一類三角形問題的兩種常規(guī)解法

摘 要：三角形的問題一直是高考的重點(diǎn)，縱觀多年的高考試卷，很多題目都是圍繞三角形的角和邊進(jìn)行拓展，如何解決這一類的問題，嚴(yán)謹(jǐn)踏實(shí)不丟分，作者憑借多年的經(jīng)驗(yàn)提出精彩的闡述，與同行共享.

關(guān)鍵詞：三角形；問題；常規(guī)解法

題：△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，tanC=■，

（1）求角C的大??；

（2）若△ABC外接圓直徑為1，求a2+b2的取值范圍.

這是一道高三復(fù)習(xí)三角時(shí)常選的一例，解決第一個(gè)問題時(shí)首先從條件出發(fā)求出角C大小，有如下兩種常用方法：

方法1：化角：由tanC=■得■=■，故sinC（cosA+cosB）=cosC（sinA+sinB），

所以sinC·cosA+sinC·cosB=cosC·sinA+cosC·sinB，不難得到sin（C-A）=sin（B-C）.

因?yàn)锳，B，C∈（0，π），所以C-A∈（-π，π），B-C∈（-π，π），所以C-A=B-C或C-A=π-（B-C）或C-A=-π-（B-C），即C=■或B-A=π（舍）或 A-B=π（舍），故C=■.

方法2：化邊：由tanC=■化至sinC·cosA+sinC·cosB=cosC·sinA+cosC·sinB. 同時(shí)使用正弦、余弦定理得：c·■+c·■=a·■+b·■，經(jīng)整理得：ac3+bc3-a3c-b3c=0，進(jìn)一步可化為c2（a+b）=a3+b3，故有c2（a+b）=（a+b）（a2-ab+b2），？搖所以c2=a2-ab+b2，所以a2+b2-c2=ab，

故有■=■=cosC. 因?yàn)閏∈（0，π），所以c=■.

這是對第一問的兩種處理方案，顯然方法1較為容易. 但本文所要介紹的重點(diǎn)是第二個(gè)問題的處理方法.

方法1：由（1）知c=■，又外接圓直徑2R=1，所以c=2RsinC=■.

又由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC，即c2=a2+b2-ab=■，所以ab=a2+b2-■.

又由基本不等式知ab≤■，所以a2+b2-■≤■，所以a2+b2≤■，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號. 再由a2+b2-ab=c2知a2+b2>c2=■，所以a2+b2的取值范圍是■，■. 這一方法是利用了余弦定理及基本不等式求出了a2+b2的最大值，又抓住a2+b2-ab=c2得出a2+b2的下限是■. 所用知識廣而不深，處理得靈活便捷.

方法2：由（1）知c=■，外接圓直徑2R=1，所以根據(jù)正弦定理a2+b2=（2RsinA）2+（2RsinB）2=4R2·sin2A+4R2sin2B=sin2A+sin2B=■+■. 又A+B+C=π，C=■，B=■π-A且A∈0，■π，？搖所以原式=■+■=1-■cos2A+cos■π-2A=1-■cos2A-■cos2A-■·sin2A=1-■■cos2A-■sin2A=1+■sin2A-■.

因?yàn)锳∈0，■π，所以2A-■∈-■，■，所以1+■sin2A-■∈■，■.？搖

方法2與方法1的風(fēng)格截然不同，它是利用正弦定理，通過消元將目標(biāo)式a2+b2逐步化成Asin（ωx+φ）+k形狀，再根據(jù)角的取值范圍求出目標(biāo)式取值范圍，這一做法雖沒有法1快捷，但也能把不少的三角公式——兩角和差、降冪公式、輔助角公式作了考查，也不失為一個(gè)好方法.

細(xì)細(xì)體會(huì)本題，其實(shí)質(zhì)是已知三角形的一角及其對邊，再求相關(guān)目標(biāo)式的取值范圍，這類問題筆者認(rèn)為均可利用類似前面的方法1、方法2加以解決. 不妨請看下面兩道變題.

變式1：已知C=■，c=■，求△ABC周長l的取值范圍.

分析：為求周長的取值范圍，只需求出a+b的取值范圍.

方法1：c2=a2+b2-2abcosC，所以a2+b2-ab=■，所以（a+b）2-3ab=■，所以3ab=（a+b）2-■. 又ab≤1×■■，（a+b）2-■≤■（a+b）2，a+b≤■， 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”. 同時(shí)在△ABC中，根據(jù)兩邊之和大于第三邊得a+b>c，

所以■

方法2：因?yàn)镃=■，所以c=■，所以2R=■=1，

所以a+b=2RsinA+2RsinB=sinA+sinB=sinA+sin■-A=■sinA+■·cosA=■■sinA+■cosA=■·sinA+■.

因?yàn)锳∈0，■π，所以A+■∈■，■π，所以a+b∈■，■.

變式2：已知C=■，c=■，求△ABC面積S的取值范圍.

分析：S=■absinC，即只需要求出ab的取值范圍.

方法1：因?yàn)閏2=a2+b2-2abcosC得a2+b2-ab=■，所以a2+b2=ab+■.

又a2+b2≥2ab，所以ab+■≥2ab，ab≤■.

所以S=■absinC≤■×■×■=■（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”）

又S=■absinC=■ab>0（當(dāng)a，b兩邊中一邊趨向于0時(shí)，S趨向于0），

所以0

方法2：同樣的ab=2RsinA·2RsinB=sinA·sinB=sinA·sin■π-A=sinA·■cosA+■sinA=■sinAcosA+■sin2A=■sin2A+■×■=■+■sin2A-■cos2A=■+■sin2A-■.

因?yàn)锳∈0，■π，2A-■∈-■，■，所以ab∈0，■，

所以S=■absinC∈0，■.

類似的例子還有許多，在此不一一贅述，兩種方法各有優(yōu)劣. 方法1需對基本不等式能正確應(yīng)用，對目標(biāo)式的下限能靈活應(yīng)對. 方法2則需對三角表述式的變形嚴(yán)謹(jǐn)踏實(shí)，不在符號、數(shù)字上出差錯(cuò).