從數(shù)學(xué)“能力立意”題的教學(xué)談學(xué)生探究能力的培養(yǎng)策略

摘 要：高考數(shù)學(xué)試題越來(lái)越彰顯“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力”的特點(diǎn)，這是課程改革、考試改革的必然趨勢(shì)，而在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、提高學(xué)生綜合探究問(wèn)題的意識(shí)和能力，也是高中教師迫切需要解決的問(wèn)題. 以“能力立意題”為載體，注重細(xì)節(jié)，領(lǐng)悟本質(zhì)，優(yōu)化思維，綜合探究，恰是解決這一問(wèn)題的有效途徑.

關(guān)鍵詞：能力立意；綜合探究；培養(yǎng)策略

高考命題經(jīng)歷了由“經(jīng)驗(yàn)型命題方式”向“科研型命題方式”的轉(zhuǎn)化，“能力立意”成為教育改革深化的必然趨勢(shì). 《2013年浙江省普通高考考試說(shuō)明》中指出：數(shù)學(xué)學(xué)科的考試，按照“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力”的原則，確立以能力立意命題的指導(dǎo)思想，將知識(shí)、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢測(cè)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 浙江數(shù)學(xué)高考中幾個(gè)“靈活性”較大的試題往往體現(xiàn)了這樣的素養(yǎng)要求，我們把這些題稱為“能力立意”題. 歷年來(lái)這些題往往描述簡(jiǎn)約，實(shí)不簡(jiǎn)單，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，又是憑借極其基礎(chǔ)的知識(shí)內(nèi)容，達(dá)到學(xué)科整體高度和思維價(jià)值高度. 學(xué)生面對(duì)這些問(wèn)題往往望而生畏，不敢觸碰. 這種現(xiàn)象也反映了當(dāng)前學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還停留于“模仿+訓(xùn)練”的階段，缺乏自主探究和綜合應(yīng)用的能力.

由于能力的形成是一個(gè)潛移默化的漸進(jìn)過(guò)程，作為數(shù)學(xué)教師，也要適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的需要，積極研究能力立意題的命題特點(diǎn)和動(dòng)向，不應(yīng)在高三復(fù)習(xí)階段，而應(yīng)在整個(gè)高中階段，多設(shè)計(jì)運(yùn)用并挖掘能力立意題的教學(xué)教育功能，以提高教學(xué)針對(duì)性、有效性，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合探究問(wèn)題的意識(shí)和能力.

■能力立意題的類(lèi)型和特點(diǎn)

以知識(shí)點(diǎn)考查為載體，突出能力立意的數(shù)學(xué)問(wèn)題大致可歸為如下幾種類(lèi)型：

類(lèi)型1：以數(shù)學(xué)內(nèi)容為基點(diǎn)， 以基本的推理能力和思維要求為立足點(diǎn)， 突出考查學(xué)生一般能力的表現(xiàn)，測(cè)量學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

例1 （08年浙江高考理科數(shù)學(xué)卷第10題）設(shè)AB是平面α的斜線段，A為斜足；點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（ ）（選項(xiàng)略）.

分析：該題考查空間圖形中的動(dòng)點(diǎn)軌跡，初看很難，但由條件“△ABP的面積為定值”稍作推理便知點(diǎn)P在圓柱的側(cè)面上，再由條件“點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)”便知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是平面α截圓柱的側(cè)面所得的圖形，為一個(gè)橢圓.

類(lèi)型2：以多元化、多途徑、開(kāi)放式的設(shè)問(wèn)背景， 比較客觀、全面地測(cè)量學(xué)生觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想、猜測(cè)、歸納、類(lèi)比、推廣等思維活動(dòng)的水平，激發(fā)學(xué)生探索精神、求異創(chuàng)新思維.

例2 （07年上海高考理科卷第10題）平面內(nèi)兩直線有三種位置關(guān)系：相交、平行與重合.已知兩個(gè)相交平面α，β與兩直線l1，l2，又知l1，l2在α內(nèi)的射影為s1，s2，在β內(nèi)的射影為t1，t2. 試寫(xiě)出s1，s2與t1，t2滿足的條件，使之一定能成為l1，l2是異面直線的充分條件.

分析：該題具有開(kāi)放式的設(shè)問(wèn)背景，答案不唯一，需要學(xué)生通過(guò)觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想、猜測(cè)等思維活動(dòng)，最終歸納出答案.

類(lèi)型3：以源于社會(huì)、源于生活的問(wèn)題考查學(xué)生，有效地測(cè)量學(xué)生抽象、概括以及建立數(shù)學(xué)模型的能力，使學(xué)生認(rèn)識(shí)世界，把握問(wèn)題的本質(zhì)，籌劃應(yīng)對(duì)的策略.

例3 （08年浙江高考理科卷第19題）一個(gè)袋中裝有若干個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球. 已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是■；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是■.

（Ⅰ）若袋中共有10個(gè)球，

（?。┣蟀浊虻膫€(gè)數(shù)；

（ⅱ）從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ.

（Ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于■，并指出袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少.

分析：該題通過(guò)具體的摸球模型考查概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，要求學(xué)生能將實(shí)際問(wèn)題抽象成典型的概率模型來(lái)計(jì)算（第1小題），并通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析來(lái)刻畫(huà)實(shí)際情景（第2小題）.

■通過(guò)能力立意題培養(yǎng)學(xué)生自主探究和綜合應(yīng)用能力的教學(xué)策略

能力的含義非常廣泛，就高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，能力主要指學(xué)生的自主探究和綜合應(yīng)用能力. 為此，在解題教學(xué)中通過(guò)能力立意題培養(yǎng)學(xué)生能力可采取以下策略：

策略1 注重剖析學(xué)生解題困難或解題錯(cuò)誤之細(xì)節(jié)所在

當(dāng)高中學(xué)生已具有相當(dāng)?shù)慕忸}水平和綜合應(yīng)用能力時(shí)，許多問(wèn)題不能得到圓滿解決并非是因?yàn)闆](méi)有思路不會(huì)做，而是在某些細(xì)微環(huán)節(jié)上處理不當(dāng)，不會(huì)調(diào)控解題策略導(dǎo)致“卡殼”，作為教師，應(yīng)該在這種地方做好彌補(bǔ)工作.

例4 （2013年高考全國(guó)卷Ⅰ理科題16）若函數(shù)f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，則f（x）的最大值為_(kāi)________.

分析：由圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，易知函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)-5，-3，-1，1，所以可設(shè)f（x）=（1-x2）（x+3）（x+5），即f（x）=（1-x2）（x2+8x+15），所以f ′（x）=-4（x3+6x2+7x-2）. 又由圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，易知f ′（-2）=0（-2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，如圖1所示），所以f ′（x）=-4（x+2）·（x2+4x-1）. 由f ′（x）=0解得函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)為-2±■，可求得f（x）的最大值等于f（-2±■）=16.

反思：本題利用四次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，不僅簡(jiǎn)潔地求得了解析式，而且克服了對(duì)導(dǎo)函數(shù)（是一個(gè)三次函數(shù)）分解因式的困難. 由對(duì)稱性得到-2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)是成功解題的關(guān)鍵.

策略2 啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟知識(shí)與方法的數(shù)學(xué)本質(zhì)

1. 領(lǐng)悟知識(shí)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)舉一反三

一個(gè)問(wèn)題的解決，只有從知識(shí)與方法角度領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)本質(zhì)后，才能真正達(dá)到“舉一反三”的效果.

例5 等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，且■=■，求■=______.

解答：■=■=■.

分析：上述解法看似簡(jiǎn)便，但沒(méi)有觸及等差數(shù)列本質(zhì)的數(shù)學(xué)性質(zhì).如果改求■=______，就無(wú)法用上述方法完成. 教師應(yīng)啟迪學(xué)生從數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)入手，作如下解答：由■=■，設(shè)Sn=kn（5n+3），Tn=kn（2n+7）（k為某非零常數(shù)），則■=■=■，用該方法也能解上述題. 因此，設(shè)Sn=kn（5n+3），Tn=kn（2n+7）（k為某非零常數(shù)）是解這類(lèi)問(wèn)題的“通法”. 而教師需要進(jìn)一步指明這種做法的緣由，即知識(shí)背景是“等差數(shù)列前n項(xiàng)和一定可表示為Sn=An2+Bn的形式”.

2. 辨析方法本質(zhì)，審視“巧思妙解”

例6 （2008年高考浙江卷題8）若cosα+2sinα=-■，則tanα等于（ ）

A. ■？搖？搖？搖 B. 2？搖？搖？搖？搖 C. -■？搖？搖？搖？搖？搖D. -2

“巧解”如下：由f ′（α）=-sinα+2cosα=0，解得tanα=2.

分析：f（x）=cosx+2sinx在α處取極（最）大值，所以f ′（α）=-sinα+2cosα=0. 如果忽視這一本質(zhì)條件，那會(huì)造成解題錯(cuò)誤，比如若cosα+2sinα=-■時(shí)tanα=2顯然不能成立.

策略3 引導(dǎo)學(xué)生積極反思，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維過(guò)程

數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等都是處理能力立意題的常見(jiàn)思想方法，也是重要的數(shù)學(xué)思想方法，在解題后的反思中應(yīng)突出強(qiáng)化.

例7 （2011屆杭州市二模試題）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組2x-y-1≥0，4x-y-6≤0，2x+y-k-2≥0， 且4x2+y2的最小值為m，當(dāng)9≤m≤25時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.

分析：如果直接觀察z=4x2+y2的幾何意義，可先化為■+■=1，則■表示動(dòng)橢圓長(zhǎng)半軸的取值.因?yàn)橛^察動(dòng)橢圓是否經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)比較困難（需對(duì)相切或過(guò)區(qū)域某頂點(diǎn)進(jìn)行討論），所以可將問(wèn)題作如下轉(zhuǎn)化： 設(shè)x′=2x，y′=y，則x′-y′-1≥0，2x′-y′-6≤0，x′+y′-k-2≥0， 目標(biāo)函數(shù)z=x′2+y′2，那么■表示點(diǎn)（x′，y′）到原點(diǎn)的距離，可求得k∈[■-2，5]（過(guò)程略）.

反思：通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題，大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題情景.

策略4 引導(dǎo)學(xué)生自主探究與發(fā)現(xiàn)，切實(shí)提高解決綜合問(wèn)題的能力

自主探究充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程與方法，訓(xùn)練了學(xué)生提出新問(wèn)題、解決新問(wèn)題的能力.為發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，教師在“如何創(chuàng)設(shè)學(xué)生自主探究的情景、如何指導(dǎo)學(xué)生探究的方法”等方面也是需要深入研究的.

1. 設(shè)計(jì)變式問(wèn)題組，引領(lǐng)學(xué)生深化探究

例如，向量的數(shù)量積是向量的重要運(yùn)算內(nèi)容，教師可以設(shè)計(jì)系列問(wèn)題，讓學(xué)生在積極探究中對(duì)向量數(shù)量積的運(yùn)算法則、運(yùn)算的幾何意義、綜合應(yīng)用有深刻的認(rèn)識(shí)，在掌握知識(shí)的同時(shí)提升能力. 為此，筆者分以下幾個(gè)步驟逐層展開(kāi)：

（1）回顧基本定義和運(yùn)算法則.例如 “邊長(zhǎng)為1的正△ABC中，■·■=________；平面直角坐標(biāo)系中，A（-1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足■·■=3，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是______.”？搖？搖？搖

（2）剖析問(wèn)題背景，合理尋求解題方案. 例如“已知直線ax+by+c=0與圓O：x2+y2=1相交于A，B兩點(diǎn)，且AB=■，則■·■=______.” 讓學(xué)生在數(shù)量積的兩種運(yùn)算公式中加以辨別和選擇.因?yàn)閱?wèn)題背景是解析幾何，具備坐標(biāo)，很多學(xué)生嘗試用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式來(lái)計(jì)算，結(jié)果由于A，B坐標(biāo)的不確定性遭受挫折. 考慮到問(wèn)題背景是直線與圓兩個(gè)特殊圖形，■=■=1，只需確定∠AOB=120°，問(wèn)題便迎刃而解. 這類(lèi)問(wèn)題立意在于考查學(xué)生的探究能力，要求學(xué)生積極探究數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)，根據(jù)具體問(wèn)題的特點(diǎn)，探究解決問(wèn)題的內(nèi)在規(guī)律.只有經(jīng)過(guò)這樣的探究，才能深刻體會(huì)到兩種公式的應(yīng)用情景.

（3）變式設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生積極探究，培養(yǎng)推理論證的能力. 通過(guò)變式練習(xí)“平面直角坐標(biāo)系中，A（-1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足■·■=3，那么■·■的取值范圍為_(kāi)_____.” 首先讓學(xué)生用特殊情況（點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上時(shí)）提出猜想與假設(shè)，然后引導(dǎo)學(xué)生推理和論證，將公式變?yōu)椤觥ぁ?■=■，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求cos∠APB的范圍，問(wèn)題就得到解決了；進(jìn)一步可以鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題，如“求■+■的取值范圍”；讓學(xué)生在體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的過(guò)程中提高能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

2. 反思習(xí)題能力立意，探究習(xí)題教學(xué)功能

教師在講解例、習(xí)題時(shí)絕不能就事論事，告訴學(xué)生正確答案就算完工了；在遵循數(shù)學(xué)知識(shí)的科學(xué)性、嚴(yán)密性的同時(shí)要挖掘數(shù)學(xué)的育人功能. 許多例、習(xí)題蘊(yùn)涵著動(dòng)人的數(shù)學(xué)思想方法，承載著深厚的教育價(jià)值，教師要高瞻遠(yuǎn)矚，把握其能力立意，并向?qū)W生及時(shí)傳達(dá)，這是在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生能力的最好途徑.

例8 如圖2，在三棱錐P-ABD中，PA⊥面ABD，AD⊥BD，AD=■BD=1，C為BD的中點(diǎn).

（1）設(shè)PD=x，∠BPC=θ，試求tanθ與x的函數(shù)關(guān)系式，并求tanθ的最大值；

（2）在直線PA上是否存在點(diǎn)Q，使∠BQC>∠BAC.

■

分析：該考題巧妙地將代數(shù)與立體幾何綜合起來(lái)，考查了學(xué)生的空間想象能力和數(shù)據(jù)處理能力、第2小題的設(shè)問(wèn)帶有開(kāi)放性，考查學(xué)生的探究能力和推理論證能力，而且為降低難度，第1小題設(shè)問(wèn)指向性強(qiáng)，又為第2小題作了鋪墊. 學(xué)生先結(jié)合空間想象認(rèn)識(shí)圖形，由三垂線定理獲得PD⊥BD，然后按設(shè)問(wèn)的指引，容易列出tanθ=tan（∠BPD-∠CPD）=■=■（x>1），所以當(dāng)x=■時(shí)，tanθ取最大值■. 對(duì)于第2小題，先注意到tan∠BAC=■<■，可以提出猜想點(diǎn)Q是存在的，在推理論證中可利用第1小題提供的方法，設(shè)DQ=t，則tan∠BQC=■（t>1），由■>■，解得1∠BAC成立.

反思：通過(guò)以上分析，已向?qū)W生展示了該試題四個(gè)方面的能力立意，本人又進(jìn)一步注意到該試題通過(guò)構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，解決了一個(gè)學(xué)生很難理解的問(wèn)題：“已知A，B兩點(diǎn)在平面α內(nèi)，點(diǎn)C在平面α外，點(diǎn)C在平面α內(nèi)的射影為C′，若∠ACB=90°，則∠ACB<∠AC′B. 那么當(dāng)∠ACB≠90°時(shí)，是否也有類(lèi)似結(jié)論？”絕大多數(shù)學(xué)生都誤認(rèn)為∠ACB<∠AC′B是恒成立的，教師用幾何圖形舉反例又理解不了，而該試題用圖形和數(shù)量的方式，清楚地設(shè)計(jì)了一個(gè)具體的幾何模型，讓學(xué)生很容易理解. 像這樣能對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化構(gòu)造，用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題的思想正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí).

■結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)習(xí)題的基本功能在于使學(xué)生能應(yīng)用基本概念、公式、定理、法則等解決問(wèn)題，從而達(dá)到熟悉這些基本概念、公式、定理、法則和形成基本技能和解題方法的目的. 要求稍高的習(xí)題能承載數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和理性精神；一些具有選拔功能的習(xí)題則是考查學(xué)生的綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；而更有意思的習(xí)題能夠?yàn)閷W(xué)生提供一個(gè)進(jìn)一步探究的平臺(tái).

充分發(fā)揮“好”的習(xí)題的教育功能還需要教師積極發(fā)揮主導(dǎo)作用. 如何講解習(xí)題？如何挖掘習(xí)題蘊(yùn)涵的教育價(jià)值？如何用習(xí)題來(lái)教學(xué)生？如何用習(xí)題來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)自主性？這些問(wèn)題都是教師應(yīng)該關(guān)注的.