與圓錐曲線切線有關(guān)的兩個定值

摘 要：圓錐曲線中的定點、定值問題曾是2012年高考的一大亮點，2013年仍然有幾個省市考查了定值問題，其中筆者發(fā)現(xiàn)2013年山東卷與2012年福建卷都考查了與切線有關(guān)的定值問題，本文就與切線有關(guān)的兩個定值做一推廣并證明.

關(guān)鍵詞：橢圓；雙曲線；拋物線；切線；定點；定值

圓錐曲線中的定點、定值問題曾是2012年高考的一大亮點，2013年仍然有幾個省市考查了定值問題，其中筆者發(fā)現(xiàn)2013年山東卷與2012年福建卷都考查了與切線有關(guān)的定值問題，本文就與切線有關(guān)的兩個定值做一推廣并證明.

2013年高考理科數(shù)學(xué)山東卷第22題：橢圓■+■=1（a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，離心率為■，過點F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明■+■為定值，并求出這個定值.

本文研究（3），（3）的一般性結(jié)論為：

命題1：橢圓■+■=1（a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點P是橢圓上除頂點外的任意一點，連接PF1，PF2，過點P的切線斜率為k，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，則■+■為定值-■.

證明：設(shè)過點P的切線方程為y=kx+m，由y=kx+m，■+■=1 得（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0①.

所以Δ=4k2m2a4-4（b2+a2k2）（a2m2-a2b2）=0，所以a2k2-m2+b2=0.

所以①式可化為（mx+a2k）2=0，所以P-■，■.

所以k1=■，k2=■，所以■+■=■·■=-■，得證.

命題2：雙曲線■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點P是雙曲線上除頂點外的任意一點，連接PF1，PF2，過點P的切線斜率為k，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，則■+■為定值■.

證明：設(shè)過點P的切線方程為y=kx+m，由y=kx+m，■-■=1得（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0①.

所以Δ=4k2m2a4+4（b2-a2k2）（a2m2+a2b2）=0，所以m2+b2-a2k2=0.

所以①式可化為（mx+a2k）2=0，所以P-■，■.

所以■=■，■=■，所以■+■=■·■=■，得證.

2012年福建省高考理科數(shù)學(xué)試題19題：如圖1，橢圓E：■+■=1（a>b>0）的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e=■，過F1的直線交橢圓于A，B兩點，且△ABF2的周長為8.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q，試探究：在坐標平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M.若存在，求出點M的坐標：若不存在，說明理由.

第二問的一般性結(jié)論為：

命題3：直線l：y=kx+m與橢圓■+■=1（a>b>0）相切于點P，且與右準線交于點Q，橢圓右焦點為F2，則■·■=0.

■

圖1

證明：右準線x=■，焦點F2（c，0）.

由y=kx+m，■+■=1得（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0①.

所以Δ=4k2m2a4-4（b2+a2k2）（a2m2-a2b2）=0，所以a2k2-m2+b2=0.

所以①式可化為（mx+a2k）2=0，所以P-■，■.

由y=kx+m，x=■得Q■，■，

所以■·■=-■-c，■■-c，■=■+■=0，命題得證.

命題4：直線y=kx+m與雙曲線■-■=1（a>0，b>0）相切于點P，且與右準線交于點Q，雙曲線右焦點為F2，則■·■=0.

證明：右準線為x=■，焦點F2（c，0）.

由y=kx+m，■-■=1得（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2m2-a2b2=0①.

所以Δ=4k2m2a4+4（b2-a2k2）（a2m2+a2b2）=0，所以m2+b2-a2k2=0，所以①式可化為（mx+a2k）2=0，所以P-■，-■.

由y=kx+m，x=■得Q■，■.

同橢圓證明可得■·■=0，命題得證.

命題5：直線y=kx+m與拋物線y2=2px（p>0）相切于點P，且與準線x=-■交于點Q，拋物線焦點為F，則■·■=0.

證明：由y=kx+m，y2=2px得k2x2+（2km-2p）·x+m2=0①.

所以Δ=（2km-2p）2-4k2m2=0，所以p-2km=0②.

所以①式可化為（kx-m）2=0，所以P■，2m.

由y=kx+m，x=-■得Q-■，■，

所以■·■=■，2m-p，■=■=■=0，命題得證.