用導(dǎo)數(shù)工具求解數(shù)列問題

摘 要：本文以兩道2013年高考試題來探討如何用導(dǎo)數(shù)工具解決數(shù)列問題.

關(guān)鍵詞：數(shù)列；導(dǎo)數(shù)

？搖數(shù)列是高中數(shù)學(xué)必修的5個模塊內(nèi)容之一，也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以數(shù)列是每年高考數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》（以下簡稱《標準》）對高中數(shù)列的教學(xué)內(nèi)容與要求是“了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)；理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和的公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；體會等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系”. 因此，高考試題重點考查等差、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式及前n項和公式等知識點.

數(shù)列是定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函數(shù)，是一類特殊的函數(shù). 因此，許多數(shù)列問題可以用函數(shù)思想、 觀點和性質(zhì)來解決，從而基于函數(shù)思想研究和解決數(shù)列問題十分有意義. 函數(shù)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種基本的數(shù)學(xué)思想，它應(yīng)用廣泛，貫穿于整個高中數(shù)學(xué). 對比數(shù)列，函數(shù)有許多好的性質(zhì)，如函數(shù)連續(xù)性、可導(dǎo)性等. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，作為高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容之一，為解題、教學(xué)和教研注入了新的活力，更是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等問題的有力工具. 由于數(shù)列可看作是特殊的函數(shù)，所以我們自然而然就想到要用函數(shù)導(dǎo)數(shù)這個新的工具來解決有關(guān)數(shù)列問題.

例1 （2013安徽卷·理20）設(shè)函數(shù)fn（x）=-1+x+■+■+…+■（x∈R，n∈N*）.

證明：（1）對每個n∈N*，存在唯一的xn∈■，1，滿足fn（xn）=0；

（2）對任意的p∈N*，由（1）中xn構(gòu)成的數(shù)列{xn}滿足0

解答：（1）因為對任意的x∈R和n∈N*，有f ′n（x）=1+■+■+…+■.

所以當(dāng)x>0時，有f ′n（x）>0. 故fn（x）在（0，+∞）是嚴格增函數(shù).

由于f1（1）=0和fn（1）>0，n≥2，所以

fn■=-1+■+■+■+…+■≤-■+■+■+…+■=-■+■·■= -■■■<0.

所以存在唯一的點xn∈■，1，滿足fn（x）=0.

（2）根據(jù)fn（x）的表達式，當(dāng)x>0時，有fn+1（x）=fn（x）+■>fn（x），結(jié)合（1）有fn+1（xn）>fn（xn）=0=fn+1（xn+1）.

又因為fn（x）在（0，+∞）是嚴格增函數(shù)，所以xn>xn+1. 故{xn}是嚴格單調(diào)數(shù)列，從而對任意的n，p∈N*，有1≥xn>xn+p>0.

由（1）知，對任意的n，p∈N*有

f■（x■）=-1+x■+■+…+■=0，？搖？搖①

fn+p（xn+p）=-1+xn+p+■+…+■+■+…+■=0，？搖？搖？搖？搖 ②

利用①-②和1≥xn>xn+p>0得，

xn-xn+p=■+…+■+■+…+■？搖≤■+…+■<■+…+■<■-■+…+■-■=■-■<■.

綜上，對任意的p∈N*，都有0

評析：本題以通項為xn與■乘積的數(shù)列的前n項和構(gòu)造一個函數(shù)fn（x），顯然這是以高等數(shù)學(xué)知識為背景，將數(shù)列與函數(shù)融為一體，解決函數(shù)的零點問題利用數(shù)列求和，解決數(shù)列的單調(diào)性需要用到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；由于函數(shù)的表達式是數(shù)列前n項和形式，所以求函數(shù)值的范圍就是求數(shù)列前n項和的范圍. 將第（1）問中求和的數(shù)列放縮成等比數(shù)列，將第（2）問中求和的數(shù)列放縮成可倍差求和的數(shù)列，進而求出函數(shù)值的范圍，足以看出本題數(shù)列和函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)結(jié)合的深度和廣度. 試題考查了轉(zhuǎn)化和歸納能力、綜合運用知識和解決問題能力、推理論證能力，數(shù)列求和則考查了運算求解能力，試題頗有深度和難度.

在教學(xué)中，我們經(jīng)常強調(diào)，立足函數(shù)觀點，數(shù)列可以看做是定義域為正整數(shù)集上的一類特殊函數(shù)，因此在解決數(shù)列問題時，常用函數(shù)的性質(zhì)去分析. 當(dāng)然，如果能將數(shù)列與函數(shù)有機地結(jié)合起來，這對解決數(shù)列問題有極大幫助，比如例1. 但是數(shù)列自身也有其特殊性，與函數(shù)是有區(qū)別的，如果不去關(guān)注這些區(qū)別就會導(dǎo)致錯誤，學(xué)生用導(dǎo)數(shù)處理數(shù)列問題經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤就是忽視數(shù)列具有離散型的特征.

例2 （2013新課程全國Ⅱ卷·理16）等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S10=0，S15=25，求nSn的最小值.

錯解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由等差數(shù)列前n項和可得

10a1+■d=0，15a1+■d=25，解得a1=-3，d=■. 故nSn=nna1+■d=■-■. 設(shè)f（n）=nSn=■-■，則f ′（n）=n2-■. 令f ′（n）=0，解得n=0（舍去）或n=■. 當(dāng) n>■時， f（n）是單調(diào)遞增的；當(dāng)0

分析：結(jié)果是正確的，但是部分解題過程是錯誤的.因為導(dǎo)數(shù)是定義在連續(xù)函數(shù)基礎(chǔ)上的，而對于n∈N*， f（n）是離散函數(shù)，不存在導(dǎo)數(shù)，從而不能對其求導(dǎo). 究其原因是未能吃透函數(shù)導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)含義，未能準確把握數(shù)列單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系和區(qū)別. 例2要利用導(dǎo)數(shù)判別數(shù)列的單調(diào)性，一定要轉(zhuǎn)化成函數(shù)去判斷，同時要注意數(shù)列的定義域是正整數(shù)這一特點.

正解：按照上面同樣步驟解得nSn=■-■. 設(shè)f（x）=■-■，x>0，則f ′（x）=x2-■. 令f ′（x）=0，解得x=■. 當(dāng)x>■時， f（x）是單調(diào)遞增的；當(dāng) 0

評析：當(dāng)學(xué)生通過解方程發(fā)現(xiàn)nSn的解析式為三次式時，學(xué)生馬上能夠想到以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為工具，研究數(shù)列的單調(diào)性和最值性，這樣本題就較容易解決. 但如果利用數(shù)列的單調(diào)性nSn≤（n+1）Sn+1，nSn≤（n-1）Sn-1，解不等組，不僅運算量大，而且人為增加了試題難度，這是不可取的. 另外本題也考查了學(xué)生對“數(shù)列是特殊的函數(shù)”的理解，即項數(shù)n必須取正整數(shù).

綜上所述，數(shù)列是特殊的離散函數(shù)，以函數(shù)思想為指導(dǎo)，數(shù)列知識為工具來考查數(shù)列問題一直是高考試題背后的立意之一. 那么，在數(shù)列問題解題過程中，我們應(yīng)當(dāng)立足函數(shù)觀點，借用函數(shù)導(dǎo)數(shù)這個強有力的工具去討論和研究數(shù)列，但要充分考慮數(shù)列自身的特殊性，比如定義域是正整數(shù)集.如果將數(shù)列問題簡單地函數(shù)化，則容易出現(xiàn)上述例2的錯誤.