“平行線的習(xí)題課”教學(xué)案例

（本課選自人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)》七年級下冊第五章“相交線與平行線”.）

此課為“平行線的習(xí)題課”公開課展示.課始，學(xué)生精神抖擻，應(yīng)該說他們是久經(jīng)戰(zhàn)場的老將了，絲毫沒有緊張感，相反更想在此時露露臉.

“同學(xué)們，老師這有一塊紙板，它的上下兩條邊是互相平行的.看，發(fā)生什么事兒了？”（我用力掰斷紙板，露出犬牙交錯的兩個紙板.）“斷開了！”學(xué)生們回答！“是的，這兩個紙板所形成的基本圖形你們熟悉嗎？”我接著問道，“熟悉！”，學(xué)生們回答了，“是的，它們出現(xiàn)在我們教科書中第60頁第6題的第二小問中.”學(xué)生們迅速翻書，“本節(jié)習(xí)題課就來研究這兩個圖形，并通過他們來探究添加平行線解決角的問題”，同時我將紙板粘到了黑板上.

請看這個問題：你有幾種添加輔助線的方法，和我們一起分享你的結(jié)論，請選擇一種加以說明.已知：如圖，AB∥CD，求∠A+∠AEC+∠C的度數(shù).

學(xué)生們看題思考，回答“過點E作AB的平行線”，“過點A作EC的平行線”，“AC連接”，“延長AE交AB的反向延長線于點P”等.借此引導(dǎo)他們考慮過其他點作輔助線，讓學(xué)生們知道做輔助線來解決這個問題.通過第一種做輔助線的方法，做了一個推理填空，考查和規(guī)范學(xué)生的基本功.他們的積極踴躍讓我忘掉了緊張，我也和他們?nèi)谠诹艘黄?，忘我的教課，比平常還要興奮！

一生讀題：“如圖所示，AB∥ED，∠B=48°，∠D=42°， BC垂直于CD嗎？請寫出添加平行線的方法，請選擇一種，對你作出的結(jié)論加以說明.”我強(qiáng)調(diào)說：“如何添加平行線？”學(xué)生在教師引導(dǎo)下開展討論，得出和多種方法.學(xué)生積極回答，“過點E作AB的平行線”， “過點C作AE的平行線”，“過點E作CD的平行線”， “過點A作EC的平行線”.我就馬上表揚他們，如“思維很快”“表達(dá)流暢”，學(xué)生也喜滋滋的.

然后，讓學(xué)生進(jìn)行小組合作來探究復(fù)雜圖形中，解決角的問題也要用到添加平行線的方法，提出問題：“這個復(fù)雜圖形的問題的解決主要通過什么方法？”進(jìn)一步揭示作平行線的重要性.讓學(xué)生再度觀察和歸納作平行線時需要注意的方面.幫助學(xué)生歸納和總結(jié)如何在復(fù)雜圖形中找到基本型.

探究1：“C” 型問題

如圖1，MA1∥NA2，則∠A1+∠A2= 度.

如圖2，MA1∥NA3，則∠A1+∠A2 +∠A3= 度.

如圖3，MA1∥NA4，則∠A1+∠A2 +∠A3+∠A4= 度.

如圖4，MA1∥NA5，則∠A1+∠A2 +∠A3+∠A4+∠A5= 度.

從上述結(jié)論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

如圖5，MA1∥NAn，則∠A1+∠A2 +∠A3+∠A4+∠A5+…+∠An= 度.

如圖6，MA1∥NAn+1，則∠A1+∠A2 +∠A3+∠A4+∠A5+…+∠An+∠An+1 =______度.

探究2： “Z” 型的問題

如圖1，MA1∥NA3，∠A1 、∠A2和 ∠A3的關(guān)系 .

如圖2， MA1∥NA4，則∠A1 、∠A2 、∠A3 、∠A4的關(guān)系是 .

如圖3，MA1∥NA5，則∠A1 、∠A2 、∠A3 、∠A4、∠A5的關(guān)系是 .

思考：MA1∥NAn，則∠A1 、∠A2 、∠A3 、∠A4、∠A5…∠An的關(guān)系是 .

在總結(jié)方法時，作小詩一首讓學(xué)生感受作平行線的方法.我大聲朗讀：“平行線間作平行，找點看你行不行，點的位置很突出，化繁為簡基本型.”

上課繼續(xù)進(jìn)行著，學(xué)生探究熱情高漲，主動參與過程還算順利，基本的知識還能自主呈現(xiàn)出來.但是接下來，運用此方法解決復(fù)雜圖形，就不是那么順暢了.設(shè)計此題基于以下兩點考慮：

（1）根據(jù)已有的條件與圖形，無法解決問題時，要添加平行線.

（2）將推理過程由口述轉(zhuǎn)化為書面表達(dá)形式，這也會讓學(xué)生感到一定困難.

因此在本題的教學(xué)中要充分體現(xiàn)教師引導(dǎo)者的地位，啟發(fā)學(xué)生思考當(dāng)遇到要我們說明兩直線平行的時候，應(yīng)該要從已知和圖形中尋找什么？這時學(xué)生會總結(jié)學(xué)過判定方法和平行公理，當(dāng)找不到解決問題的方法時，引導(dǎo)學(xué)生是否可以在沒有防礙題目的前提下對圖形做適當(dāng)?shù)母淖?，然后自然而然的引出作平行線.所以在這一環(huán)節(jié)中，我們可以扣“問“展開，結(jié)合學(xué)法指導(dǎo)，采用指導(dǎo)學(xué)生探究變式的方法.

變式1：如上圖，已知CE∥DF，求∠ACE+∠ABD-∠CAB的度數(shù).有幾種添加輔助線的方法？

學(xué)生說的方法很多也很好，都在我的預(yù)期之內(nèi)，這時我看見一個男孩手一直高高舉著手，很自信地舉著.“我認(rèn)為連接BC也可以”，只見他拿起本讀起來，聚精會神的回答著，其他學(xué)生的目光也凝聚到他一個人身上.我卻很吃驚，他哪來的這個新招兒？他那專心樣令聽課的教師贊不絕口.瞧，聲情并茂.別說，還真是個新招兒，同學(xué)們目不轉(zhuǎn)睛地看著，聚精會神地聽著.我迅速反應(yīng)這個方法我沒有在課件內(nèi)呈現(xiàn)，怎么辦，我拿起三角板，畫出了這個圖形，描出了他的方法，又跟著他將三角形內(nèi)角和等于180°的證明方法講述了一遍.不妙，恐怕他要喧賓奪主，我試圖掩飾他的方法，但是已經(jīng)上黑板了.也許他的方法聽起來很有樂趣，但是有點脫離主題，唯一的辦法是引導(dǎo)學(xué)生記憶作平行線方法.

所有的學(xué)生都說了自己的做法和思路，有的學(xué)生思路上有點繞彎，我就適時地進(jìn)行點撥，“我的思路是將減法提前，先算∠ACE-∠CAB再算加∠ABD，結(jié)果為180°.”學(xué)生們頻頻點頭，頗有頓悟之意.

我們接下來又挑戰(zhàn)了中考題，對于學(xué)生的思維，從廣度和深度上給予適當(dāng)?shù)狞c撥，同時，運用動中取靜和分類思想，將問題的難度化解.

變式2：已知直線EF∥CD，P為一動點.動點P不在直線AB、CD、EF上，若點P在直線AB左側(cè)不斷運動的過程中，問∠CAP、∠PBE、∠APB三個角之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，若變化寫出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，在下面畫出圖形，并選擇一個加以證明.

學(xué)生很快分出了3種情況，并作出了平行線，解決了問題.這時，我就不滿足于只說不寫了，我有讓學(xué)生們將過程寫了一遍，收獲不小.

變式3：AB∥CD，直線a交AB、CD分別于點E、F，點M在EF上，P是直線CD上的一個動點，（點P不與F重合）（1）當(dāng)點P在射線FC上移動時，∠FMP+∠FPM=∠AEF成立嗎？請說明理由；（2）當(dāng)點P在射線FD上移動時，∠FMP+∠FPM與∠AEF有什么關(guān)系？并說明你的理由.

變式3沒有進(jìn)行完，鈴聲就響起了，很遺憾方法并沒有展示完整，但是我們的收獲已經(jīng)不少了.

蘇霍姆林斯基認(rèn)為：“教給方法比教給知識更重要.” 為此，可以利用這樣的問題總結(jié)本節(jié)課：你認(rèn)為自己這節(jié)課學(xué)得怎么樣？還有哪些不懂的地方？老師這節(jié)課教得怎么樣？有哪些地方你覺得還沒有講清楚？繼而根據(jù)學(xué)生情況做出綜合性總結(jié)和評價.一節(jié)好課的結(jié)束應(yīng)該是學(xué)生拓展思維的開始.我布置的課外作業(yè)是：探究2和探究3將兩種情況寫在作業(yè)本上.