法后和同桌進行交流，最后進行全班討論。

小寧第一個匯報：男生隊一共投入了25個球，女生隊一共投中了24個球，所以男生隊實力強。

我問：誰和他的想法一樣？請舉手。和我預(yù)想的一樣，超過一半以上的學(xué)生舉手。

這時，小昱提出：這樣比不行，因為男生隊5個人，女生隊4個人，人數(shù)不同，對女生隊不公平。這使得對自己想法確信不疑的學(xué)生也開始重新思考，認知沖突就這樣產(chǎn)生了。

又有小平提議：應(yīng)該先算出總數(shù)，再除以人數(shù)，算出平均的數(shù)，用1個人的和1個人的比就公平了。

沒想到小宇卻提出了另外的方法：去掉男生隊一個人的成績，這樣就是4比4，不就行了。

我適時介入：別急，問題要逐個處理。先來思考小寧的問題，這兩個隊人數(shù)不同時，可不可以直接用總數(shù)比較實力？同學(xué)們異口同聲回答：不行。我特意問了小寧，他修改了自己的想法，表示不行，因為人數(shù)不同。

我再問：那接下來來討論小宇的提議，去掉男生隊的1個人的成績，使人數(shù)相等，這樣比可以嗎？

馬上就有學(xué)生不同意了：不行，男生隊就是5個人，不能隨便去掉任何一個成員的成績；是啊，這是一個團隊，1個也不能去掉。

問題非常明確：那就是說，現(xiàn)在要比較的就是人數(shù)不相等的兩個隊的實力，不比總數(shù)，那比什么呢？這時有更多的學(xué)生提出應(yīng)該比較平均的數(shù)。這個平均的數(shù)在哪兒呢？能把它找出來嗎？

[課堂實踐片段2]

2.動手實踐做一做

師：同學(xué)們可以數(shù)一數(shù)、用學(xué)具擺一擺、也可以在圖上畫一畫，還可以算一算。

學(xué)生開始嘗試尋找平均數(shù)。我走到學(xué)生中巡視，發(fā)現(xiàn)或許是受了前面發(fā)言的同學(xué)計算方法的“提示”，或是更多的學(xué)生還沒能真正體會平均數(shù)的意義，大多數(shù)學(xué)生都在列式計算，個別學(xué)生在圖上圈著、連著、畫著……當(dāng)然，也有一名學(xué)生拿著圖，不知該干些什么。我把他托付給剛剛已經(jīng)找到平均數(shù)的同桌：先和他說一說你的想法，再讓他也說一說。然后，我提醒全班同學(xué)，先完成的與同桌交流想法。

[課堂實踐片段3]

3.全班分享說一說

為了更好地幫助學(xué)生體會方法的多樣性，同時又尊重學(xué)生的認知規(guī)律，我根據(jù)巡視對學(xué)生多樣方法的掌握做好了匯報的順序安排：先來匯報畫圖法，再來匯報計算法。

方法一：重新均分

小楠是在圖的背面畫圖重新分配的（如下圖）。通過她的敘述，知道了她其實是先進行了計算，然后再根據(jù)結(jié)果畫圖來驗證的。

這時，小睿展示了她的圖（如下圖），展現(xiàn)了把進球總數(shù)按人數(shù)重新分一分的想法。

方法二：移多補少

認真傾聽了前面兩位同學(xué)的方法后，有的同學(xué)提出：不用畫得那么麻煩，可以簡單移一移就可以了（如下圖）。

展臺上展出了兩位同學(xué)的畫法，他們又在黑板上的圖上現(xiàn)場畫，動態(tài)呈現(xiàn)“移多補少”的過程。學(xué)生邊畫邊解釋，說清了把誰的球補給了誰，這樣就相當(dāng)于每人都投進了幾個。我抓住第二名學(xué)生畫的“標準線”，讓他說明這條線的意思。學(xué)生表述，這樣就每個人都一樣多了，就平均分了，這條線表示的就是每個隊的實力。

想清、做清、說清，前面兩名學(xué)生做得不錯。當(dāng)其他同學(xué)都感受到“移多補少”的方法即直觀又簡便時，我給全體同學(xué)時間，都來親身體驗一下“移多補少”，直觀地認識平均數(shù)，理解平均數(shù)的產(chǎn)生過程。

方法三：先加后除法

一組同桌兩人同時板前書寫算式，并介紹想法、歸納概括方法：先用加法求進球總數(shù)，再除以人數(shù)，即求出每隊的平均進球數(shù)，掌握計算平均數(shù)的一般方法。

歸納小結(jié)：

接下來學(xué)生用自己的話描述一下“心目中的平均數(shù)”。

生1：就是把總數(shù)平均分給每個人的平均的數(shù)。

生2：就像算平均油價一樣，比如第一種包裝4千克48元，第二種包裝5千克55元，第一種包裝平均每千克12元，第二種包裝平均每千克11元，第二種包裝的便宜。

事實上，平均數(shù)與平均油價在意義上的差別很大，但學(xué)生能夠借助已有經(jīng)驗來幫助理解。我給予肯定，你可以這樣理解平均數(shù)。

生3：平均數(shù)就是把多的補給少的達到一樣多的中間數(shù)。

這個孩子邊說還邊比畫，我順勢和所有學(xué)生都來比畫，左手高，右手低，然后左手慢慢下降，右手慢慢上升，達到持平。借助手勢，再現(xiàn)了“移多補少”的平均數(shù)產(chǎn)生的過程，進一步理解平均數(shù)的意義。

…………

[課堂實踐片段4]

4.生活拓展用一用

平均數(shù)在生活中有哪些應(yīng)用呢？一起解決幾個問題吧。第1題是書上練一練的1題。

我在巡視過程中發(fā)現(xiàn)有幾名學(xué)生把總分填在了表格平均得分處，但通過和同桌交流都已經(jīng)及時改正了。我又發(fā)現(xiàn)小然完成得特別快，和她交流得知，她用的是“取多補少”的方法。我暗暗竊喜，準備稍后讓她來介紹這種方法?？尚∪唤酉聛淼膯栴}讓我高興不起來了：老師，1號選手的得分為什么不是中間數(shù)89分呢？什么意思？我一時糊涂了。經(jīng)過她解釋，我明白了，她認為3個得分中“中間”的數(shù)就是應(yīng)該是平均數(shù)。我一下子想起來剛才小源提到的“中間數(shù)”，原來有的同學(xué)誤會了。好吧，就利用這個誤會來解釋誤會吧。

在1名學(xué)生簡單匯報了最基本的先加后除的方法后，我請小然來說一說她用“移多補少”法得出2號選手的平均得分，2號選手的得分很特殊，正好就是“中間數(shù)”91分。而1號選手的平均得分卻不是89分，怎么解釋呢？學(xué)生自發(fā)地開始討論，通過辨析和結(jié)果驗證，逐步明晰：平均數(shù)指的是在最大數(shù)和最小數(shù)之間的某個數(shù)，表示的是一個標準，不一定是這組數(shù)據(jù)中的確定的一個數(shù)。

趁熱打鐵，一起來讀一讀數(shù)學(xué)故事：

學(xué)生有了前面的學(xué)習(xí)討論，幾乎都能做出正確判斷和合理解釋：平均水深是0.8米，有的地方可能比1.3米還深呢；因為河邊上很淺，所以一定有的地方比0.8深，這樣有危險。我順勢出示第2幅圖，再次直觀理解“平均水深”。通過這個故事，學(xué)生更加體會到平均數(shù)代表了一組數(shù)據(jù)的平均水平的意義。

帶著問題來，帶著問題走。關(guān)于平均數(shù)，你還有什么問題或是新的思考嗎？小玉提出：除不開（除不盡）怎么辦？是啊，平均數(shù)不是一個確定的數(shù)，很可能遇到不能整除（三年級學(xué)生還沒學(xué)習(xí)小數(shù)除法）的情況，那怎么辦呢？學(xué)生想辦法：可以用計算器幫忙，也可以取接近的整數(shù)。接著順理成章地布置了實踐作業(yè)：1.調(diào)查你所在小組同學(xué)的身高，并計算小組同學(xué)的平均身高。2.在報刊上找出與平均數(shù)有關(guān)的信息，記錄下來，下節(jié)課上小組交流。

整節(jié)課，學(xué)生很開心，我也一直興奮著。在一個一個的數(shù)學(xué)活動中，學(xué)生邊尋找平均數(shù)邊理解著平均數(shù)的意義，也積累著求平均數(shù)的方法和經(jīng)驗。我順著學(xué)生，時而追問，時而點撥，時而組織討論，幫助學(xué)生一步步經(jīng)歷，一點點明晰。

這次實踐驗證了不用現(xiàn)場比賽的情境，直接利用教材主題圖也是可以突破體會平均數(shù)必要性這一重難點，進而落實教學(xué)目標的。課后市教師進修學(xué)院王利主任這樣評價：一個思考醞釀了前后近10年，相隔5年的兩次實踐都是有價值的。這節(jié)課上老師能順勢而教，順誰的勢？順的是學(xué)生，順的是學(xué)情。是啊，以學(xué)論教，順勢而為。我更加堅信：放開手放開腳放心去做，順學(xué)生順學(xué)情順勢而為。

（作者單位：大慶市萬寶學(xué)校）

陳英，中學(xué)高級教師。兩次被評為全國新世紀優(yōu)秀教師，教育部北師大課程中心教材培訓(xùn)高級講師、新世紀杰出人才發(fā)展工程首期高級研修班學(xué)員。黑龍江省“千名專家下基層行動”專家、教學(xué)能手，大慶市模范教師、市兼職教研員、骨干教師，大慶市名師工作室“陳英工作室”主持人。